AMC 8 · 2019 · #8
학년 6 arithmetic문제
길다는 구슬이 들어 있는 가방을 가지고 있습니다. 그녀는 먼저 친구 페드로에게 구슬의 20%를 줍니다. 그다음, 또 다른 친구 에보니에게 남은 구슬의 10%를 줍니다. 마지막으로, 동생 지미에게 그 시점에 가방에 남아 있는 구슬의 25%를 줍니다. 길다에게 남은 구슬은 처음에 가지고 있던 구슬의 몇 퍼센트입니까?
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AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 길다는 구슬이 가득 든 가방으로 시작합니다. 먼저 가방 전체의 $20\%$ 를 페드로에게, 그다음 남은 양의 $10\%$ 를 에보니에게, 마지막으로 또 남은 양의 $25\%$ 를 동생 지미에게 줍니다. 세 번의 선물이 끝났을 때 길다 자신에게 남은 구슬은 원래 가방의 몇 퍼센트(%) 인지 구합니다.
주어진 것: 처음에 길다는 자기 구슬의 $100\%$ 를 가지고 있다; 1단계: 현재 가방의 $20\%$ 를 페드로에게 줌; 2단계: 그 뒤 남은 가방의 $10\%$ 를 에보니에게 줌; 3단계: 또 그 뒤 남은 가방의 $25\%$ 를 지미에게 줌; 선택지: (A) $20$, (B) $33\tfrac{1}{3}$, (C) $38$, (D) $45$, (E) $54$
구하는 것: 세 번의 선물 후 길다에게 남은 구슬이 원래 가방의 몇 퍼센트(%) 인지
이해
문제 재정리: 길다는 구슬이 가득 든 가방으로 시작합니다. 먼저 가방 전체의 $20\%$ 를 페드로에게, 그다음 남은 양의 $10\%$ 를 에보니에게, 마지막으로 또 남은 양의 $25\%$ 를 동생 지미에게 줍니다. 세 번의 선물이 끝났을 때 길다 자신에게 남은 구슬은 원래 가방의 몇 퍼센트(%) 인지 구합니다.
주어진 것: 처음에 길다는 자기 구슬의 $100\%$ 를 가지고 있다; 1단계: 현재 가방의 $20\%$ 를 페드로에게 줌; 2단계: 그 뒤 남은 가방의 $10\%$ 를 에보니에게 줌; 3단계: 또 그 뒤 남은 가방의 $25\%$ 를 지미에게 줌; 선택지: (A) $20$, (B) $33\tfrac{1}{3}$, (C) $38$, (D) $45$, (E) $54$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
이 문제의 함정은 매 단계마다 "전체" 가 달라진다는 점입니다 — 퍼센트는 항상 "지금 남아 있는 가방" 을 기준으로 잡아야지, 원래 $100\%$ 가 아닙니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 처음 구슬을 정확히 $100$ 개라고 가정하면 모든 퍼센트가 깔끔한 자연수로 바뀌어 추적이 쉬워집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 여정을 "페드로 단계 → 에보니 단계 → 지미 단계" 의 세 개의 작은 문제로 분리해서 한 번에 한 친구씩만 처리합니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지 (A)$20$, (B)$33\tfrac{1}{3}$, (C)$38$, (D)$45$, (E)$54$ 중 우리가 구한 값과 일치하는 하나를 확인합니다.
실행 — 정답: E
6.RP.A.3 단계 1 - 처음 구슬을 정확히 $100$ 개라고 가정합니다.
- 문제에서 개수를 알려주지 않았지만, 답은 "길다 가방 자체의 비율(%)" 이라 시작 개수와 무관하므로 가장 다루기 쉬운 $100$ 으로 잡으면 모든 퍼센트가 자연수가 됩니다.
💡 "퍼센트(percent)" 는 글자 그대로 "100당" 이라는 뜻이라, 전체를 $100$ 으로 놓는 것은 6학년 퍼센트 문제의 정석입니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 1단계 — 페드로.
- $100$ 개의 $20\%$ 인 $20$ 개를 페드로에게 주므로 길다에게는 $100 - 20 = 80$ 개가 남습니다.
- (즉, 가지고 있던 양의 $80\%$ 만 남깁니다.)
💡 "$100$ 의 $20\%$ 를 구해 빼기" 한 단계만 다루는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심입니다.
6.RP.A.3 단계 3 - 2단계 — 에보니.
- 이제 "전체" 는 원래 $100$ 이 아니라 남은 $80$ 입니다.
- 에보니는 $80$ 의 $10\%$ 인 $8$ 개를 받고, 길다는 $80 - 8 = 72$ 개를 남깁니다.
💡 각 퍼센트는 "지금 남아 있는 가방" 을 기준으로 잡는다 — 단계마다 기준이 바뀌는 것이 6학년 퍼센트 추론의 핵심 포인트입니다.
5.NF.B.4 단계 4 - 3단계 — 지미.
- 이제 전체는 $72$ 개입니다.
- 지미는 $72$ 의 $25\%$ 를 받는데, $25\% = \tfrac{1}{4}$ 로 바꾸면 소수 없이 계산할 수 있습니다: $\tfrac{1}{4} \times 72 = 18$.
- 따라서 길다는 $72 - 18 = 54$ 개를 남깁니다.
💡 $25\% = \tfrac{1}{4}$ 로 바꿔 자연수에 단위분수를 곱하는 것은 5학년 "분수 $\times$ 자연수" 그대로입니다.
6.RP.A.3 단계 5 - 시작이 $100$ 개였고 남은 게 $54$ 개이므로, 길다는 원래 가방의 $\tfrac{54}{100} = 54\%$ 를 가지고 있습니다.
- 선택지를 훑어보면 (E)$54$ 만 정확히 일치하므로 답은 (E) 입니다.
💡 계산 결과가 선택지 중 하나와 정확히 일치하면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 바로 답을 확정할 수 있습니다.
6.RP.A.3 처음 구슬을 정확히 $100$ 개라고 가정합니다. 문제에서 개수를 알려주지 않았지만, 답은 "길다 가방 자체의 비율(%)" 이라 시작 개수와 무 6.RP.A.3 1단계 — 페드로. $100$ 개의 $20\%$ 인 $20$ 개를 페드로에게 주므로 길다에게는 $100 - 20 = 80$ 개가 남습니다. (즉 6.RP.A.3 2단계 — 에보니. 이제 "전체" 는 원래 $100$ 이 아니라 남은 $80$ 입니다. 에보니는 $80$ 의 $10\%$ 인 $8$ 개를 받고, 5.NF.B.4 3단계 — 지미. 이제 전체는 $72$ 개입니다. 지미는 $72$ 의 $25\%$ 를 받는데, $25\% = \tfrac{1}{4}$ 로 바꾸면 6.RP.A.3 시작이 $100$ 개였고 남은 게 $54$ 개이므로, 길다는 원래 가방의 $\tfrac{54}{100} = 54\%$ 를 가지고 있습니다. 선택 검토
합리성 확인: 감각적으로 확인해 보면, 길다가 세 번 나눠 주긴 했지만 매번 "현재 가방의 1/4 이하" 만 주었으니 절반 이상은 남아 있어야 자연스럽습니다. $54\%$ 는 절반을 살짝 넘는 값으로 딱 그 범위입니다. 또, 시작 개수와 답이 무관함을 확인하기 위해 처음 $200$ 개로 다시 계산하면 $200 \to 160 \to 144 \to 108$ 이 되어 $\tfrac{108}{200} = 54\%$ — 같은 비율로, 결과가 확인됩니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 "매 단계 남기는 비율" 만 곱하면 한 줄에 끝납니다. 단계마다 길다가 남기는 비율은 $\tfrac{4}{5}$, $\tfrac{9}{10}$, $\tfrac{3}{4}$ 이므로 $\tfrac{4}{5} \times \tfrac{9}{10} \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{108}{200} = \tfrac{54}{100} = 54\%$. "단계마다 남기는 비율을 곱한다" 는 패턴 덕분에 세 번의 뺄셈이 하나의 곱셈으로 줄어듭니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NF.B.4분수와 자연수의 곱셈으로 곱셈의 이해를 확장하기 ($72$ 의 $25\%$ 를 $\tfrac{1}{4} \times 72 = 18$ 로 계산하는 데 사용한 5학년 단위분수 $\times$ 자연수 곱셈.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (단계마다 기준이 바뀌는 "현재 가방의 몇 %" 형태로 구슬의 비율을 추적하는 데 사용한 6학년 핵심 퍼센트 추론.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "그때그때 남은 양의 몇 %" 를 따져 보는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "그때그때 남은 양의 몇 %" 를 따져 보는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!
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