permutations-basiccomplementary-countingcomplementary-counting↑ 선수 지식:systematic-enumeration
📏 중간 풀이💡 3 개 인사이트
문제
자라는 애기(Aggie), 범블비(Bumblebee), 스틸리(Steelie), 타이거(Tiger)라는 4개의 구슬을 가지고 있습니다. 그녀는 이 구슬들을 선반 위에 일렬로 진열하려고 하지만, 스틸리와 타이거를 서로 옆에 두고 싶지 않습니다. 이렇게 진열하는 방법의 수는 몇 가지입니까?
문제 재정리: 자라(Zara)는 서로 다른 구슬 $4$ 개 — 애기(A), 범블비(B), 스틸리(S), 타이거(T) — 를 선반에 한 줄로 진열하려고 합니다. 단, 스틸리와 타이거를 서로 이웃하게 놓고 싶지 않습니다. 이 조건을 만족하는 배열은 몇 가지일까요?
주어진 것: 서로 다른 구슬 $4$ 개: 애기, 범블비, 스틸리, 타이거; 구슬 $4$ 개를 모두 한 줄로 진열한다 (각 구슬은 정확히 한 번씩 사용); 스틸리와 타이거는 서로 이웃해서는 안 된다; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $18$, (E) $24$
구하는 것: 스틸리와 타이거가 서로 이웃하지 않도록 구슬 $4$ 개를 한 줄로 진열하는 경우의 수
이해
문제 재정리: 자라(Zara)는 서로 다른 구슬 $4$ 개 — 애기(A), 범블비(B), 스틸리(S), 타이거(T) — 를 선반에 한 줄로 진열하려고 합니다. 단, 스틸리와 타이거를 서로 이웃하게 놓고 싶지 않습니다. 이 조건을 만족하는 배열은 몇 가지일까요?
주어진 것: 서로 다른 구슬 $4$ 개: 애기, 범블비, 스틸리, 타이거; 구슬 $4$ 개를 모두 한 줄로 진열한다 (각 구슬은 정확히 한 번씩 사용); 스틸리와 타이거는 서로 이웃해서는 안 된다; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $18$, (E) $24$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여사건 세기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
"이웃하지 않게" 라는 조건은 도구 #16(여사건 세기)의 전형적인 신호입니다. 스틸리와 타이거가 떨어져 있는 경우를 직접 세려면 스틸리의 위치별로 복잡한 경우 분류가 필요하지만, 반대로 "이웃해 있는 경우" 는 둘을 한 덩어리로 묶어 버리면 단숨에 셀 수 있기 때문입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 총 $24$ 가지 배열에 대한 검산을 보완하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 최종 값이 어느 선택지와 일치하는지 확인합니다.
실행 — 정답: C
#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8단계 1
조건 없이 구슬 $4$ 개를 한 줄로 진열하는 전체 경우의 수를 셉니다.
첫 자리에 $4$ 가지, 둘째 자리에 남은 $3$ 가지, 셋째 자리에 $2$ 가지, 마지막 자리에 $1$ 가지 — 기본 셈 원리(곱의 법칙)입니다.
$$\text{전체} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$
💡 서로 다른 물건을 한 줄로 세우는 경우의 수를 곱의 법칙으로 세는 것은 7학년 "조직된 목록을 이용한 복합사건 세기" 표준에 정확히 들어갑니다.
#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 7.SP.C.8단계 2
이제 "스틸리와 타이거가 이웃한" 금지 배열 수를 셉니다.
두 구슬을 한 덩어리 [ST] 로 묶으면, 진열해야 할 것은 [ST] 덩어리, 애기, 범블비의 $3$ 개로 줄어듭니다.
이 $3$ 개를 한 줄로 세우는 방법은 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 가지입니다.
$$\text{덩어리 배열} = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$
💡 이웃해야 하는 두 물건을 한 덩어리로 묶어 세는 것은 인접 조건 문제의 표준적인 "블록 묶기" 기법입니다.
#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 4.OA.A.3단계 3
덩어리 내부에서도 스틸리와 타이거의 순서가 ST 또는 TS, 즉 $2$ 가지가 있습니다.
덩어리 배열의 수와 내부 배열의 수를 곱하면 금지 배열의 총수가 됩니다.
$$\text{금지 배열} = 6 \times 2 = 12$$
💡 덩어리 바깥의 배열 수와 덩어리 안의 배열 수를 곱하는 것은 4학년 "여러 단계 문장제에서의 곱셈" 그대로입니다.
#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 4.OA.A.3단계 4
전체에서 금지 배열을 빼면 우리가 원하는 배열(스틸리와 타이거가 이웃하지 않는 배열)의 수가 나옵니다.
$$\text{허용} = 24 - 12 = 12$$
💡 여사건의 원리: (원하는 것) $=$ (전체) $-$ (원하지 않는 것).
#3 가능성 지우기 4.OA.A.3단계 5
$12$ 를 선택지 (A) $6$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $18$, (E) $24$ 와 대조하면 (C) 만이 $12$ 와 일치하므로 정답은 (C) 입니다.
$$12 = \textbf{(C)}$$
💡 도구 #3 으로 정답이 아닌 선택지를 모두 지워 객관식 문제를 마무리합니다.
[1]
#2 7.SP.C.8조건 없이 구슬 $4$ 개를 한 줄로 진열하는 전체 경우의 수를 셉니다. 첫 자리에 $4$ 가지, 둘째 자리에 남은 $3$ 가지, 셋째 자리에
[2]
#16 7.SP.C.8이제 "스틸리와 타이거가 이웃한" 금지 배열 수를 셉니다. 두 구슬을 한 덩어리 [ST] 로 묶으면, 진열해야 할 것은 [ST] 덩어리, 애기,
[3]
#16 4.OA.A.3덩어리 내부에서도 스틸리와 타이거의 순서가 ST 또는 TS, 즉 $2$ 가지가 있습니다. 덩어리 배열의 수와 내부 배열의 수를 곱하면 금지 배열
[4]
#16 4.OA.A.3전체에서 금지 배열을 빼면 우리가 원하는 배열(스틸리와 타이거가 이웃하지 않는 배열)의 수가 나옵니다.
[5]
#3 4.OA.A.3$12$ 를 선택지 (A) $6$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $18$, (E) $24$ 와 대조하면 (C) 만이 $12$ 와 일
검토
합리성 확인: 전체 $24$ 는 정확히 $4!$ 이고, 서로 다른 $4$ 개를 한 줄로 세우는 경우의 수가 맞습니다. 금지 배열 $12$ 는 전체 $24$ 의 정확히 절반인데, 직관적으로도 말이 됩니다 — 서로 다른 $4$ 개 중 특정한 두 개가 이웃할 확률은 $\tfrac{2 \cdot 3!}{4!} = \tfrac{12}{24} = \tfrac{1}{2}$ 이므로, "이웃하지 않을 확률" 도 $\tfrac{1}{2}$, 즉 $12$ 가지입니다. 또 $12$ 는 선택지 $6, 8, 12, 18, 24$ 의 가운데에 있어, 여사건으로 절반을 빼낸 결과로 자연스러운 크기입니다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 직접 풀어도 됩니다. 전체 $24$ 가지를 사전식 순서로 적은 뒤, S 와 T 가 이웃하지 않는 것만 남기는 방식입니다. 예: ABST(금지: S-T 이웃), ABTS(금지), ASBT(허용), ASTB(금지), ATBS(허용), ATSB(금지) ... 이런 식으로 $24$ 줄을 끝까지 검사하면 정확히 $12$ 줄이 살아남아 (C) 가 나옵니다. 여사건 방법보다 느리지만, 왜 정확히 절반이 조건을 깨는지에 대한 직관을 키울 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.A.3 자연수의 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (덩어리 배열 $6$ 가지와 덩어리 내부 배열 $2$ 가지를 곱해 금지 배열 $12$ 를 구한 뒤, 전체 $24$ 에서 빼서 허용 배열 $12$ 를 얻는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션을 이용한 복합사건의 확률 구하기 (전체 배열 $4! = 24$ 와 덩어리 배열 $3! = 6$ 을 곱의 법칙(기본 셈 원리)으로 세는 데 사용 — 7학년 복합사건 세기 표준에 해당.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "조직된 목록으로 경우의 수 세기" 만 알면 풀 수 있어요 — 전체를 세고, 안 되는 것을 세고, 빼면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "조직된 목록으로 경우의 수 세기" 만 알면 풀 수 있어요 — 전체를 세고, 안 되는 것을 세고, 빼면 끝!
