AMC 8 · 2020 · #11
학년 6 rate-ratio문제
방과 후, 마야와 나오미는 6마일 떨어진 해변으로 향했습니다. 마야는 자전거를 타기로 했고 나오미는 버스를 탔습니다. 아래 그래프는 두 사람이 이동한 시간과 거리를 나타냅니다. 나오미와 마야의 평균 속력 차이는 시속 몇 마일입니까?
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AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 마야와 나오미는 학교에서 해변까지 같은 $6$ 마일 길을 갑니다. 거리-시간 그래프를 보면 나오미가 탄 버스는 출발 후 $10$ 분에, 자전거를 탄 마야는 $30$ 분에 해변에 도착합니다. 두 사람의 평균 속력의 차이를 시속 마일(mph) 단위로 구하는 문제입니다.
주어진 것: 두 사람 모두 같은 총 거리 $6$ 마일을 이동; 그래프에서 나오미의 총 소요 시간 $= 10$ 분 (점선이 $(10, 6)$ 에서 끝남); 그래프에서 마야의 총 소요 시간 $= 30$ 분 (실선이 $(30, 6)$ 에서 끝남); 선택지: (A) $6$, (B) $12$, (C) $18$, (D) $20$, (E) $24$ (mph)
구하는 것: 나오미의 평균 속력에서 마야의 평균 속력을 뺀 값(mph)
이해
문제 재정리: 마야와 나오미는 학교에서 해변까지 같은 $6$ 마일 길을 갑니다. 거리-시간 그래프를 보면 나오미가 탄 버스는 출발 후 $10$ 분에, 자전거를 탄 마야는 $30$ 분에 해변에 도착합니다. 두 사람의 평균 속력의 차이를 시속 마일(mph) 단위로 구하는 문제입니다.
주어진 것: 두 사람 모두 같은 총 거리 $6$ 마일을 이동; 그래프에서 나오미의 총 소요 시간 $= 10$ 분 (점선이 $(10, 6)$ 에서 끝남); 그래프에서 마야의 총 소요 시간 $= 30$ 분 (실선이 $(30, 6)$ 에서 끝남); 선택지: (A) $6$, (B) $12$, (C) $18$, (D) $20$, (E) $24$ (mph)
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
거리는 마일, 그래프의 시간 축은 분, 답은 시속 마일(mph) 로 단위가 어긋난 비율 문제입니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 로 나누기 전에 먼저 분을 시간으로 환산해 두면, 결과의 단위가 자연스럽게 mph 로 맞춰집니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 이미 문제 안에 그래프로 그려져 있으니, 우리는 두 도착점 좌표만 읽어 내면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 전체 과제를 "나오미 속력 구하기", "마야 속력 구하기", "차이 구하기" 의 세 조각으로 나눠서 차근차근 푸는 게 가장 깔끔합니다.
실행 — 정답: E
5.G.A.2 단계 1 - 거리-시간 그래프에서 두 도착점을 읽습니다.
- 나오미의 점선은 $(0, 0)$ 에서 $(10, 6)$ 까지 가므로 $10$ 분 동안 $6$ 마일을 이동합니다.
- 마야의 실선은 $(0, 0)$ 에서 $(30, 6)$ 까지 가므로 $30$ 분 동안 $6$ 마일을 이동합니다.
💡 좌표 그래프에서 $(\text{시간}, \text{거리})$ 좌표쌍을 읽어 내는 것은 5학년 좌표평면 활용 표준 그대로입니다.
5.MD.A.1 단계 2 - 속력 단위를 mph(시속 마일) 로 맞추기 위해 두 사람의 이동 시간을 분에서 시간으로 환산합니다.
- $10$ 분은 $\tfrac{10}{60} = \tfrac{1}{6}$ 시간, $30$ 분은 $\tfrac{30}{60} = \tfrac{1}{2}$ 시간입니다.
💡 같은 시간 체계 안에서 분을 시간으로 바꾸는 것은 5학년 "표준 측정 단위 환산" 표준입니다.
6.RP.A.3 단계 3 - $\text{속력} = \dfrac{\text{거리}}{\text{시간}}$ 공식에 나오미의 값을 대입합니다.
- $\tfrac{1}{6}$ 으로 나누는 것은 $6$ 을 곱하는 것과 같습니다.
💡 거리와 시간으로부터 단위율(시속 마일) 을 구하는 것은 6학년 비율·비례 추론이며, 세 조각 중 첫 번째 하위 문제입니다.
6.RP.A.3 단계 4 - 마야의 속력도 같은 방법으로 구합니다.
- $\tfrac{1}{2}$ 로 나누는 것은 $2$ 를 곱하는 것과 같습니다.
💡 같은 비율 추론을 마야에게 적용한 두 번째 하위 문제로, 자전거가 버스보다 느리니 속력도 더 작게 나옵니다.
4.NBT.B.4 단계 5 - 마지막 조각: 두 속력의 차이를 구합니다.
- 나오미가 마야보다 얼마나 더 빠른지를 묻고 있으므로 빼주면 됩니다.
💡 단위(mph)가 문제에서 묻는 단위와 일치하는 간단한 두 자리 수 뺄셈입니다.
5.G.A.2 거리-시간 그래프에서 두 도착점을 읽습니다. 나오미의 점선은 $(0, 0)$ 에서 $(10, 6)$ 까지 가므로 $10$ 분 동안 $6$ 마일을 5.MD.A.1 속력 단위를 mph(시속 마일) 로 맞추기 위해 두 사람의 이동 시간을 분에서 시간으로 환산합니다. $10$ 분은 $\tfrac{10}{60} 6.RP.A.3 $\text{속력} = \dfrac{\text{거리}}{\text{시간}}$ 공식에 나오미의 값을 대입합니다. $\tfrac{1}{6}$ 으로 6.RP.A.3 마야의 속력도 같은 방법으로 구합니다. $\tfrac{1}{2}$ 로 나누는 것은 $2$ 를 곱하는 것과 같습니다. 4.NBT.B.4 마지막 조각: 두 속력의 차이를 구합니다. 나오미가 마야보다 얼마나 더 빠른지를 묻고 있으므로 빼주면 됩니다. 검토
합리성 확인: $10$ 분에 $6$ 마일을 가는 버스 속력 $36$ mph 는 도심 시내버스 속도로 자연스럽고, $30$ 분에 $6$ 마일을 가는 자전거 속력 $12$ mph 도 어린이 자전거 페이스로 현실적입니다. 버스가 정확히 $3$ 배 빠르고, $36 - 12 = 24$ mph 가 선택지 (E) 와 일치합니다. 답의 단위 mph 도 문제가 묻는 단위와 같으므로 일관성이 있습니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 지름길: 같은 거리에서 마야가 나오미보다 $3$ 배 더 오래 걸렸으므로, 마야의 속력은 나오미의 $\tfrac{1}{3}$ 입니다. 나오미의 속력을 $v$ 라 하면 마야의 속력은 $\tfrac{v}{3}$, 차이는 $\tfrac{2v}{3}$ 입니다. 그래프에서 $v = 36$ mph 이므로 $\tfrac{2 \times 36}{3} = 24$ mph — 계산을 거의 안 하고도 같은 답이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.G.A.2좌표평면에 점을 그려 실생활·수학 문제 표현하기 (거리-시간 좌표 그래프에서 나오미의 도착점 $(10, 6)$ 과 마야의 도착점 $(30, 6)$ 좌표쌍을 읽어 내는 데 사용.)5.MD.A.1같은 측정 체계 안에서 단위가 다른 표준 측정 단위 환산 (최종 속력을 mph 로 표현하기 위해 $10$ 분을 $\tfrac{1}{6}$ 시간, $30$ 분을 $\tfrac{1}{2}$ 시간으로 환산.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (나오미와 마야의 평균 속력을 각각 거리 $\div$ 시간 의 단위율 mph 로 계산.)4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈 능숙하게 수행 (마야의 속력을 나오미의 속력에서 빼는 마지막 단계 $36 - 12 = 24$ mph.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "거리 $\div$ 시간 = 속력" 의 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "거리 $\div$ 시간 = 속력" 의 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!
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