AMC 8 · 2020 · #15
학년 6 rate-ratio문제
x의 15%가 y의 20%와 같다고 합시다. 이때 y는 x의 몇 퍼센트입니까?
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AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 수 $x$ 와 $y$ 사이에 "$x$ 의 $15\%$ 가 $y$ 의 $20\%$ 와 같다" 라는 관계가 있습니다. 이 관계를 이용해서 $y$ 가 $x$ 의 몇 퍼센트인지 구하는 문제입니다.
주어진 것: $x$ 의 $15\%$ $=$ $y$ 의 $20\%$; 선택지: (A) $5$, (B) $35$, (C) $75$, (D) $133\tfrac{1}{3}$, (E) $300$ (단위는 모두 퍼센트)
구하는 것: $y = p\%$ 가 $x$ 가 되도록 하는 백분율 $p$, 즉 $\tfrac{y}{x} \times 100$ 의 값
이해
문제 재정리: 두 수 $x$ 와 $y$ 사이에 "$x$ 의 $15\%$ 가 $y$ 의 $20\%$ 와 같다" 라는 관계가 있습니다. 이 관계를 이용해서 $y$ 가 $x$ 의 몇 퍼센트인지 구하는 문제입니다.
주어진 것: $x$ 의 $15\%$ $=$ $y$ 의 $20\%$; 선택지: (A) $5$, (B) $35$, (C) $75$, (D) $133\tfrac{1}{3}$, (E) $300$ (단위는 모두 퍼센트)
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #3 가능성 지우기
$x$ 가 추상적인 미지수처럼 보이지만, "$x$ 의 $15\%$ $=$ $y$ 의 $20\%$" 라는 관계는 어떤 $x$ 를 잡아도 똑같이 성립합니다 — 비율 $\tfrac{y}{x}$ 가 항상 일정하기 때문이지요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 를 써서 $x = 100$ 처럼 친절한 값을 골라 두면, "$x$ 의 $15\%$" 가 그냥 $15$ 가 되어 소수도 대수도 필요 없어집니다. 거기서 $y$ 를 구한 뒤에는 "$y$ 가 $x = 100$ 의 몇 퍼센트인가" 가 곧 "$y$ 가 $100$ 중에 얼마인가" 로 바뀌어 답이 바로 읽힙니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 객관식 검산용 — 구한 값이 선택지에 정말 있는지, 함정 선택지를 동시에 배제할 수 있는지 마지막에 확인합니다.
실행 — 정답: C
6.RP.A.3 단계 1 - $x$ 에 가장 다루기 쉬운 값을 대입합니다.
- $x = 100$ 으로 잡으면 "$x$ 의 몇 퍼센트" 가 곧 그 퍼센트 숫자 자체와 같아집니다.
💡 친절한 $x$ 를 고르는 순간 추상적인 퍼센트 이야기가 구체적인 산수로 바뀝니다 — 이게 바로 "더 쉬운 문제로 줄이기" 의 핵심입니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 주어진 식의 왼쪽 값을 구합니다.
- $x = 100$ 일 때 "$x$ 의 $15\%$" 는 $100$ 중에 $15$ 입니다.
💡 $100$ 의 $15\%$ 는 "$100$ 중 $15$" 라는 뜻 그대로라서 답이 곧장 $15$ 입니다.
6.RP.A.3 단계 3 - 주어진 관계 "$x$ 의 $15\%$ $=$ $y$ 의 $20\%$" 에 방금 구한 값을 대입해 $y$ 를 찾습니다.
- 왼쪽이 $15$ 이므로 "$y$ 의 $20\%$ $= 15$", 즉 "무엇의 $20\%$ 가 $15$ 인가?" 가 됩니다.
- $20\%$ 는 $\tfrac{1}{5}$ 이므로 $y$ 는 $15$ 의 $5$ 배인 $75$ 입니다.
💡 $y$ 의 $\tfrac{1}{5}$ 이 $15$ 라면, $y$ 전체는 $15$ 이 다섯 개니까 $75$ 입니다.
6.RP.A.3 단계 4 - 문제가 묻는 백분율을 바로 읽어 냅니다.
- $x = 100$, $y = 75$ 이므로 $y$ 는 $x$ 의 $\tfrac{75}{100} = 75\%$ 입니다.
💡 $x = 100$ 으로 잡았기 때문에 "$y$ 가 $x$ 중에 얼마" 가 곧 "$y$ 퍼센트" 와 같아져 별도의 환산이 필요 없습니다.
6.RP.A.3 단계 5 - 선택지로 검산합니다.
- $75$ 는 정확히 (C) 와 일치합니다.
- (A) $5$, (B) $35$ 는 너무 작아서 $y$ 가 $x$ 보다 훨씬 작아져 버리고, (D) $133\tfrac{1}{3}$, (E) $300$ 은 $y$ 가 $x$ 보다 커지는데 "작은 퍼센트인 $15\%$ 의 $x$" 가 "큰 퍼센트인 $20\%$ 의 $y$" 와 같다는 조건에 모순됩니다.
💡 AMC 객관식에서는 구한 답이 선택지에 있는지, 다른 선택지들이 왜 안 되는지를 마지막에 한 번 더 확인하는 게 표준 검산법입니다.
6.RP.A.3 $x$ 에 가장 다루기 쉬운 값을 대입합니다. $x = 100$ 으로 잡으면 "$x$ 의 몇 퍼센트" 가 곧 그 퍼센트 숫자 자체와 같아집니다. 6.RP.A.3 주어진 식의 왼쪽 값을 구합니다. $x = 100$ 일 때 "$x$ 의 $15\%$" 는 $100$ 중에 $15$ 입니다. 6.RP.A.3 주어진 관계 "$x$ 의 $15\%$ $=$ $y$ 의 $20\%$" 에 방금 구한 값을 대입해 $y$ 를 찾습니다. 왼쪽이 $15$ 이므로 " 6.RP.A.3 문제가 묻는 백분율을 바로 읽어 냅니다. $x = 100$, $y = 75$ 이므로 $y$ 는 $x$ 의 $\tfrac{75}{100} = 75 6.RP.A.3 선택지로 검산합니다. $75$ 는 정확히 (C) 와 일치합니다. (A) $5$, (B) $35$ 는 너무 작아서 $y$ 가 $x$ 보다 훨씬 작 검토
합리성 확인: 방향부터 점검해 봅시다. $15\%$ 는 $20\%$ 보다 작은 비율이므로 "$x$ 의 $15\%$ $=$ $y$ 의 $20\%$" 가 성립하려면 $x$ 가 더 크고 $y$ 가 더 작아야 합니다. 즉 $y$ 는 $x$ 의 $100\%$ 보다 작아야 하므로 (D) 와 (E) 는 곧장 탈락. (A), (B), (C) 중에서는 깔끔한 비율 $\tfrac{15}{20} = \tfrac{3}{4}$ 에서 나오는 $75\%$ 만이 자연스러우므로 (C) 가 정답이고, $x$ 보다 조금 작은 정도라는 크기 감도 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 를 비율로 활용하는 방법도 있습니다. "$x$ 의 $15\%$ $=$ $y$ 의 $20\%$" 를 $\tfrac{15}{100} \cdot x = \tfrac{20}{100} \cdot y$ 로 바꾸면 곧장 $\tfrac{y}{x} = \tfrac{15}{20} = \tfrac{3}{4} = 75\%$ 가 나옵니다. 표본 $x$ 를 잡지 않고도 같은 답을 얻을 수 있고, 사용하는 수학은 똑같이 6학년 비율 추론입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (백분율 포함) (이 문제의 모든 퍼센트 계산 — $100$ 의 $15\%$ 구하기, "$y$ 의 $20\%$ $= 15$" 에서 $y$ 구하기, $\tfrac{75}{100}$ 을 $75\%$ 로 읽어 내기 — 가 6학년 비율·비례 표준이 명시한 "백분율 문제" 의 적용 사례입니다.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "전체의 몇 퍼센트" 라는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요 — $x = 100$ 으로 두면 나머지는 평범한 산수입니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "전체의 몇 퍼센트" 라는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요 — $x = 100$ 으로 두면 나머지는 평범한 산수입니다!
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