AMC 8 · 2020 · #16

학년 6 algebralogic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

linear-equations-one-varsystematic-enumeration convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림에서 점 $A, B, C, D, E, F$ 는 각각 $1$ 부터 $6$ 까지의 서로 다른 숫자를 나타냅니다. 그림에 나타난 다섯 개의 직선 각각은 이 점들 중 몇 개를 지나갑니다. 각 직선 위에 있는 점들이 나타내는 숫자를 더하여 다섯 개의 합을 얻습니다(직선마다 하나의 합). 이 다섯 개 합의 총합이 $47$ 일 때, $B$ 가 나타내는 숫자는 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 개의 점 $A, B, C, D, E, F$ 가 각각 $1$ 부터 $6$ 까지의 서로 다른 숫자를 하나씩 나타냅니다. 그림에는 직선이 다섯 개 있고, 각 직선이 지나는 점들의 숫자를 모두 더해서 다섯 개의 합을 만듭니다. 이 다섯 개 합의 총합이 $47$ 일 때, $B$ 가 나타내는 숫자는 무엇일까요?

주어진 것: $A, B, C, D, E, F$ 는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 을 순서를 바꿔 하나씩 배정한 것 (중복 없음); 직선 1 위의 점들의 합: $A + B + C$; 직선 2 위의 점들의 합: $A + E + F$; 직선 3 위의 점들의 합: $C + D + E$; 직선 4 위의 점들의 합: $B + D$; 직선 5 위의 점들의 합: $B + F$; 다섯 개 합의 총합 $= 47$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 점 $B$ 가 나타내는 숫자

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #13 대수로 바꾸기

$6! = 720$ 가지 배정을 일일이 시험해 보는 건 비효율적입니다. 핵심 아이디어는 총합 $47$ 을 "직선별" 이 아니라 "글자별" 로 다시 정리하는 것 — 즉 각 글자가 다섯 직선 중 몇 번 등장하는지 세는 것입니다 (도구 #15). 이렇게 재정리해 보면 $B$ 만 빼고 모든 글자가 정확히 두 번씩 등장하는 거의 대칭적인 모양이 드러납니다. 다섯 직선을 빠짐없이 나열하는 작업(도구 #2)으로 등장 횟수를 한눈에 보고, 마지막에 짧은 대수 한 줄(도구 #13)로 대칭인 부분에서 $B$ 만 분리하면 됩니다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 1

먼저 다섯 직선의 합을 한자리에 나열합니다.
그림에서 각 직선 위의 점들의 합은 차례대로 $A+B+C$, $A+E+F$, $C+D+E$, $B+D$, $B+F$ 이며, 이들의 총합이 $47$ 입니다.

$$(A+B+C) + (A+E+F) + (C+D+E) + (B+D) + (B+F) = 47$$

💡 직선을 순서대로 모두 적어 두는 건 4학년 다단계 문장제의 "식 세우기" 단계 그대로 — 아직 꾀를 부리지 않고 정리만 한 것입니다.

#15 다르게 정리하기 3.OA.D.9 단계 2

같은 합을 "직선별" 이 아니라 "글자별" 로 다시 세 봅니다.
각 글자가 다섯 직선 중 몇 번 나오는지 세면 $A$ 는 직선 1, 2 ($2$ 번), $B$ 는 직선 1, 4, 5 ($3$ 번), $C$ 는 직선 1, 3 ($2$ 번), $D$ 는 직선 3, 4 ($2$ 번), $E$ 는 직선 2, 3 ($2$ 번), $F$ 는 직선 2, 5 ($2$ 번).
$B$ 만 세 번이고 나머지는 모두 두 번씩입니다.

$$2A + 3B + 2C + 2D + 2E + 2F = 47$$

💡 같은 데이터를 다른 기준("어느 직선" 대신 "어느 글자") 으로 다시 묶는 것이 도구 #15 의 핵심이고, $2, 2, 2, 2, 2, 3$ 의 규칙을 알아채는 건 3학년 수준의 산술 패턴 관찰입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 3

혼자만 계수 $3$ 인 $3B$ 를 $2B + B$ 로 쪼개 두면 모든 글자의 계수가 $2$ 로 똑같아져서 공통인수 $2$ 를 묶어낼 수 있습니다.
남은 외톨이 $B$ 가 바로 총합을 홀수로 만든 주범입니다.

$$2A + 2B + B + 2C + 2D + 2E + 2F = 2(A+B+C+D+E+F) + B = 47$$

💡 공통인수 $2$ 를 뽑아내서 식을 동등한 형태로 다시 쓰는 건 6학년 "연산 성질을 이용해 동치인 식 만들기" 그대로입니다.

#15 다르게 정리하기 2.NBT.B.5 단계 4

글자 $A, B, C, D, E, F$ 는 $1$ 부터 $6$ 까지의 숫자를 순서만 바꿔 가지고 있으므로, 누가 어느 숫자든 상관없이 여섯 개의 합은 항상 같습니다.

$$A+B+C+D+E+F = 1+2+3+4+5+6 = 21$$

💡 미지수의 순서를 우리가 아는 $1, 2, \dots, 6$ 순서로 다시 정리하는 것도 도구 #15 의 활용이고, 작은 여섯 개 수를 더하는 건 2학년 "100 이하 덧셈" 수준입니다.

#13 대수로 바꾸기 1.OA.D.8 단계 5

묶어낸 식에 $A+B+C+D+E+F = 21$ 을 대입하고, 양변에서 $42$ 를 빼서 $B$ 만 남깁니다.

$$2(21) + B = 47 \;\Rightarrow\; 42 + B = 47 \;\Rightarrow\; B = 47 - 42 = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $42 + \square = 47$ 에서 빈칸을 찾는 건 어려운 대수 정리가 다 끝난 뒤의 1학년 "덧셈식의 미지수 찾기" 작업입니다.

[1] #2 4.OA.A.3 먼저 다섯 직선의 합을 한자리에 나열합니다. 그림에서 각 직선 위의 점들의 합은 차례대로 $A+B+C$, $A+E+F$, $C+D+E$, $B+

[2] #15 3.OA.D.9 같은 합을 "직선별" 이 아니라 "글자별" 로 다시 세 봅니다. 각 글자가 다섯 직선 중 몇 번 나오는지 세면 $A$ 는 직선 1, 2 ($2$

[3] #13 6.EE.A.3 혼자만 계수 $3$ 인 $3B$ 를 $2B + B$ 로 쪼개 두면 모든 글자의 계수가 $2$ 로 똑같아져서 공통인수 $2$ 를 묶어낼 수 있습니

[4] #15 2.NBT.B.5 글자 $A, B, C, D, E, F$ 는 $1$ 부터 $6$ 까지의 숫자를 순서만 바꿔 가지고 있으므로, 누가 어느 숫자든 상관없이 여섯 개의

[5] #13 1.OA.D.8 묶어낸 식에 $A+B+C+D+E+F = 21$ 을 대입하고, 양변에서 $42$ 를 빼서 $B$ 만 남깁니다.

검토

합리성 확인: $B = 5$ 는 $1$~$6$ 중 하나이므로 조건에 맞고, 선택지에도 있습니다. $B = 5$ 를 식에 대입하면 $2 \cdot 21 + 5 = 42 + 5 = 47$ 로 주어진 총합과 정확히 일치합니다. 왜 이 풀이가 통하는지도 직관적으로 보입니다 — $B$ 를 제외한 모든 글자가 두 번씩 등장하므로 총합은 "짝수 부분 $2 \times 21 = 42$" 에 "$B$ 한 개" 가 더해진 값이 되고, $42$ 를 $47$ 로 만들어 주는 $B$ 의 값이 바로 $5$ 입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅니다. $B = 1, 2, 3, 4, 5$ 를 차례로 $2 \cdot 21 + B = 47$ 에 넣어 보면 $43, 44, 45, 46, 47$ 이 나오고, $47$ 과 맞는 건 $B = 5$ 하나뿐 — 답 (E) 가 다시 확인됩니다. 묶어내는 통찰은 못 보지만 시험장에서 백업으로 쓸 만한 방법입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (다섯 직선의 합 $(A+B+C) + (A+E+F) + (C+D+E) + (B+D) + (B+F)$ 가 $47$ 이라는 전체 식을 세우는 데 사용.)
3.OA.D.9 산술 패턴을 발견하고 연산 성질로 설명하기 (각 글자가 다섯 직선 중 등장하는 횟수가 $B$ 만 $3$ 번, 나머지는 $2$ 번씩이라는 패턴을 알아내는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ($2A + 3B + 2C + 2D + 2E + 2F$ 를 동치인 묶음 형태 $2(A+B+C+D+E+F) + B$ 로 다시 쓰는 데 사용.)
2.NBT.B.5 100 이내 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (여섯 개 숫자의 합 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ 을 계산하는 데 사용.)
1.OA.D.8 덧셈·뺄셈 식에서 미지의 수 구하기 (마지막 단계에서 $42 + B = 47$ 의 빈칸 $B = 47 - 42 = 5$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "식 묶어 다시 쓰기" 와 "각 글자가 몇 번 나오는지 세기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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