AMC 8 · 2020 · #17

학년 6 number-theorycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

prime-factorizationfactorsdivisor-countcomplementary-countingprime-numbersperfect-squares complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: prime-factorizationfactors

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

$2020$ 의 양의 정수 약수 중에서 약수의 개수가 $3$ 개보다 많은 것은 몇 개입니까? (예를 들어, $12$ 의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ 로 $6$ 개입니다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2020$ 의 양의 약수들 중에서, 자기 자신이 다시 약수를 $3$ 개보다 많이 가지는 수가 몇 개인지 세는 문제입니다. 예를 들어 $12$ 는 약수가 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ 의 $6$ 개라 조건을 만족하지만, $4$ 는 약수가 $1, 2, 4$ 의 $3$ 개뿐이라 조건을 만족하지 않습니다.

주어진 것: 대상 수는 $2020$; $2020$ 의 약수 $d$ 중에서 "$d$ 자체의 약수가 $3$ 개보다 많은 수" 의 개수를 구해야 함; 예시: $12$ 의 약수는 $6$ 개라고 명시되어 있음; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

구하는 것: $2020$ 의 약수 중에서, 자기 자신의 약수가 $4$ 개 이상인 수의 개수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

$2020$ 의 약수 $12$ 개를 하나씩 "약수의 수가 $3$ 개를 넘는가?" 따져 보면 일이 많습니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 질문을 뒤집어, 오히려 "약수가 $3$ 개 이하인 수" 의 개수를 세어 전체 $12$ 에서 빼면 훨씬 깔끔합니다. 약수가 $3$ 개 이하인 수는 구조가 단순해서 — $1$, 소수 $p$, 소수의 제곱 $p^2$ 의 세 종류뿐 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 분류별 나열만 하면 빠지거나 겹치는 일 없이 셀 수 있습니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

$2020$ 을 소인수분해합니다.
$10$ 의 인수를 먼저 빼면 $2020 = 10 \times 202 = 2 \times 5 \times 2 \times 101$ 이고, 같은 소수끼리 모으면 $2020 = 2^2 \times 5 \times 101$ 입니다.

$$2020 = 2^2 \times 5 \times 101$$

💡 수를 소수의 곱으로 쪼개는 것은 4학년 "소수·합성수와 약수쌍" 의 핵심 동작입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 2

약수의 총 개수를 세는 규칙을 씁니다.
$N = p_1^{a} \cdot p_2^{b} \cdot p_3^{c}$ 이면 $N$ 의 약수 개수는 $(a+1)(b+1)(c+1)$.
지수는 차례로 $2$, $1$, $1$ 입니다.

$$\text{약수 총 개수} = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$$

💡 $2^2$ 같은 자연수 지수를 식 안에서 다루는 것은 6학년 "지수가 있는 수식" 표준입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 4.OA.B.4 단계 3

도구 #16 으로 "여집합" — 즉 약수가 $1, 2, 3$ 개인 수 — 의 구조부터 정리합니다.
약수가 $1$ 개인 수는 $1$ 뿐, 약수가 $2$ 개인 수는 소수, 약수가 $3$ 개인 수는 소수의 제곱($p^2$ 의 약수는 $1, p, p^2$ 의 $3$ 개) 뿐입니다.

$$\text{분류: } 1, \; p, \; p^2$$

💡 약수 수가 적은 수를 분류하는 데에는 "소수는 약수가 정확히 2개" 라는 4학년 개념이면 충분합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

분류마다 $2020$ 의 약수만 골라 빠짐없이 나열합니다.
(i) $1$ 은 항상 약수 — $1$ 개.
(ii) $2020$ 의 소수 약수는 $2$, $5$, $101$ — $3$ 개.
(iii) $2020$ 을 나누는 "소수의 제곱" 을 확인: $2^2 = 4$ 는 $2020 / 4 = 505$ 라 약수 — 가능, $5^2 = 25$ 는 $2020$ 에 $5$ 가 $1$ 제곱밖에 없어서 불가, $101^2 = 10201$ 은 $2020$ 보다 커서 불가 — $1$ 개.

$$\underbrace{1}_{1} \;+\; \underbrace{2,\,5,\,101}_{3} \;+\; \underbrace{4}_{1} \;=\; 5$$

💡 "분류 안에서 소수 순으로" 라는 순서 규칙을 정해 두면 중복도 누락도 없이 셀 수 있습니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 4.OA.A.3 단계 5

여집합 개수를 전체에서 뺍니다.
$2020$ 의 약수 $12$ 개 중 약수가 $3$ 개 이하인 수는 정확히 $5$ 개이므로, 약수가 $3$ 개를 넘는 수는 $12 - 5 = 7$ 개입니다.

$$12 - 5 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 "전체 - 안 되는 경우 = 되는 경우" 의 마지막 뺄셈은 4학년 다단계 문장제의 마무리입니다.

[1] #2 4.OA.B.4 $2020$ 을 소인수분해합니다. $10$ 의 인수를 먼저 빼면 $2020 = 10 \times 202 = 2 \times 5 \times 2

[2] #2 6.EE.A.1 약수의 총 개수를 세는 규칙을 씁니다. $N = p_1^{a} \cdot p_2^{b} \cdot p_3^{c}$ 이면 $N$ 의 약수 개수는

[3] #16 4.OA.B.4 도구 #16 으로 "여집합" — 즉 약수가 $1, 2, 3$ 개인 수 — 의 구조부터 정리합니다. 약수가 $1$ 개인 수는 $1$ 뿐, 약수가

[4] #2 4.OA.B.4 분류마다 $2020$ 의 약수만 골라 빠짐없이 나열합니다. (i) $1$ 은 항상 약수 — $1$ 개. (ii) $2020$ 의 소수 약수는 $

[5] #16 4.OA.A.3 여집합 개수를 전체에서 뺍니다. $2020$ 의 약수 $12$ 개 중 약수가 $3$ 개 이하인 수는 정확히 $5$ 개이므로, 약수가 $3$ 개를

검토

합리성 확인: $2020$ 의 약수 $12$ 개를 모두 적어 직접 확인해 봅시다 — $1, 2, 4, 5, 10, 20, 101, 202, 404, 505, 1010, 2020$. 이 중 약수가 $3$ 개 이하인 수는 $1$(1개), $2$(2개), $5$(2개), $101$(2개), $4$(3개) 의 $5$ 개입니다. 나머지 $12 - 5 = 7$ 개 — $10, 20, 202, 404, 505, 1010, 2020$ — 은 모두 약수가 $4$ 개 이상이라 조건을 만족합니다. 답 $7$ 은 (B) 와 정확히 일치합니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 만으로도 풀 수 있습니다. $2020$ 의 약수 $12$ 개를 모두 적은 뒤, 각 약수의 소인수분해(예: $20 = 2^2 \cdot 5$ → 약수 $3 \cdot 2 = 6$ 개)로 약수 개수를 일일이 구하고, $4$ 이상인 것만 세는 방법입니다. 답은 같지만 계산량이 많아, 도구 #16(여집합) 으로 "안 되는 경우 $5$" 만 세는 쪽이 훨씬 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수쌍 모두 찾기, 배수 알기, 소수·합성수 판별 ($2020 = 2^2 \times 5 \times 101$ 의 소인수분해, 그리고 "소수는 약수 2개, 소수의 제곱은 약수 3개" 라는 사실을 이용한 여집합 분류에 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식 쓰고 계산하기 ($2020 = 2^2 \times 5^1 \times 101^1$ 의 지수 표현과, 약수 개수 공식 $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$ 의 계산에 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (여집합 뺄셈 $12 - 5 = 7$ 로 마지막 답을 끌어내는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "지수가 있는 수식" 만 알면 풀 수 있어요 — $2020 = 2^2 \times 5 \times 101$ 만 써 두면 나머지는 이미 아는 셈이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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