AMC 8 · 2020 · #23

• 먼저 "모두에게 줘야 한다" 는 조건을 무시한 채 모든 분배 방법의 수를 셉니다.
• 상 $5$ 개 각각이 학생 $3$ 명 중 누구에게나 갈 수 있고 그 선택이 서로 독립이므로, 곱셈의 원리에 따라 $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$ 가지 입니다.

💡 $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ 을 $3^5$ 로 쓰는 것은 6학년 자연수 거듭제곱 표현 그대로입니다.

• 이제 "적어도 한 명이 빈손" 인 나쁜 경우를 뺍니다.
• 빈손이 될 학생을 먼저 고르는 방법은 $\binom{3}{1} = 3$ 가지이고, 그 학생을 제외하면 상 $5$ 개를 남은 두 학생에게 자유롭게 나눠 주는 방법이 $2^5 = 32$ 가지이므로 곱해서 $3 \cdot 32 = 96$ 가지입니다.

💡 "빈손이 될 학생부터 정하고, 그 다음 남은 사람에게 나눠 주기" 처럼 단계로 쪼개 세는 것이 7학년 복합사건 정리표 사고방식입니다.

• 그런데 위에서 너무 많이 뺐습니다.
• 예를 들어 학생 $A$ 도 학생 $B$ 도 모두 빈손인 분배는, $A$ 가 빈손인 경우를 뺄 때 한 번, $B$ 가 빈손인 경우를 뺄 때 또 한 번, 즉 두 번 빠졌습니다.
• 이런 "두 명 동시에 빈손" 인 경우를 한 번 다시 더해 줘야 합니다.
• 빈손 학생 두 명을 고르는 방법은 $\binom{3}{2} = 3$ 가지이고, 남은 한 학생에게 상 $5$ 개를 모두 주는 방법은 $1^5 = 1$ 가지입니다.

💡 중복으로 빠진 경우를 알아채고 다시 더해 주는 것은 7학년 복합사건에서 "겹친 부분 처리" 의 핵심 사고입니다.

• 세 값을 포함-배제 순서로 합칩니다 — 전체에서 한 명 빈손을 빼고, 두 명 빈손을 더합니다.
• (세 명이 모두 빈손인 경우는 상이 어딘가로 가야 하므로 애초에 불가능해서 빼 줄 항이 없습니다.)

💡 경우의 수를 더하고 빼는 순서를 잘 맞춰 이중 계산을 피하는 것이 7학년 복합사건 세기의 표준 방법입니다.