AMC 8 · 2020 · #9

학년 3 geometry-3dcounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

spatial-visualizationsystematic-enumerationcombinations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

아카쉬의 생일 케이크는 $4 \times 4 \times 4$ 인치 정육면체 모양입니다. 이 케이크는 윗면과 네 개의 옆면에 아이싱이 발려 있고, 아랫면에는 아이싱이 없습니다. 아래 그림과 같이 케이크를 한 변의 길이가 $1$ 인치인 작은 정육면체 $64$ 개로 잘랐다고 합시다. 정확히 두 면에 아이싱이 묻은 작은 조각은 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 아카쉬의 생일 케이크는 한 변이 $4$ 인치인 정육면체이고, 윗면과 옆면 $4$ 개에는 아이싱이 발려 있지만 바닥에는 아이싱이 없습니다. 이 케이크를 한 변이 $1$ 인치인 작은 정육면체 $64$ 개로 잘랐을 때, 아이싱이 "정확히 두 면" 에만 묻은 작은 조각은 몇 개일까요?

주어진 것: 큰 정육면체 한 변 $= 4$ 인치, 잘라낸 작은 정육면체 $= 4 \times 4 \times 4 = 64$ 개; 아이싱이 발린 면: 윗면 $+$ 옆면 $4$ 개 = 총 $5$ 면; 바닥면에는 아이싱이 없음; 선택지: (A) $12$, (B) $16$, (C) $18$, (D) $20$, (E) $24$

구하는 것: $6$ 면 중 정확히 $2$ 면에만 아이싱이 묻은 작은 정육면체의 개수

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

$6$ 면 중 $5$ 면에만 아이싱이 있으므로, "꼭짓점은 $3$ 면, 모서리는 $2$ 면" 이라는 평소의 대칭 규칙이 바닥 쪽에서 깨집니다. 도구 #10(직접 만져보기) 으로 작은 정육면체 $64$ 개를 실제로 쌓거나 그림으로 그리면, 어떤 위치의 작은 조각이 "정확히 두 면" 에 해당하는지 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 답이 될 수 있는 위치를 세 종류 — 윗 모서리, 세로 모서리, 바닥 꼭짓점 — 로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 각 종류를 빠뜨림이나 중복 없이 셉니다.

실행 — 정답: D

#10 직접 만져보기 K.G.B.4 단계 1

큰 정육면체를 상상하고, 작은 조각의 위치를 종류별로 정리합니다.
꼭짓점에 있는 조각 $8$ 개, 모서리에 있는 조각 $12$ 개의 모서리 × "양 끝 꼭짓점을 뺀 가운데 $4 - 2 = 2$ 개" $= 24$ 개, 각 면의 중앙에 있는 조각 $6$ 개의 면 × $4 = 24$ 개, 그리고 속에 완전히 묻힌 조각 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 개입니다.
작은 조각의 "아이싱 묻은 면 수" 는 그 조각이 닿고 있는 큰 정육면체의 "아이싱 면" 수와 같습니다.

$$\text{꼭짓점}=8,\;\;\text{모서리 가운데}=12\times 2=24,\;\;\text{면 중앙}=6\times 4=24,\;\;\text{속}=2\times 2\times 2=8$$

💡 작은 조각을 꼭짓점·모서리·면·속의 가족으로 분류하는 것은 입체도형을 살펴보는 유치원 수준의 기본 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 K.G.B.4 단계 2

"정확히 두 면" 이 될 수 있는 위치를 세 종류 하위 문제로 나눕니다 — (가) 아이싱 있는 윗면과 옆면이 만나는 "윗 모서리" 위의 가운데 조각들, (나) 아이싱 있는 옆면끼리 만나는 "세로 모서리" 위의 가운데 조각들, (다) 아이싱 있는 옆면 둘과 아이싱 없는 바닥이 만나는 "바닥 꼭짓점" 의 조각들.

$$\text{경우} = \{\text{윗 모서리},\;\text{세로 모서리},\;\text{바닥 꼭짓점}\}$$

💡 큰 입체의 겉면을 "따로 셀 수 있는 부분" 들로 나누는 것이 입체 문제에서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 작동하는 방식입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 3

경우 (가) — 윗 모서리 조각을 셉니다.
윗면 둘레에는 모서리가 $4$ 개 있고, 각 모서리에서 양 끝 두 조각은 "윗 꼭짓점" 으로 아이싱이 $3$ 면 묻으므로 제외하고, 가운데 $2$ 조각만 아이싱이 윗면 $1$ 개 $+$ 옆면 $1$ 개 $= $ 정확히 $2$ 면에 묻습니다.

$$4 \text{ 개 윗 모서리} \times 2 \text{ 개 가운데 조각} = 8 \text{ 개}$$

💡 "$4$ 묶음에 $2$ 씩" 이라는 곱셈은 3학년 곱셈의 의미 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 4

경우 (나) — 세로 모서리 조각을 셉니다.
윗 꼭짓점과 바닥 꼭짓점을 잇는 세로 모서리는 $4$ 개입니다.
위 끝은 윗 꼭짓점($3$ 면 아이싱), 아래 끝은 바닥 꼭짓점(다음 경우에서 따로 처리)으로 빠지고, 가운데 $2$ 조각은 아이싱 있는 옆면 두 개에 닿아서 정확히 $2$ 면에 아이싱이 묻습니다.

$$4 \text{ 개 세로 모서리} \times 2 \text{ 개 가운데 조각} = 8 \text{ 개}$$

💡 (가) 와 똑같은 "$4$ 묶음 $\times 2$" 구조라, 곱셈 한 번이면 깔끔하게 정리됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 5

경우 (다) — 바닥 꼭짓점 조각을 셉니다.
큰 정육면체의 바닥에는 꼭짓점이 $4$ 개이고, 각 꼭짓점 조각은 아이싱 있는 옆면 두 개 $+$ 아이싱 없는 바닥에 닿으므로 정확히 $2$ 면 아이싱입니다.
(윗 꼭짓점 $4$ 개는 윗면 $+$ 옆면 $2$ 개 = $3$ 면 아이싱이라 제외.) 또 바닥 모서리 $4$ 개의 가운데 조각들은 아이싱 있는 옆면 한 개만 닿아서 $1$ 면뿐이라 세지 않습니다.

$$4 \text{ 개 바닥 꼭짓점} \times 1 = 4 \text{ 개}$$

💡 바닥 꼭짓점 $4$ 개를 하나씩 짚어 가며 "몇 면에 닿는가" 를 확인하는 것은 그대로 빠짐없이 나열하기입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 6

세 경우의 결과를 더하면 "정확히 두 면" 에 아이싱이 묻은 작은 조각의 총 개수가 나옵니다.

$$8 + 8 + 4 = 20 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 쪼갠 답을 다시 한 번의 덧셈으로 합치는 것은 3학년 여러 단계 문장제의 마무리 동작입니다.

[1] #10 K.G.B.4 큰 정육면체를 상상하고, 작은 조각의 위치를 종류별로 정리합니다. 꼭짓점에 있는 조각 $8$ 개, 모서리에 있는 조각 $12$ 개의 모서리 ×

[2] #7 K.G.B.4 "정확히 두 면" 이 될 수 있는 위치를 세 종류 하위 문제로 나눕니다 — (가) 아이싱 있는 윗면과 옆면이 만나는 "윗 모서리" 위의 가운데

[3] #2 3.OA.A.1 경우 (가) — 윗 모서리 조각을 셉니다. 윗면 둘레에는 모서리가 $4$ 개 있고, 각 모서리에서 양 끝 두 조각은 "윗 꼭짓점" 으로 아이싱이

[4] #2 3.OA.A.1 경우 (나) — 세로 모서리 조각을 셉니다. 윗 꼭짓점과 바닥 꼭짓점을 잇는 세로 모서리는 $4$ 개입니다. 위 끝은 윗 꼭짓점($3$ 면 아이

[5] #2 3.OA.A.1 경우 (다) — 바닥 꼭짓점 조각을 셉니다. 큰 정육면체의 바닥에는 꼭짓점이 $4$ 개이고, 각 꼭짓점 조각은 아이싱 있는 옆면 두 개 $+$

[6] #7 3.OA.D.8 세 경우의 결과를 더하면 "정확히 두 면" 에 아이싱이 묻은 작은 조각의 총 개수가 나옵니다.

검토

합리성 확인: 장부를 맞춰 보면 $64$ 개 작은 조각이 모두 분류되는지 확인할 수 있습니다 — 속에 묻힌 $8$ 개($0$ 면), 옆면 $4$ 개의 중앙 $4 \times 4 = 16$ 개($1$ 면), 바닥 중앙 $4$ 개($0$ 면), 윗면 중앙 $4$ 개($1$ 면), 바닥 모서리 가운데 $4 \times 2 = 8$ 개($1$ 면), "정확히 $2$ 면" 우리가 센 $20$ 개, 윗 꼭짓점 $4$ 개($3$ 면). 합 $= 8 + 16 + 4 + 4 + 8 + 20 + 4 = 64$ 로 딱 맞으므로 $20$ 은 모순 없이 일관됩니다. 또 $20$ 은 선택지 (D) 에 그대로 들어 있어 답으로 적합합니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합) 으로 풀어도 같은 답이 나옵니다. 만약 케이크 $6$ 면 모두에 아이싱이 발려 있다면 "$2$ 면 아이싱" 조각은 모서리 $12$ 개 $\times$ 가운데 $2$ 개 $= 24$ 개입니다. 바닥의 아이싱만 벗기면 두 종류가 바뀝니다 — 바닥 모서리 가운데 $8$ 개는 $2$ 면에서 $1$ 면으로 떨어져 "$-8$", 바닥 꼭짓점 $4$ 개는 $3$ 면에서 $2$ 면으로 떨어져 "$+4$". 순변화 $-8 + 4 = -4$ 이므로 $24 - 4 = 20$ — 똑같이 (D) 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

K.G.B.4 이차원·삼차원 도형 분석 및 비교 ($4 \times 4 \times 4$ 큰 정육면체의 꼭짓점·모서리·면 중앙·속 위치를 구분해서, 작은 조각이 큰 면 몇 개에 닿는지로 분류하는 데 사용.)
3.OA.A.1 자연수의 곱셈을 "같은 개수의 묶음의 전체 개수" 로 해석 (윗 모서리·세로 모서리 경우를 "$4$ 묶음에 $2$ 개씩" 으로 보고 곱셈으로 세는 데 사용.)
3.OA.D.8 $100$ 이내에서 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (세 경우의 결과 $8 + 8 + 4 = 20$ 을 합쳐 최종 답을 구하는 마무리 단계에서 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 곱셈과 덧셈만 알면 풀 수 있어요 — 모서리와 꼭짓점을 세어서 곱하기로 묶고, 마지막에 더해 주면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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