AMC 8 · 2024 · #20
학년 3 geometry-3d문제
아래 그림과 같은 정육면체 PQRSTUVW의 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 만들어집니다. (예를 들어, 꼭짓점 P, Q, R를 이으면 이등변삼각형 △PQR이 됩니다.) 이렇게 만들어지는 삼각형 중 정삼각형이면서 점 P를 꼭짓점으로 갖는 것은 모두 몇 개입니까?
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AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정육면체 $PQRSTUVW$ 의 여덟 꼭짓점 중에서 세 개를 골라 삼각형을 만들 때, **꼭짓점 $P$ 를 포함하면서 정삼각형이 되는** 삼각형이 몇 개인지 묻는 문제입니다.
주어진 것: 정육면체에는 꼭짓점이 $8$ 개, 모서리(같은 길이)가 $12$ 개, 면(합동인 정사각형)이 $6$ 개 있다; $P$ 에서 한 모서리로 바로 이어진 이웃 꼭짓점은 정확히 $3$ 개: $Q, S, W$; $P$ 의 정반대편 꼭짓점(공간 대각선의 다른 끝)은 $U$; 선택지: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 6
구하는 것: 꼭짓점 $P$ 를 포함하는 정삼각형의 개수
이해
문제 재정리: 정육면체 $PQRSTUVW$ 의 여덟 꼭짓점 중에서 세 개를 골라 삼각형을 만들 때, **꼭짓점 $P$ 를 포함하면서 정삼각형이 되는** 삼각형이 몇 개인지 묻는 문제입니다.
주어진 것: 정육면체에는 꼭짓점이 $8$ 개, 모서리(같은 길이)가 $12$ 개, 면(합동인 정사각형)이 $6$ 개 있다; $P$ 에서 한 모서리로 바로 이어진 이웃 꼭짓점은 정확히 $3$ 개: $Q, S, W$; $P$ 의 정반대편 꼭짓점(공간 대각선의 다른 끝)은 $U$; 선택지: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 6
계획
주요 도구: #10 직접 만져보기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
정육면체는 머릿속으로만 다루기 어려우니, 먼저 도구 #10으로 **주사위·상자 같은 실물 정육면체**를 꺼내 한 꼭짓점에 $P$ 라고 적습니다. 그러면 $P$ 에서 다른 $7$ 개의 꼭짓점까지의 "거리 종류"가 세 가지뿐임이 손으로 만져 보면 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #16(관점 바꾸기)으로 "$P$ 와 정삼각형을 만들 수 있는 꼭짓점"을 직접 찾는 대신, **만들 수 없는 꼭짓점들을 먼저 빼는** 식으로 후보를 좁힙니다. 남은 후보가 작아지면 도구 #2로 세 점의 조합을 빠짐없이 나열하고, 마지막으로 도구 #3으로 답을 선택지와 맞춰 봅니다.
실행 — 정답: D
K.G.B.4 단계 1 - 주사위(또는 종이 상자) 한 꼭짓점에 $P$ 라고 적어 놓고, $P$ 와 나머지 $7$ 개 꼭짓점 사이의 "길의 종류"를 손으로 따져 봅니다.
- 종류는 세 가지뿐입니다: ① **모서리로 이웃한 꼭짓점**($Q, S, W$의 3개), ② **같은 면 위에서 마주보는 꼭짓점** = 면 대각선의 다른 끝($R, T, V$의 3개), ③ **정육면체 정반대편 꼭짓점** = 공간 대각선의 다른 끝($U$의 1개).
- 합계 $3 + 3 + 1 = 7$ 로 $P$ 를 뺀 나머지 모든 꼭짓점이 정확히 분류됩니다.
💡 실제 정육면체를 손으로 돌려 보며 "가까운 점·면을 가로질러 마주보는 점·정반대 점"으로 나누는 일은 유치원에서 입체도형을 살펴보고 비교하는 활동에 해당합니다.
3.G.A.1 단계 2 - 정육면체의 여섯 면은 **모두 합동인 정사각형**이므로, 모든 면 대각선의 길이는 똑같습니다.
- 같은 이유로 모든 모서리도 길이가 같고, 모서리 길이와 면 대각선 길이는 다릅니다(정사각형 안에서 한 변보다 대각선이 더 길죠).
- 또 공간 대각선은 면 대각선보다도 더 깁니다(정육면체를 가로지르니까요).
- 그래서 $P$ 에서 출발하는 "길이의 종류"는 **모서리 길이 < 면 대각선 < 공간 대각선** 의 세 단계로 모두 다릅니다.
💡 "여섯 면이 모두 똑같은 정사각형이니 그 안의 대각선도 모두 똑같다"는 추론은 3학년에서 같은 분류의 도형이 같은 성질을 공유한다는 개념에서 나옵니다.
K.G.B.4 단계 3 - 정삼각형은 세 변의 길이가 같아야 하므로, $P$ 를 한 꼭짓점으로 쓰는 정삼각형에서는 다른 두 꼭짓점도 $P$ 와의 거리가 **같은 종류**여야 합니다.
- 그래서 정삼각형이 될 수 **없는** 후보부터 지웁니다: 공간 대각선 종류는 $P$ 의 반대편 꼭짓점 $U$ 단 하나뿐이라 "$P$ 와 같은 거리의 다른 두 점"을 만들 수 없으므로 $U$ 와 공간 대각선 길이를 쓰는 정삼각형은 만들 수 없습니다.
- 모서리 길이로 만들려면 $P$ 의 이웃 $Q, S, W$ 중 두 점을 골라야 하는데, 어떤 두 이웃을 골라도 그 두 점은 서로 면 대각선만큼 떨어져 있어 길이가 달라지므로 모서리 길이의 정삼각형도 만들 수 없습니다.
- 남는 유일한 가능성은 **면 대각선 길이**, 즉 $P$ 와 같은 면에서 마주보는 세 점 $R, T, V$ 만 후보입니다.
💡 "안 되는 경우를 먼저 지운다"는 관점 바꾸기는 유치원의 도형 분류 활동에서 "여기 들어가지 않는 것은 빼기"의 자연스러운 확장입니다.
K.OA.A.3 단계 4 - 세 후보 $R, T, V$ 중에서 두 점을 골라 $P$ 와 함께 삼각형을 만드는 방법을 **빠짐없이 나열**합니다.
- 알파벳 순서로 적으면: ① $\{R, T\}$ → $\triangle PRT$, ② $\{R, V\}$ → $\triangle PRV$, ③ $\{T, V\}$ → $\triangle PVT$.
- 총 $3$ 가지입니다.
💡 세 글자 $R, T, V$ 에서 두 개씩 짝을 만드는 일은 유치원의 "3을 두 묶음으로 나누기" 같은 작은 분해 활동과 같은 수준입니다.
2.G.A.1 단계 5 - 이 세 삼각형이 정말로 정삼각형인지, 즉 두 후보 점 사이의 거리도 면 대각선인지 손에 든 정육면체로 확인합니다.
- ① $R$ 과 $T$ 는 뒷면 $RSTU$ 의 마주보는 꼭짓점 → 면 대각선.
- ② $R$ 과 $V$ 는 오른쪽 면 $QRUV$ 의 마주보는 꼭짓점 → 면 대각선.
- ③ $T$ 와 $V$ 는 아랫면 $TUVW$ 의 마주보는 꼭짓점 → 면 대각선.
- 모든 면이 합동인 정사각형이므로(2단계) 세 거리는 모두 같고, 따라서 세 삼각형 모두 정삼각형입니다.
💡 세 변이 모두 같은 종류의 면 대각선임을 짚는 일은 2학년에서 "세 변이 같은 삼각형"이라는 도형의 특성을 알아보는 활동과 같은 수준입니다.
K.OA.A.5 단계 6 - 구한 답 $3$ 을 선택지와 맞춰 봅니다.
- $(A) 0$, $(B) 1$, $(C) 2$ 는 우리가 이미 세 개의 정삼각형 예 $\triangle PRT, \triangle PRV, \triangle PVT$ 를 직접 찾았으므로 모두 너무 작아 탈락.
- $(E) 6$ 은 후보 점이 $R, T, V$ 단 세 개뿐이어서 $P$ 와 함께 만들 수 있는 삼각형 수가 $\binom{3}{2} = 3$ 을 넘을 수 없으므로 탈락.
- 남는 답은 $(D) 3$ 입니다.
💡 $5$ 이내의 수를 세어 가장 알맞은 것을 고르는 일은 유치원의 $5$ 이내 덧셈·셈하기 능력으로 충분합니다.
K.G.B.4 주사위(또는 종이 상자) 한 꼭짓점에 $P$ 라고 적어 놓고, $P$ 와 나머지 $7$ 개 꼭짓점 사이의 "길의 종류"를 손으로 따져 봅니다. 3.G.A.1 정육면체의 여섯 면은 **모두 합동인 정사각형**이므로, 모든 면 대각선의 길이는 똑같습니다. 같은 이유로 모든 모서리도 길이가 같고, 모서리 K.G.B.4 정삼각형은 세 변의 길이가 같아야 하므로, $P$ 를 한 꼭짓점으로 쓰는 정삼각형에서는 다른 두 꼭짓점도 $P$ 와의 거리가 **같은 종류**여 K.OA.A.3 세 후보 $R, T, V$ 중에서 두 점을 골라 $P$ 와 함께 삼각형을 만드는 방법을 **빠짐없이 나열**합니다. 알파벳 순서로 적으면: ① 2.G.A.1 이 세 삼각형이 정말로 정삼각형인지, 즉 두 후보 점 사이의 거리도 면 대각선인지 손에 든 정육면체로 확인합니다. ① $R$ 과 $T$ 는 뒷면 K.OA.A.5 구한 답 $3$ 을 선택지와 맞춰 봅니다. $(A) 0$, $(B) 1$, $(C) 2$ 는 우리가 이미 세 개의 정삼각형 예 $\triangl 검토
합리성 확인: $P$ 와 정삼각형을 만들려면 $P$ 의 "같은 거리 종류"의 점이 적어도 두 개 필요한데, 모서리 거리에 있는 이웃 점 세 개와 면 대각선 거리에 있는 마주보는 점 세 개 중에서, 후자의 세 점 $R, T, V$ 끼리도 서로 면 대각선만큼 떨어져 있다는 점이 이 문제의 핵심입니다. $P$ 에서 만들 수 있는 답이 $3$ 개라는 사실은 정육면체의 대칭성과 잘 어울립니다 — 사실 정육면체에서 꼭짓점 하나를 골라 만들 수 있는 정삼각형은 항상 $3$ 개씩이고, 모든 꼭짓점에서 같은 방식으로 셀 수 있다는 점이 합리성의 검산이 됩니다.
대안 접근: 다른 방법으로는 도구 #17(공간 상상하기)을 써서 정육면체 안에 "꼭짓점 $P, R, T, V$ 로 이루어진 정사면체"가 숨어 있다고 보는 길이 있습니다. 정사면체의 네 면은 모두 정삼각형이고, 그중 꼭짓점 $P$ 를 포함하는 면은 $\triangle PRT, \triangle PRV, \triangle PVT$ 의 $3$ 개이므로 같은 답을 얻습니다. 다만 이 방법은 머릿속에 정사면체를 떠올려야 하므로, 본 풀이의 "실물 + 나열" 접근이 어린 학습자에게는 더 안전합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
K.OA.A.310 이하의 수를 두 묶음으로 분해한다 (세 후보 점 $\{R, T, V\}$ 에서 두 개씩 짝을 만들어 세 가지 경우 $\{R,T\}, \{R,V\}, \{T,V\}$ 를 나열하는 데 사용.)K.OA.A.55 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 (찾은 정삼각형의 개수 $3$ 을 세고 선택지 $(D)$ 와 맞추는 데 사용.)K.G.B.42차원·3차원 도형을 분석하고 비교한다 (실물 정육면체를 만져 보며 꼭짓점 사이의 거리를 모서리·면 대각선·공간 대각선의 세 종류로 분류하고, 정삼각형이 될 수 없는 거리 종류를 가려내는 데 사용.)2.G.A.1주어진 속성을 가진 도형(예: 세 변이 같은 삼각형)을 알아보고 그린다 (세 변이 모두 같은 면 대각선임을 확인해 $\triangle PRT, \triangle PRV, \triangle PVT$ 가 정삼각형이라고 판정하는 데 사용.)3.G.A.1같은 분류에 속하는 도형은 공통 속성을 공유함을 이해한다 ("정육면체의 여섯 면이 모두 합동인 정사각형"이라는 공통 성질로부터 모든 면 대각선의 길이가 같다는 사실을 끌어내는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 도형의 공통 성질(정육면체의 모든 면이 똑같은 정사각형!)만 알면 풀려요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 도형의 공통 성질(정육면체의 모든 면이 똑같은 정사각형!)만 알면 풀려요!
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