AMC 8 · 2022 · #15

학년 6 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Coordinate Graph Slope as Rate

graph-readingrateslope-intercept systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: graph-readingrate

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

라슬로(Laszlo)는 검은 후추를 사기 위해 온라인 쇼핑을 하던 중, 무게와 가격이 서로 다른 $30$ 가지의 검은 후추 상품을 찾았습니다. 아래 산점도가 이를 나타냅니다. 온스(ounce)당 가격이 가장 낮은 후추의 무게는 몇 온스입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 산점도에는 후추 상품 $30$ 개가 점 $(w, p)$ 로 표시되어 있습니다. $x$ 축 $w$ 는 무게(온스), $y$ 축 $p$ 는 가격(달러)입니다. 온스당 가격 $\dfrac{p}{w}$ 가 가장 작은 상품의 무게(온스)를 구해야 하며, 가능한 답은 $1, 2, 3, 4, 5$ 온스 중 하나입니다.

주어진 것: 산점도의 점 $30$ 개, $x$ 축 = 무게(온스), $y$ 축 = 가격(달러); 무게는 $w = 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5$ 위치에 점들이 모여 있음; 각 정수 무게 열에서 가장 싼 점(산점도에서 읽음): $(1, 1.2)$, $(2, 2.0)$, $(3, 2.5)$, $(4, 3.9)$, $(5, 4.5)$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$ (온스)

구하는 것: 온스당 가격이 가장 낮은 후추 상품의 무게(온스)

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #1 그림 그리기

선택지가 산점도의 정수 $x$ 값과 정확히 일치하므로, 도구 #3(가능성 지우기) 을 쓰면 문제가 다섯 후보의 작은 시합으로 줄어듭니다 — 각 열에서 가장 싼 점만 골라 온스당 가격을 계산하고 그중 최솟값을 고르면 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 $\dfrac{\text{달러}}{\text{온스}}$ 라는 단위율을 정확히 잡아 주고, 같은 분모일 때는 분자가 작은 점만 살펴봐도 되는 이유를 설명합니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 $\dfrac{p}{w}$ 가 원점 $(0,0)$ 에서 점 $(w, p)$ 로 그은 직선의 기울기와 같다는 기하적 해석을 제공해, 가장 완만한 기울기의 점이 정답이라는 시각적 검증 도구가 됩니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 1

"온스당 가격" 을 단위율로 바꿔, 각 점을 비교 가능한 하나의 수로 만듭니다.
점 $(w, p)$ 의 온스당 가격은 $\dfrac{p \text{ 달러}}{w \text{ 온스}}$ 이고, 단위는 "온스당 달러" 입니다.

$$\text{온스당 가격} = \dfrac{p}{w}$$

💡 "$\sim$ 당" 표현을 단위율로 해석하는 것은 6학년 "단위율" 개념 그대로입니다 — 분자에 달러, 분모에 온스.

#3 가능성 지우기 4.NF.C.7 단계 2

각 열에서 후보를 하나로 줄입니다.
무게 $w$ 가 고정되면 $\dfrac{p}{w}$ 는 $p$ 가 작아질수록 작아지므로, 같은 정수 무게 열 안에서는 가장 싼 점만이 그 열의 최저 단위율 후보가 됩니다.
같은 열의 다른 점들은 모두 제외합니다.

$$w \text{ 고정시}: \; \dfrac{p_1}{w} < \dfrac{p_2}{w} \;\Longleftrightarrow\; p_1 < p_2$$

💡 분모가 같을 때 분자만 비교하면 되는 것은 4학년 소수 비교 그대로입니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 3

각 정수 무게 열에서 가장 낮은 점의 좌표를 산점도에서 직접 읽어, 선택지마다 후보 한 개씩을 얻습니다.

$$(1,\,1.2),\; (2,\,2.0),\; (3,\,2.5),\; (4,\,3.9),\; (5,\,4.5)$$

💡 평면 위의 점에서 $(x, y)$ 좌표를 읽어 내는 것은 정확히 5학년 좌표평면 표현 기능입니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 4

각 후보의 온스당 가격을 가격 $\div$ 무게로 계산해, "온스당 달러" 단위의 소수로 표현합니다.

$$\dfrac{1.2}{1}=1.20,\;\dfrac{2.0}{2}=1.00,\;\dfrac{2.5}{3}\approx 0.833,\;\dfrac{3.9}{4}=0.975,\;\dfrac{4.5}{5}=0.90$$

💡 한 자리 소수의 가격을 한 자리 자연수 무게로 나누는 것은 5학년 "소수의 사칙연산" 표준입니다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.A.3 단계 5

다섯 단위율을 비교해 최솟값을 고릅니다.
$1.20,\; 1.00,\; 0.833,\; 0.975,\; 0.90$ 중 가장 작은 값은 $0.833$ 달러/온스이며, 이는 $w = 3$ 열에서 나온 값입니다.

$$\min(1.20,\,1.00,\,0.833,\,0.975,\,0.90) = 0.833\;\text{at}\;w = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 소수를 천분의 일 자리까지 맞춰 적고 가장 작은 값을 고르는 것은 5학년 "소수 비교" 과업입니다.

[1] #8 6.RP.A.2 "온스당 가격" 을 단위율로 바꿔, 각 점을 비교 가능한 하나의 수로 만듭니다. 점 $(w, p)$ 의 온스당 가격은 $\dfrac{p \tex

[2] #3 4.NF.C.7 각 열에서 후보를 하나로 줄입니다. 무게 $w$ 가 고정되면 $\dfrac{p}{w}$ 는 $p$ 가 작아질수록 작아지므로, 같은 정수 무게 열

[3] #1 5.G.A.2 각 정수 무게 열에서 가장 낮은 점의 좌표를 산점도에서 직접 읽어, 선택지마다 후보 한 개씩을 얻습니다.

[4] #8 5.NBT.B.7 각 후보의 온스당 가격을 가격 $\div$ 무게로 계산해, "온스당 달러" 단위의 소수로 표현합니다.

[5] #3 5.NBT.A.3 다섯 단위율을 비교해 최솟값을 고릅니다. $1.20,\; 1.00,\; 0.833,\; 0.975,\; 0.90$ 중 가장 작은 값은 $0.83

검토

합리성 확인: 기울기 해석으로 빠르게 검산할 수 있습니다 — $\dfrac{p}{w}$ 는 원점에서 $(w, p)$ 로 그은 직선의 기울기이므로, 온스당 가격이 가장 싼 점은 원점에서 그은 직선이 가장 완만한 점입니다. 정수 열에서 가장 싼 점들 중 $(3, 2.5)$ 는 직선 $y = x$ 보다 가장 많이 아래에 있고, $(1, 1.2)$ 는 그 위에 살짝 떠 있습니다. 숫자도 일치합니다 — $0.833 < 0.90 < 0.975 < 1.00 < 1.20$ 이므로 $3$ 온스에 $\$2.50$ 짜리가 진짜로 가장 좋은 거래이며, 답 (C) 와 정확히 맞아 떨어집니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 만으로도 풀 수 있습니다 — 다섯 후보 점에 원점에서 직선을 살짝씩 그어 보면, 가장 완만한 기울기의 직선이 바로 $(3, 2.5)$ 를 지납니다. 기울기 $= \dfrac{p}{w} = $ 온스당 가격이므로, 산수 없이 즉시 (C) 가 보입니다 — 위의 숫자 비교를 시각적으로 확인해 주는 방법입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.2 단위율 개념의 이해와 비율 언어 사용 (산점도의 각 점에 대해 "온스당 가격" 을 단위율 $\dfrac{p \text{ 달러}}{w \text{ 온스}}$ 로 해석하는 데 사용.)
4.NF.C.7 소수점 둘째 자리까지의 소수 크기 비교 (같은 분모(무게)일 때는 분자(가격)가 작은 점만 후보가 된다는 사실로, 각 무게 열에서 최저가 점만 남기고 나머지를 모두 제거하는 데 사용.)
5.G.A.2 점을 좌표평면에 표시하여 실생활·수학 문제 표현 (각 정수 무게 열에서 가장 싼 점의 $(w, p)$ 좌표를 산점도에서 직접 읽어내는 데 사용.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (각 후보의 온스당 가격을 가격 $\div$ 무게(예: $2.5 \div 3 \approx 0.833$)로 계산하는 데 사용.)
5.NBT.A.3 천분의 일 자리까지의 소수 읽기·쓰기·비교 (다섯 단위율을 천분의 일 자리까지 정렬하고 그중 최솟값을 골라 $3$ 온스 상품이 최저 단가임을 확정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "$\sim$ 당 가격" 단위율 개념만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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