AMC 8 · 2022 · #19

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

mean-median-mode-rangegraph-readingsystematic-enumeration caseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangegraph-reading

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

라모스(Ramos) 선생님은 학생 $20$ 명으로 이루어진 반에 시험을 보았습니다. 아래의 도트 플롯은 시험 점수의 분포를 나타냅니다.

나중에 라모스 선생님은 한 문항의 채점에 오류가 있었음을 발견했습니다. 그는 시험을 다시 채점하면서 일부 학생들에게 $5$ 점을 추가로 주었고, 그 결과 시험 점수의 중앙값이 $85$ 점으로 높아졌습니다. 추가 점수를 받은 학생 수의 최솟값은 얼마입니까?

(단, $20$ 개의 시험 점수를 작은 수부터 차례로 나열했을 때, 중앙값은 가운데에 위치한 $2$ 개 점수의 평균과 같습니다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 라모스 선생님 반 학생 $20$명의 시험 점수가 점도표에 그려져 있습니다. 채점 오류를 발견한 선생님이 일부 학생에게 $5$점을 더해 주었더니 중앙값이 $85$점으로 올라갔습니다. 보너스 $5$점을 받은 학생 수가 최소 몇 명이어야 이런 변화가 가능한지 묻는 문제입니다.

주어진 것: 점도표에서 읽은 점수별 학생 수: $65$점 $2$명, $70$점 $2$명, $75$점 $4$명, $80$점 $5$명, $85$점 $2$명, $90$점 $3$명, $95$점 $1$명, $100$점 $1$명 (총 $20$명); 보너스를 받는 학생의 점수는 정확히 $5$점만큼 올라간다; 조정 후 $20$명의 새 중앙값은 정확히 $85$점이다; $20$개의 자료에서 중앙값은 정렬했을 때 $10$번째와 $11$번째 값의 평균이다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: 중앙값을 $85$점으로 끌어올리기 위해 $5$점 보너스를 받아야 하는 학생의 최소 인원수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #6 추측하고 확인하기

점도표 자료가 $20$개로 크지 않아 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모든 점수를 오름차순으로 펼쳐 적으면 $10$번째와 $11$번째 자리가 한눈에 보입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 "학생을 누구로 정할까?" 라는 큰 질문을 "최종 $20$개 점수 중 몇 개가 $85$점 이상이어야 할까?" 라는 작은 질문으로 바꿉니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $3$명이면 부족하고 $4$명이면 충분함을 직접 확인해 최솟값을 못박습니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.4 단계 1

점도표의 개수대로 $20$개의 점수를 오름차순으로 한 줄에 펼쳐 적습니다.
그러면 중앙값을 결정하는 $10$번째·$11$번째 자리가 어떤 점수인지 바로 보입니다.

$$\underbrace{65, 65}_{\text{1-2}},\, \underbrace{70, 70}_{\text{3-4}},\, \underbrace{75, 75, 75, 75}_{\text{5-8}},\, \underbrace{80, 80, 80, 80, 80}_{\text{9-13}},\, \underbrace{85, 85}_{\text{14-15}},\, \underbrace{90, 90, 90}_{\text{16-18}},\, 95,\, 100$$

💡 점도표를 정렬된 한 줄 자료로 펼쳐 보는 것은 6학년 "수직선 위의 점도표·상자그림" 정리 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.A.3 단계 2

원래 중앙값을 확인합니다.
$20$개 자료의 중앙값은 $10$번째와 $11$번째 값의 평균인데, 펼친 목록에서 둘 다 $80$ 점이라 원래 중앙값은 $80$ 점입니다.
목표인 $85$점보다 낮으니 $10$번째·$11$번째 두 자리의 평균이 $85$가 되도록 만들어야 합니다.

$$\text{원 중앙값} = \dfrac{80 + 80}{2} = 80$$

💡 "가운데 값" 이라는 6학년 중앙값 정의가 어느 두 자리가 중요한지를 곧바로 알려 줍니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.SP.A.3 단계 3

도구 #9 로 문제를 단순화합시다.
중앙값을 $85$로 만드는 가장 깔끔한 방법은 $10$번째와 $11$번째 점수를 모두 $85$로 맞추는 것이고, 그러려면 최종 목록에서 $85$ 이상인 점수가 최소 $10$개 있어야 합니다 (그래야 $10$·$11$번째 자리에 $85$ 가 올라옴).
현재 $85$ 이상인 점수는 $2 + 3 + 1 + 1 = 7$ 개뿐이라서 $10 - 7 = 3$ 개를 더 끌어올려야 합니다.

$$\text{이미 } \ge 85 \text{인 점수: } 2 + 3 + 1 + 1 = 7, \quad \text{필요 추가: } 10 - 7 = 3$$

💡 "각 학생을 추적" 하는 큰 문제를 "$85$ 이상 자리 몇 개 필요?" 라는 작은 문제로 바꿔, 6학년 중앙값 개념을 반대편에서 바라봅니다.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.A.3 단계 4

$5$점만 더해서 $85$ 이상으로 올릴 수 있는 점수가 무엇인지 확인합니다.
$65$, $70$, $75$에 $5$를 더해 봐야 $70$, $75$, $80$ 으로 여전히 $85$ 미만이고, 오직 $80$에 $5$를 더해야 정확히 $85$ 가 됩니다.
따라서 "유효한" 보너스는 모두 $80$ 점 학생에게만 줘야 합니다.

$$80 + 5 = 85 \;\checkmark, \quad 75 + 5 = 80 < 85, \quad 70 + 5 = 75 < 85, \quad 65 + 5 = 70 < 85$$

💡 후보 네 점수에 직접 $5$ 를 더해 보면 $85$ 의 벽을 넘는 점수는 $80$ 뿐임이 한눈에 드러납니다.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.A.3 단계 5

정말 $3$명이면 충분한지 점검합니다.
$80$ 점 $5$명 중 $3$명에게 보너스를 주면 $80$ 점은 $2$명, $85$ 점은 $5$명이 됩니다.
이제 $85$ 미만 점수는 $2+2+4+2 = 10$ 개이므로 $1$~$9$ 번째 자리에 더해 $10$번째 자리에도 $80$ 이 한 자리 남고, $11$번째 자리가 $85$ 가 됩니다.
중앙값은 $\tfrac{80+85}{2} = 82.5 \ne 85$ 이라 $3$명으로는 부족합니다.

$$\text{3명에게 줄 때: 10번째 } = 80, \; 11번째 = 85 \Rightarrow \text{중앙값} = \dfrac{80+85}{2} = 82.5$$

💡 후보 최솟값은 항상 직접 검증해야 — 도구 #6 이 한 자리 차이의 함정을 잡아냅니다.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.A.3 단계 6

다음 후보인 $4$ 명으로 시도합니다.
$80$ 점 $5$명 중 $4$명에게 보너스를 주면 $80$ 점은 $1$명, $85$ 점은 $6$명이 됩니다.
$85$ 미만 점수의 개수는 $2+2+4+1=9$ 이므로 $1$~$9$번째 자리는 모두 $80$ 이하, $10$번째와 $11$번째 자리는 둘 다 $85$ 가 되어 중앙값이 정확히 $\tfrac{85+85}{2}=85$ 가 됩니다.
$3$ 명은 안 되고 $4$ 명은 되니, 최솟값은 $4$ — 즉 $\textbf{(C)}$ 입니다.

$$\text{4명에게 줄 때: 10번째 = 11번째 = } 85 \Rightarrow \text{중앙값} = \dfrac{85+85}{2} = 85 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $10$번째와 $11$번째 자리가 모두 $85$ 가 되는 순간 중앙값 정의에 의해 $85$ 가 확정됩니다.

[1] #2 6.SP.B.4 점도표의 개수대로 $20$개의 점수를 오름차순으로 한 줄에 펼쳐 적습니다. 그러면 중앙값을 결정하는 $10$번째·$11$번째 자리가 어떤 점수인

[2] #2 6.SP.A.3 원래 중앙값을 확인합니다. $20$개 자료의 중앙값은 $10$번째와 $11$번째 값의 평균인데, 펼친 목록에서 둘 다 $80$ 점이라 원래 중앙

[3] #9 6.SP.A.3 도구 #9 로 문제를 단순화합시다. 중앙값을 $85$로 만드는 가장 깔끔한 방법은 $10$번째와 $11$번째 점수를 모두 $85$로 맞추는 것이

[4] #6 6.SP.A.3 $5$점만 더해서 $85$ 이상으로 올릴 수 있는 점수가 무엇인지 확인합니다. $65$, $70$, $75$에 $5$를 더해 봐야 $70$, $

[5] #6 6.SP.A.3 정말 $3$명이면 충분한지 점검합니다. $80$ 점 $5$명 중 $3$명에게 보너스를 주면 $80$ 점은 $2$명, $85$ 점은 $5$명이 됩

[6] #6 6.SP.A.3 다음 후보인 $4$ 명으로 시도합니다. $80$ 점 $5$명 중 $4$명에게 보너스를 주면 $80$ 점은 $1$명, $85$ 점은 $6$명이 됩

검토

합리성 확인: 답 $4$ 는 선택지의 가운데에 위치하며 "되는 가장 작은 값" 임이 분명합니다. $3$명이면 중앙값이 $82.5$ 로 모자라고, $4$명이면 정확히 $85$, $5$ 또는 $6$ 명이어도 작동은 하지만 낭비입니다. 또 $80$ 점 학생은 $5$ 명뿐이므로 답이 $5$ 를 넘을 수 없는데 $4 \le 5$ 라 모순도 없습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 · 여집합) 로 더 빠르게 풀 수도 있습니다. "중앙값이 $85$ 가 되려면 $85$ 미만 점수가 최대 $9$ 개여야 한다" 로 뒤집어 보세요. 원래 $85$ 미만 점수는 $2+2+4+5=13$ 개이므로 $13-9=4$ 개를 $85$ 이상으로 끌어올려야 하고, $5$점 보너스로 $85$ 의 벽을 넘는 유일한 출발 점수가 $80$ 이므로 보너스를 $4$ 명의 $80$점 학생에게 줘야 합니다 — 답 $\textbf{(C)}\; 4$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.4 수직선 위의 점도표·상자그림 등으로 수치 자료 표현 (점도표를 읽어 $20$개의 점수를 오름차순 목록으로 펼치고 가운데 자리를 찾기 위해 사용.)
6.SP.A.3 중심 측정값이 모든 자료를 하나의 수로 요약함을 이해 ($20$개 자료의 중앙값($10$번째·$11$번째 값의 평균) 정의를 적용해 보너스 인원수에 따라 중앙값이 $85$ 가 되는지 검증하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 점도표 읽기와 중앙값 정의만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기