AMC 8 · 2022 · #25

학년 7 probabilitycounting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicrecursive-sequencesystematic-enumeration tree-enumerationcaseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

귀뚜라미 한 마리가 $4$ 개의 나뭇잎 사이를 무작위로 뛰어다닙니다. 매번 자신이 있는 잎을 제외한 나머지 $3$ 개의 잎 중 하나로 같은 확률로 뛰어 옮겨갑니다. $4$ 번 뛴 후, 귀뚜라미가 처음 출발했던 잎으로 돌아와 있을 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{2}{9}$

(B)

$frac{19}{80}$

(C)

$frac{20}{81}$

(D)

$frac{1}{4}$

(E)

$frac{7}{27}$

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 귀뚜라미 한 마리가 나뭇잎 $4$ 장 중 하나에 앉아 있습니다. 한 번 뛸 때마다 자기 자리를 뺀 나머지 $3$ 장 중 하나로, 똑같은 확률로 옮겨갑니다. 정확히 $4$ 번을 뛰고 난 뒤, 처음 출발한 나뭇잎에 다시 돌아와 있을 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 나뭇잎은 모두 $4$ 장이며, 출발 나뭇잎을 $A$, 나머지를 $B$, $C$, $D$ 라고 둔다; 한 번 뛸 때마다 다른 $3$ 장 중 하나로 똑같은 확률 $\tfrac{1}{3}$ 로 옮겨간다; 귀뚜라미는 정확히 $4$ 번 뛴다; 선택지: (A) $\tfrac{2}{9}$, (B) $\tfrac{19}{80}$, (C) $\tfrac{20}{81}$, (D) $\tfrac{1}{4}$, (E) $\tfrac{7}{27}$

구하는 것: $4$ 번 뛴 뒤 귀뚜라미가 다시 $A$ 위에 있을 확률 $p_4$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #1 그림 그리기

$4$ 번 뛴 결과를 한 번에 알아내는 건 어렵지만, $n$ 번 뛴 결과에서 $n+1$ 번 뛴 결과로 가는 한 발짝은 쉽습니다 — 시간(점프 횟수) 변수에 대해 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 적용하는 셈입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 나뭇잎 $4$ 장을 모든 쌍이 변으로 이어진 $K_4$ 로 그려 두면, $B$, $C$, $D$ 가 똑같은 역할을 한다는 대칭성이 한눈에 보입니다. 그러면 $4$ 개의 미지 확률이 단 두 개($A$ 위에 있을 확률 $p_n$ 과 임의의 다른 한 장 위에 있을 확률 $q_n$)로 줄어들고, 도구 #5(패턴 찾기)로 작은 한 단계짜리 점화식을 만들어 $n = 1, 2, 3, 4$ 까지 차례로 굴리면 답이 나옵니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 7.SP.C.7 단계 1

상황을 그림으로 그립니다.
나뭇잎 $A$, $B$, $C$, $D$ 를 정사각형(또는 정사면체) 꼭짓점에 두고 모든 쌍을 선으로 잇습니다 — 이것이 완전그래프 $K_4$ 입니다.
어느 나뭇잎에 있든 귀뚜라미는 정확히 $3$ 개의 나가는 변을 가지며, 각각 확률 $\tfrac{1}{3}$ 로 사용합니다.
$B$, $C$, $D$ 는 $A$ 와도, 서로끼리도 똑같은 방식으로 연결되어 있으므로 대칭입니다.

$$P(\text{특정 다른 나뭇잎으로 점프}) = \tfrac{1}{3}$$

💡 $K_4$ 를 그려 보면 $A$ 가 아닌 나뭇잎들은 모두 같은 역할을 한다는 사실이 보여서, 귀뚜라미의 위치를 "$A$ 위" 또는 "다른 한 장 위" 두 가지로만 추적해도 됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 2

$n$ 번 뛴 뒤의 두 상태 확률을 정의합니다.
$p_n =$ $A$ 위에 있을 확률, $q_n =$ $A$ 가 아닌 특정 한 나뭇잎 위에 있을 확률.
대칭성에 의해 $A$ 가 아닌 세 장의 확률이 모두 같으므로, 전체 확률 합은 $p_n + 3 q_n = 1$ 이 됩니다.

$$p_n + 3 q_n = 1, \quad p_0 = 1, \; q_0 = 0$$

💡 나뭇잎 $4$ 장을 "$A$ 위" / "다른 한 장 위" 두 경우로 합치는 것이 도구 #9 의 핵심 — 상태가 $4$ 개에서 $2$ 개로 줄어든 더 쉬운 문제로 바꾼 것입니다.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.4 단계 3

한 발짝 점화식을 세웁니다.
다음 점프 뒤에 $A$ 위에 있으려면, 지금은 $B$, $C$, $D$ 중 어딘가에 있어야 하고(총 확률 $3 q_n$), 거기서 $A$ 를 골라야 합니다(확률 $\tfrac{1}{3}$).
따라서 $p_{n+1} = 3 q_n \cdot \tfrac{1}{3} = q_n$.
특정 비-$A$ 나뭇잎(예: $B$) 위에 있으려면, $A$ 위에 있다가 $B$ 로 가거나($p_n \cdot \tfrac{1}{3}$) $C$ 또는 $D$ 에 있다가 $B$ 로 가는($2 q_n \cdot \tfrac{1}{3}$) 두 경로의 확률을 더합니다.

$$p_{n+1} = q_n, \qquad q_{n+1} = \dfrac{p_n + 2 q_n}{3}$$

💡 "거기 있을 확률" $\times$ "여기로 점프할 확률" 을 더하는 것뿐이라, 5학년 "분수 $\times$ 분수" 곱셈으로 충분합니다.

#5 패턴 찾기 5.NF.A.1 단계 4

$p_0 = 1, q_0 = 0$ 에서 출발해 점화식을 $n = 1, 2, 3, 4$ 까지 굴립니다.
매 단계에서 $p_n + 3 q_n = 1$ 인지 확인해 가며 진행합니다.

$$\begin{aligned} n=1:& \; p_1 = 0, \; q_1 = \tfrac{1}{3} \\ n=2:& \; p_2 = \tfrac{1}{3}, \; q_2 = \tfrac{0 + 2/3}{3} = \tfrac{2}{9} \\ n=3:& \; p_3 = \tfrac{2}{9}, \; q_3 = \tfrac{1/3 + 4/9}{3} = \tfrac{7/9}{3} = \tfrac{7}{27} \\ n=4:& \; p_4 = \tfrac{7}{27} \end{aligned}$$

💡 $\tfrac{1}{3} + \tfrac{4}{9} = \tfrac{7}{9}$ 같은 분모가 다른 분수의 덧셈을 네 번 반복하는 것뿐이라, 5학년 "분모가 다른 분수 덧셈" 만으로 충분합니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 5

답을 읽어 냅니다.
$4$ 번 점프 후 귀뚜라미가 출발 나뭇잎 $A$ 로 돌아와 있을 확률은 $p_4 = \tfrac{7}{27}$ 이며, 이는 선택지 (E) 입니다.

$$p_4 = \dfrac{7}{27} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $4$ 번 점프 전체에 걸친 복합 사건 확률이 깔끔하게 선택지 안의 분수로 떨어집니다 — 7학년 복합 사건 확률.

[1] #1 7.SP.C.7 상황을 그림으로 그립니다. 나뭇잎 $A$, $B$, $C$, $D$ 를 정사각형(또는 정사면체) 꼭짓점에 두고 모든 쌍을 선으로 잇습니다 — 이

[2] #9 7.SP.C.7 $n$ 번 뛴 뒤의 두 상태 확률을 정의합니다. $p_n =$ $A$ 위에 있을 확률, $q_n =$ $A$ 가 아닌 특정 한 나뭇잎 위에 있을

[3] #5 5.NF.B.4 한 발짝 점화식을 세웁니다. 다음 점프 뒤에 $A$ 위에 있으려면, 지금은 $B$, $C$, $D$ 중 어딘가에 있어야 하고(총 확률 $3 q_

[4] #5 5.NF.A.1 $p_0 = 1, q_0 = 0$ 에서 출발해 점화식을 $n = 1, 2, 3, 4$ 까지 굴립니다. 매 단계에서 $p_n + 3 q_n = 1

[5] #9 7.SP.C.8 답을 읽어 냅니다. $4$ 번 점프 후 귀뚜라미가 출발 나뭇잎 $A$ 로 돌아와 있을 확률은 $p_4 = \tfrac{7}{27}$ 이며, 이는

검토

합리성 확인: 검산 1: 매 단계에서 $p_n + 3 q_n = 1$ 이 성립합니다(예: $\tfrac{7}{27} + 3 \cdot \tfrac{20}{81} = \tfrac{21}{81} + \tfrac{60}{81} = 1$). 검산 2: 만약 매 턴마다 제자리 포함 $4$ 장 모두 똑같은 확률로 선택했다면 $A$ 위에 있을 확률은 $\tfrac{1}{4} = 0.25$ 가 되어야 합니다. 우리 답 $\tfrac{7}{27} \approx 0.259$ 는 $\tfrac{1}{4}$ 보다 살짝 크고, 점프 횟수가 짝수($4$)이고 매번 "반드시 옮겨야" 한다는 제약이 $A$ 로의 복귀를 아주 살짝 유리하게 만든다는 직관과 일치합니다. 선택지 (A) $\tfrac{2}{9} \approx 0.222$ 와 (D) $\tfrac{1}{4} = 0.25$ 는 너무 작고, (B) $\tfrac{19}{80}$ 은 분모 계열이 어긋납니다(분모는 $3^n$ 꼴이어야 함). (E) 만 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 와 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 조합: 가능한 $4$ 번 점프 순서는 모두 $3^4 = 81$ 가지입니다. 성공 경로를 두 번째 점프가 $A$ 로 돌아오는지로 나누어 셉니다. 경우 1 ($A \to X \to A \to Y \to A$): $3 \cdot 3 = 9$ 가지. 경우 2 ($A \to X \to Y \to Z \to A$, $Y \ne A$): $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ 가지 ($X$ 는 $3$ 가지, $Y$ 는 $A$ 가 아닌 $2$ 가지, $Z$ 는 $A$ 의 이웃 중 $Y$ 를 뺀 $2$ 가지). 성공 경로 합계 $= 9 + 12 = 21$ 이므로 확률 $= \tfrac{21}{81} = \tfrac{7}{27}$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($\tfrac{1}{3} + \tfrac{4}{9} = \tfrac{3}{9} + \tfrac{4}{9} = \tfrac{7}{9}$ 같은 점화식의 덧셈을 매 단계 수행.)
5.NF.B.4 분수 $\times$ 분수의 곱셈 ("그 나뭇잎에 있을 확률" 과 "거기서 목적 나뭇잎으로 점프할 확률" 을 곱하는 단계(예: $q_n \cdot \tfrac{1}{3}$)에 사용.)
7.SP.C.7 확률 모델 만들기와 사건 확률 계산 ($K_4$ 위의 귀뚜라미를 "$A$ 위 / 다른 한 장 위" 두 상태로 압축한 대칭 확률 모델을 세우는 데 사용.)
7.SP.C.8 정리표·나열·시뮬레이션을 이용한 복합 사건 확률 ($4$ 번의 점프를 묶어 하나의 복합 사건 확률 $p_4 = \tfrac{7}{27}$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "여러 단계 사건의 확률은 각 단계 확률의 곱과 합" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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