AMC 8 · 2022 · #7

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

rateunit-conversionmulti-digit-arithmetic dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: unit-conversionmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

월드 와이드 웹이 처음 대중화되었던 $1990$ 년대에는 다운로드 속도가 최대 초당 약 $56$ 킬로비트(kilobit) 정도였습니다. 이 속도로 $4.2$ 메가바이트(megabyte)짜리 노래 파일을 다운로드한다면 대략 몇 분이 걸리겠습니까? (단, $1$ 메가바이트는 $8000$ 킬로비트입니다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.6

(B)

(C)

1800

(D)

7200

(E)

36000

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1990$ 년대 전화선 인터넷이 처음 보급되었을 때 가장 빠른 다운로드 속도는 초당 약 $56$ 킬로비트(kb)였습니다. 어떤 노래의 파일 크기가 $4.2$ 메가바이트(MB)이고, $1$ MB는 $8000$ 킬로비트와 같다고 할 때, 이 노래를 $56$ kbps 속도로 받으면 대략 몇 분이 걸릴까요?

주어진 것: 다운로드 속도 = 초당 $56$ 킬로비트($56$ kbps); 노래의 파일 크기 = $4.2$ 메가바이트(MB); 단위 환산: $1$ MB $= 8000$ 킬로비트(kb); 선택지(분): (A) $0.6$, (B) $10$, (C) $1800$, (D) $7200$, (E) $36000$

구하는 것: 이 노래를 다운로드하는 데 걸리는 대략적인 시간(분)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

핵심 관계식은 $\text{시간} = \text{크기} / \text{속도}$ 입니다. 그런데 크기는 메가바이트, 속도는 "초당 킬로비트", 답은 "분" 이라 단위가 세 갈래로 어긋나 있습니다. 그래서 도구 #8(단위 살펴보기)을 주 도구로 잡고 "MB", "kb", "s", "분" 을 모든 연산에서 따라가면 엉뚱한 단위가 답에 끼어들 일이 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 계산을 — (1) 파일 크기를 킬로비트로 환산 → (2) 속도로 나눠서 초로 환산 → (3) 초를 분으로 환산 — 세 단계로 나눠 각 단계가 단 하나의 일만 하도록 도와줍니다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 1

노래의 크기를 메가바이트에서 킬로비트로 환산합니다.
문제에서 $1$ MB $= 8000$ kb 이므로 MB 단위 크기에 $8000$ 을 곱하면 됩니다.

$$4.2 \text{ MB} \times 8000 \tfrac{\text{kb}}{\text{MB}} = 33{,}600 \text{ kb}$$

💡 소수($4.2$)에 자연수($8000$)를 곱하는 것은 5학년 "소수점 둘째 자리까지의 사칙연산" 그대로이고, 단위에서는 "MB" 가 약분되어 "kb" 만 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.6 단계 2

파일 크기(kb)를 속도(kb/s)로 나눠 다운로드 시간을 초 단위로 구합니다.
$56 \times 6 = 336$ 인 점을 이용하면 $33{,}600 = 336 \times 100 = 56 \times 6 \times 100$ 으로 계산이 깔끔해집니다.

$$\dfrac{33{,}600 \text{ kb}}{56 \tfrac{\text{kb}}{\text{s}}} = \dfrac{56 \times 6 \times 100}{56} \text{ s} = 600 \text{ s}$$

💡 네 자리수를 두 자리수로 나누는 것은 5학년 나눗셈 표준이고, 단위는 "kb" 가 약분되어 "s" 만 남는 것을 도구 #8 로 확인합니다.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 3

초 단위 시간을 분 단위로 바꿉니다.
$1$ 분 $= 60$ 초 이므로 전체 초를 $60$ 으로 나눕니다.

$$600 \text{ s} \times \tfrac{1 \text{ 분}}{60 \text{ s}} = 10 \text{ 분} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 같은 시간 체계 안에서 초를 분으로 바꾸는 것은 5학년 "표준 측정 단위 환산" 표준입니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

전체 식 $\text{시간} = \text{크기} / \text{속도}$ 로 검산해 봅니다.
단위 흐름은 $\text{MB} \to \text{kb} \to \text{s} \to \text{분}$ 으로, 원치 않는 단위는 전부 약분되어 사라지고 "분" 만 남아서 문제가 묻는 단위와 정확히 일치합니다.

$$\dfrac{4.2 \text{ MB} \times 8000 \tfrac{\text{kb}}{\text{MB}}}{56 \tfrac{\text{kb}}{\text{s}}} \times \tfrac{1 \text{ 분}}{60 \text{ s}} = 10 \text{ 분}$$

💡 $56$ kb/s 를 단위율(unit rate)로 보고 또 다른 비율($8000$ kb/MB)과 엮어 단위를 갈아끼우는 것은 6학년 비율·비례 추론입니다.

[1] #8 5.NBT.B.7 노래의 크기를 메가바이트에서 킬로비트로 환산합니다. 문제에서 $1$ MB $= 8000$ kb 이므로 MB 단위 크기에 $8000$ 을 곱하면

[2] #7 5.NBT.B.6 파일 크기(kb)를 속도(kb/s)로 나눠 다운로드 시간을 초 단위로 구합니다. $56 \times 6 = 336$ 인 점을 이용하면 $33{,

[3] #8 5.MD.A.1 초 단위 시간을 분 단위로 바꿉니다. $1$ 분 $= 60$ 초 이므로 전체 초를 $60$ 으로 나눕니다.

[4] #8 6.RP.A.3 전체 식 $\text{시간} = \text{크기} / \text{속도}$ 로 검산해 봅니다. 단위 흐름은 $\text{MB} \to \text{

검토

합리성 확인: $10$ 분은 $1990$ 년대 전화선 모뎀 환경에서 노래 한 곡을 받는 데 걸리는 시간으로 자연스럽습니다. 요즘 광대역으로는 $4.2$ MB 짜리 노래가 $1$ 초도 안 걸리지만, $56$ kbps 는 현대 기본 인터넷보다 대략 $1000$ 배 정도 느리니, 그 비율만큼 시간이 늘어나면 "몇 분" 단위가 나옵니다. 나머지 선택지는 자릿수 자체가 어긋나서 (A) $0.6$ 분 $= 36$ 초는 너무 빠르고, (C) $1800$ 분 $= 30$ 시간, (D) $7200$ 분 $= 5$ 일은 노래 한 곡 치고는 너무 깁니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 거꾸로 대입해 봅니다. 각 후보 시간을 초로 바꾼 뒤 $56$ kb/s 속도로 그만큼 받으면 $33{,}600$ kb 가 나오는지 확인하면 됩니다. (B) $10$ 분 $= 600$ 초 만 $56 \times 600 = 33{,}600$ kb 를 정확히 만들고, 다른 선택지는 계산 없이도 한꺼번에 제거됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (소수 파일 크기 $4.2$ 에 자연수 환산 계수 $8000$ 을 곱해 $4.2 \times 8000 = 33{,}600$ 킬로비트를 구하는 데 사용.)
5.NBT.B.6 네 자리 이하 피제수와 두 자리 제수의 자연수 나눗셈 (파일 크기(킬로비트)를 다운로드 속도로 나눠 $33{,}600 \div 56 = 600$ 초를 구하는 데 사용.)
5.MD.A.1 같은 측정 체계 안에서 단위가 다른 표준 측정 단위 환산 (다운로드 시간을 초에서 분으로 환산: $600 \text{ s} \div 60 = 10$ 분.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($8000$ kb/MB 와 $56$ kb/s 두 비율을 단위 약분으로 엮어 MB $\to$ kb $\to$ s $\to$ 분 으로 단위를 갈아끼우며 $10$ 분을 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "단위를 차근차근 갈아끼우는" 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기