AMC 8 · 2023 · #12
학년 7 geometry-2d문제
아래 그림은 큰 흰색 원 안에 작은 흰색 원들과 색칠된 원들이 여러 개 들어 있는 모습입니다. 큰 흰색 원의 내부에서 색칠된 부분이 차지하는 비율은 얼마입니까?
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 큰 흰색 원 안에, 큰 회색 원 한 개 + 그 회색 원에서 도려낸 작은 흰색 원 두 개 + 그 바깥쪽에 흩뿌려진 작은 회색 원 세 개가 들어 있는 그림입니다. 점선 격자(한 칸 = 1)를 이용해 각 원의 반지름을 읽어내고, 큰 흰색 원의 넓이 중에서 "회색"으로 보이는 부분이 차지하는 분수를 구합니다.
주어진 것: 큰 흰색 원의 반지름은 $3$ (지름이 격자 $6$ 칸); 큰 회색 원의 반지름은 $2$ 이고 큰 흰색 원 안에 들어있음; 안쪽의 흰색 원 두 개는 각각 반지름이 $1$ 이고 큰 회색 원 안에 들어있음; 바깥쪽 작은 회색 원 세 개는 각각 반지름이 $\tfrac{1}{2}$ (지름이 $1$ 칸) 이고 서로 겹치지 않음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{11}{36}$, (C) $\tfrac{1}{3}$, (D) $\tfrac{19}{36}$, (E) $\tfrac{5}{9}$
구하는 것: $\dfrac{\text{회색 부분의 넓이}}{\text{큰 흰색 원의 넓이}}$ 의 값
이해
문제 재정리: 큰 흰색 원 안에, 큰 회색 원 한 개 + 그 회색 원에서 도려낸 작은 흰색 원 두 개 + 그 바깥쪽에 흩뿌려진 작은 회색 원 세 개가 들어 있는 그림입니다. 점선 격자(한 칸 = 1)를 이용해 각 원의 반지름을 읽어내고, 큰 흰색 원의 넓이 중에서 "회색"으로 보이는 부분이 차지하는 분수를 구합니다.
주어진 것: 큰 흰색 원의 반지름은 $3$ (지름이 격자 $6$ 칸); 큰 회색 원의 반지름은 $2$ 이고 큰 흰색 원 안에 들어있음; 안쪽의 흰색 원 두 개는 각각 반지름이 $1$ 이고 큰 회색 원 안에 들어있음; 바깥쪽 작은 회색 원 세 개는 각각 반지름이 $\tfrac{1}{2}$ (지름이 $1$ 칸) 이고 서로 겹치지 않음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{11}{36}$, (C) $\tfrac{1}{3}$, (D) $\tfrac{19}{36}$, (E) $\tfrac{5}{9}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기 / 그림 읽기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이 문제의 핵심은 "그림" 입니다. 도구 #1(그림 그리기/읽기) — 점선 격자를 자처럼 사용해서 각 원의 지름을 칸 수로 세면, 반지름이 모두 깔끔한 정수나 $\tfrac{1}{2}$ 로 떨어집니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 회색 영역을 세 조각으로 나눕니다 — (a) 큰 회색 원, (b) 빼야 할 안쪽 흰색 원 두 개, (c) 더해야 할 바깥쪽 작은 회색 원 세 개. 각 조각의 넓이를 따로 구해서 더하고 빼면 끝.
실행 — 정답: B
5.G.A.2 단계 1 - 격자에서 반지름 읽기.
- 도구 #1을 적용해 점선 격자를 자로 활용합니다.
- 큰 흰색 원은 가로로 $6$ 칸이니 반지름 $3$.
- 큰 회색 원은 $4$ 칸이니 반지름 $2$.
- 안쪽 흰색 원은 각각 $2$ 칸이니 반지름 $1$.
- 바깥쪽 작은 회색 원은 각각 $1$ 칸이니 반지름 $\tfrac{1}{2}$ 입니다.
💡 좌표 격자에서 길이를 직접 읽어내는 것은 5학년 "좌표평면 위의 점 표현" 표준 그대로입니다.
7.G.B.4 단계 2 - 큰 흰색 원의 넓이 (= 분모).
- 원의 넓이 공식 $A=\pi r^2$ 에 $r=3$ 을 넣어 한 번에 끝냅니다.
- 이것이 회색 비율을 잴 "전체" 가 됩니다.
💡 $A=\pi r^2$ 은 7학년에서 배우는 원의 넓이 공식 — 이 문제에서 "가장 늦게 배우는" 도구는 사실 이것 하나뿐입니다.
7.G.B.4 단계 3 - 작은 문제 A — 큰 회색 원의 넓이.
- 같은 공식에 $r=2$ 를 대입: $\pi(2)^2=4\pi$.
- 아직 안쪽 흰색 원을 "파내기" 전의 회색 영역입니다.
💡 같은 7학년 원의 넓이 공식에 다른 반지름을 대입한 것뿐입니다.
7.G.B.4 단계 4 - 작은 문제 B — 안쪽 흰색 원 두 개.
- 각각 $r=1$ 이라 넓이는 $\pi(1)^2=\pi$, 두 개를 합치면 $2\pi$.
- 이 두 원은 큰 회색 원에서 "흰색으로 도려낸" 부분이므로, 회색 넓이에서 $2\pi$ 만큼 빼야 합니다.
💡 같은 원의 넓이 공식을 두 번 적용하고 더하는, 여전히 7학년 수준의 계산입니다.
5.NF.B.4 단계 5 - 작은 문제 C — 바깥쪽 작은 회색 원 세 개.
- 각각 $r=\tfrac{1}{2}$ 이라 넓이는 $\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{\pi}{4}$, 세 개를 합치면 $\tfrac{3\pi}{4}$.
- 이들은 다른 도형과 겹치지 않으므로 회색 넓이에 "순수하게 더해주는" 부분입니다.
💡 $\tfrac{1}{2}$ 을 제곱해 $\tfrac{1}{4}$ 을 얻는 것은 5학년 분수 × 분수 계산입니다.
5.NF.A.1 단계 6 - 세 조각을 합치기.
- (큰 회색) - (안쪽 흰색 두 개) + (바깥쪽 작은 회색 세 개) 를 계산합니다.
- 분모를 $4$ 로 통일해 더하면 $4\pi-2\pi+\tfrac{3\pi}{4}=2\pi+\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{8\pi+3\pi}{4}=\tfrac{11\pi}{4}$.
💡 $\pi$ 가 공통으로 붙은 항들을 분모를 맞춰서 더하는 것은 5학년 분수 덧셈입니다.
6.RP.A.3 단계 7 - 비율로 마무리.
- 회색 넓이를 큰 흰색 원의 넓이로 나누면 $\pi$ 가 약분되어 $\tfrac{11/4}{9}=\tfrac{11}{36}$.
- 선택지 (B) 와 일치합니다.
💡 "부분 ÷ 전체" 를 분수로 나타내는 것은 6학년 비율 표준 그대로입니다.
5.G.A.2 격자에서 반지름 읽기. 도구 #1을 적용해 점선 격자를 자로 활용합니다. 큰 흰색 원은 가로로 $6$ 칸이니 반지름 $3$. 큰 회색 원은 $4 7.G.B.4 큰 흰색 원의 넓이 (= 분모). 원의 넓이 공식 $A=\pi r^2$ 에 $r=3$ 을 넣어 한 번에 끝냅니다. 이것이 회색 비율을 잴 "전체 7.G.B.4 작은 문제 A — 큰 회색 원의 넓이. 같은 공식에 $r=2$ 를 대입: $\pi(2)^2=4\pi$. 아직 안쪽 흰색 원을 "파내기" 전의 회 7.G.B.4 작은 문제 B — 안쪽 흰색 원 두 개. 각각 $r=1$ 이라 넓이는 $\pi(1)^2=\pi$, 두 개를 합치면 $2\pi$. 이 두 원은 큰 5.NF.B.4 작은 문제 C — 바깥쪽 작은 회색 원 세 개. 각각 $r=\tfrac{1}{2}$ 이라 넓이는 $\pi\left(\tfrac{1}{2}\rig 5.NF.A.1 세 조각을 합치기. (큰 회색) - (안쪽 흰색 두 개) + (바깥쪽 작은 회색 세 개) 를 계산합니다. 분모를 $4$ 로 통일해 더하면 $4\ 6.RP.A.3 비율로 마무리. 회색 넓이를 큰 흰색 원의 넓이로 나누면 $\pi$ 가 약분되어 $\tfrac{11/4}{9}=\tfrac{11}{36}$. 선 검토
합리성 확인: $\tfrac{11}{36}$ 이 말이 되는 답일까요? 큰 회색 원만 보면 $\tfrac{4\pi}{9\pi}=\tfrac{4}{9}\approx 0.44$ 정도이지만, 안쪽 흰색 원 두 개($2\pi$)가 그 절반을 도려내서 $\tfrac{2}{9}\approx 0.22$ 근처로 떨어지고, 바깥쪽 작은 회색 세 개($\tfrac{3\pi}{4}$, 조금 더해줌)가 다시 $0.30$ 부근까지 올려놓습니다. $\tfrac{11}{36}\approx 0.306$ 으로 정확히 그 자리에 있고, $\tfrac{1}{4}$ 과 $\tfrac{1}{3}$ 사이에 있는 유일한 선택지라 (B) 가 자연스럽게 맞습니다.
대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) — 원 대신 외접 정사각형으로 바꿔 푸는 "한 번에 비교" 트릭. 큰 흰색은 $6\times 6=36$, 큰 회색은 $4\times 4=16$, 안쪽 흰색 두 개는 각각 $2\times 2=4$ (합 $8$), 바깥쪽 작은 회색 세 개는 각각 $1\times 1=1$ (합 $3$). 회색 "칸 수" $=16-8+3=11$, 전체 "칸 수" $=36$, 그래서 $\tfrac{11}{36}$. $\pi$ 를 쓰지 않고도 답 (B) 가 그대로 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
5.G.A.2좌표평면에 점을 그려 실생활/수학 문제 표현하기 (그림의 점선 격자에서 각 원의 반지름을 직접 칸 수로 읽어내는 데 사용.)5.NF.B.4분수 × 분수 (곱셈 이해의 확장) ($\tfrac{1}{2}$ 을 제곱해 $\tfrac{1}{4}$ 을 얻어 작은 회색 원의 넓이를 구하는 데 사용.)5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($4\pi-2\pi+\tfrac{3\pi}{4}$ 를 통분해 $\tfrac{11\pi}{4}$ 로 합치는 데 사용.)6.RP.A.3비와 비율을 이용한 실생활/수학 문제 해결 (최종 답을 "회색 넓이 : 전체 넓이" 의 비율로 정리하는 데 사용.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식 알기 (모든 원에 대해 $A=\pi r^2$ 을 적용해 넓이를 계산하는 데 사용 (큰 흰색, 큰 회색, 안쪽 흰색, 바깥쪽 작은 회색).)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년에서 배우는 원의 넓이 공식 $\pi r^2$ 하나만 알면, 나머지는 회색 조각을 더하고 빼는 퍼즐 맞추기로 풀려요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년에서 배우는 원의 넓이 공식 $\pi r^2$ 하나만 알면, 나머지는 회색 조각을 더하고 빼는 퍼즐 맞추기로 풀려요!
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