AMC 8 · 2023 · #20

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

mean-median-mode-rangeoptimization-countingsystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemental-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

수의 모임 $3, 3, 8, 11, 28$ 에 정수 두 개를 추가하여 범위(가장 큰 값과 가장 작은 값의 차)를 두 배로 만듭니다. 단, 최빈값과 중앙값은 그대로 유지되어야 합니다. 새로 추가한 두 수의 합이 가질 수 있는 최댓값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 리스트 $3, 3, 8, 11, 28$ 에 정수 두 개를 추가해서 새로운 $7$ 개 짜리 리스트의 범위가 원래의 두 배가 되도록 만들되, 최빈값과 중앙값은 그대로 유지해야 합니다. 이렇게 가능한 모든 경우 중에서 추가된 두 정수의 합이 가장 클 때 그 값은 얼마일까요?

주어진 것: 원래 리스트: $3, 3, 8, 11, 28$ (이미 정렬됨); 원래 범위 $= 28 - 3 = 25$; 원래 최빈값 $= 3$ (유일하게 반복되는 값); 원래 중앙값 $= 8$ (다섯 수 중 가운데 값); 추가 후 새 리스트는 $5+2=7$ 개의 수; 새 범위는 $2 \times 25 = 50$ 이어야 함; 선택지: (A) $56$, (B) $57$, (C) $58$, (D) $60$, (E) $61$

구하는 것: 추가하는 두 정수($x \le y$ 라 두자); $x + y$ 의 가능한 최댓값

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

새 범위 $50$ 이 만들어지는 방법은 세 가지뿐입니다. (1) 원래의 $3$ 이 최솟값으로 남고 새 $y$ 가 최댓값이 되거나, (2) 원래의 $28$ 이 최댓값으로 남고 새 $x$ 가 최솟값이 되거나, (3) 양쪽 끝이 모두 새 수가 되는 경우. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 세 경우를 빠짐없이 적은 뒤 각각 따로 풀고 합을 비교합니다. 각 경우 안에서는 중앙값·최빈값 조건이 $x$, $y$ 를 좁은 정수 구간으로 압축해 주고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 그 구간의 양 끝 정수를 골라 합을 최대로 만듭니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지 중 답이 정말 있는지 확인합니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.5 단계 1

먼저 리스트의 세 통계를 읽어 둡니다.
$3,3,8,11,28$ 은 이미 정렬되어 있으므로 범위는 마지막 $-$ 처음, 최빈값은 유일하게 반복되는 값, 다섯 수의 중앙값은 세 번째 수입니다.

\text{범위}=28-3=25,\quad \text{최빈값}=3,\quad \text{중앙값}=8

💡 작은 자료를 범위·최빈값·중앙값으로 요약하는 것은 6학년 통계 표준 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.8 단계 2

세 조건을 $x$, $y$ 에 대한 부등식으로 바꿉니다.
$x \le y$ 라 두면, 새 리스트의 $7$ 개 수 중 $4$ 번째가 중앙값이므로 $8$ 을 그대로 두려면 $x \le 8$ 그리고 $y \ge 8$ 이 필요합니다.
최빈값 $3$ 을 지키려면 새 값들이 같은 수가 되어 짝이 생기면 안 되므로 $x \ne y$, 그리고 $8, 11, 28$ 중 어느 값도 추가 값이 될 수 없습니다(예: $8$ 을 넣으면 $3$ 두 개와 $8$ 두 개로 최빈값이 둘이 됩니다).
두 조건을 합치면 결국 $x < 8 < y$, $y \ne 11, 28$ 의 좁은 부등식이 됩니다.

$$x \le 8,\; y \ge 8;\quad x \ne 8,\; y \ne 8,11,28;\quad x \ne y\;\Rightarrow\; x < 8 < y$$

💡 "$8$ 보다 작다", "$8$ 보다 크다" 와 같은 한 변수 부등식은 6학년 부등식 표준입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.5 단계 3

이제 새 범위 조건을 도구 #2 로 정리합니다.
새 최댓값 $-$ 새 최솟값 $= 50$ 이 되는 방법은 세 가지뿐입니다 — 최솟값이 $3$ 으로 남거나, 최댓값이 $28$ 로 남거나, 양쪽 끝 모두 새 수가 되거나.

\text{경우 1: min}=3,\;\text{max}=y;\quad \text{경우 2: min}=x,\;\text{max}=28;\quad \text{경우 3: min}=x,\;\text{max}=y

💡 새 자료의 최댓값과 최솟값이 어디서 오는지 빠짐없이 나누는 것은 6학년 자료 요약의 자연스러운 확장입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 4

경우 1: $\min=3$, $\max=y$.
$y-3=50$ 에서 $y=53$.
최솟값이 $3$ 으로 남으려면 $x\ge 3$ 이어야 하고, 2단계에서 $x<8$ 이었으므로 정수 $x$ 의 범위는 $3\le x\le 7$ 입니다.
도구 #6(추측하고 확인하기)으로 가장 큰 정수 $x=7$ 을 고르면 합은 $7+53=60$ 입니다.
검증: $\{3,3,7,8,11,28,53\}$ 의 범위 $=53-3=50$, $4$ 번째 항 $=8$, 반복은 $3$ 만 두 번 — 모든 조건 통과.

$$y=53,\; x_{\max}=7\;\Rightarrow\; x+y=7+53=60$$

💡 $y-3=50$ 을 풀어 $y=53$ 을 구하는 것은 6학년 "식을 만족하는 값 찾기" 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.C.5 단계 5

경우 2: $\min=x$, $\max=28$.
$28-x=50$ 에서 $x=-22$.
최댓값이 $28$ 로 남으려면 $y\le 28$ 이어야 하고, 2단계에서 $8<y$ 이면서 $y\ne 11, 28$ 이었으므로 가능한 가장 큰 정수는 $y=27$ 입니다.
이때 합은 $-22+27=5$ 로 $60$ 보다 훨씬 작으므로 우승 후보가 될 수 없습니다.

$$x=-22,\; y_{\max}=27\;\Rightarrow\; x+y=-22+27=5$$

💡 $-22$ 같은 음의 정수를 수직선 위의 진짜 값으로 다루는 것은 6학년 "양수와 음수가 양을 나타낸다" 표준입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 6

경우 3: 양쪽 끝이 모두 새 수, 즉 $x<3$, $y>28$, $y-x=50$.
합 $x+y=x+(x+50)=2x+50$ 을 최대화하려면 $x$ 가 가능한 한 커야 합니다.
$3$ 보다 작은 가장 큰 정수는 $x=2$ 이고 그때 $y=52$.
합은 $2+52=54$ 로 여전히 $60$ 미만.

$$x_{\max}=2,\; y=x+50=52\;\Rightarrow\; x+y=2+52=54$$

💡 $x<3$ 을 만족하는 가장 큰 정수를 고르는 것은 6학년 "부등식 해 찾기" 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 6.SP.B.5 단계 7

세 경우의 합을 비교하고 선택지와 맞춥니다.
경우 1 의 $60$ 이 경우 2 의 $5$, 경우 3 의 $54$ 를 모두 이깁니다.
도구 #3(가능성 지우기)으로 $60$ 이 다섯 선택지 안에 있는지 확인하면 (D) 가 답입니다.

$$\max(60,\,5,\,54)=60\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 후보 값 중 가장 큰 것을 골라내는 것도 6학년 자료 요약의 한 동작입니다.

[1] #2 6.SP.B.5 먼저 리스트의 세 통계를 읽어 둡니다. $3,3,8,11,28$ 은 이미 정렬되어 있으므로 범위는 마지막 $-$ 처음, 최빈값은 유일하게 반복되

[2] #2 6.EE.B.8 세 조건을 $x$, $y$ 에 대한 부등식으로 바꿉니다. $x \le y$ 라 두면, 새 리스트의 $7$ 개 수 중 $4$ 번째가 중앙값이므로

[3] #2 6.SP.B.5 이제 새 범위 조건을 도구 #2 로 정리합니다. 새 최댓값 $-$ 새 최솟값 $= 50$ 이 되는 방법은 세 가지뿐입니다 — 최솟값이 $3$ 으

[4] #6 6.EE.B.5 경우 1: $\min=3$, $\max=y$. $y-3=50$ 에서 $y=53$. 최솟값이 $3$ 으로 남으려면 $x\ge 3$ 이어야 하고,

[5] #6 6.NS.C.5 경우 2: $\min=x$, $\max=28$. $28-x=50$ 에서 $x=-22$. 최댓값이 $28$ 로 남으려면 $y\le 28$ 이어야

[6] #6 6.EE.B.5 경우 3: 양쪽 끝이 모두 새 수, 즉 $x<3$, $y>28$, $y-x=50$. 합 $x+y=x+(x+50)=2x+50$ 을 최대화하려면 $

[7] #3 6.SP.B.5 세 경우의 합을 비교하고 선택지와 맞춥니다. 경우 1 의 $60$ 이 경우 2 의 $5$, 경우 3 의 $54$ 를 모두 이깁니다. 도구 #3(

검토

합리성 확인: 우승 리스트 $\{3,3,7,8,11,28,53\}$ 을 다시 검증합니다 — 범위 $=53-3=50$ (원래 $25$ 의 두 배, 통과), $4$ 번째 항 $=8$ 이므로 중앙값 변동 없음, $3$ 이 두 번 등장하고 다른 모든 수는 한 번씩만 등장하므로 최빈값은 여전히 $3$. 합 $7+53=60$ 은 선택지 (D) 와 정확히 일치합니다. 다른 선택지 $56,57,58,61$ 이 되려면 $y\ne 53$ (범위 조건 깨짐) 이거나 $x>7$ 즉 $x=8$ 이어야 하는데, $x=8$ 은 $\{3,3,8,8,11,28,53\}$ 으로 만들어 최빈값이 두 개가 되어 버립니다. 결국 (D) 만 모든 조건을 만족합니다.

대안 접근: 선택지에서 직접 도구 #3(가능성 지우기)으로 풀 수도 있습니다. 우승 경우에서 새 큰 수는 반드시 $y=53$ 이어야 하고(아니면 경우 1 의 범위 조건이 깨짐), 따라서 합은 $x+53$, 여기서 $x\in\{3,4,5,6,7\}$ 입니다. 선택지 중 $53+x$, $x\le 7$ 꼴은 $53+7=60$ 하나뿐 — 바로 (D) 입니다. $56,57,58$ 은 $x=3,4,5$ 로 만들 수 있지만 최대가 아니고, $61$ 은 $x=8$ 이 필요해 최빈값 조건을 깨뜨립니다. 따라서 모든 경우를 일일이 나열하지 않아도 (D) 가 강제됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 관측값의 수와 측정값을 보고하여 수치 자료를 요약하기 (원래 다섯 수의 범위·최빈값·중앙값을 읽어 내고, 각 후보 일곱 수 리스트에 대해 같은 통계를 다시 점검하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식 또는 부등식을 푸는 것을 "식을 참으로 만드는 값 찾기" 로 이해하기 (경우 1 의 $y-3=50$, 경우 2 의 $28-x=50$, 경우 3 의 $y-x=50$ 을 풀어 새 끝값을 결정.)
6.EE.B.8 $x>c$ 또는 $x<c$ 형태의 부등식을 만들고 수직선에 나타내기 (중앙값·최빈값 유지 조건을 정수 부등식 $x<8$, $y>8$ 과 각 경우의 좁은 범위($3\le x\le 7$, $y\le 28$, $x<3$ 등) 로 표현.)
6.NS.C.5 양수와 음수가 양을 나타낸다는 사실 이해하기 (경우 2 에서 등장하는 음의 정수 $x=-22$ 를 다루고 $-22+27=5$ 와 같이 음수가 포함된 덧셈을 수행.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 통계(범위·최빈값·중앙값)와 약간의 부등식 추론만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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