AMC 8 · 2023 · #23

• 전체 타일링의 수를 셉니다.
• $9$ 칸 각각이 $4$ 가지 타일 중 하나를 독립적으로 받으므로, 곱셈 원리에 의해 표본공간 전체 크기는 $4^9$ 입니다.

💡 독립적인 선택은 곱으로 — $4$ 가지 선택이 아홉 번이면 $4^9$, 6학년 거듭제곱 식 그대로입니다.

• 먼저 더 쉬운 문제: "특정 한 $2 \times 2$ 부분 격자(예: 왼쪽 위) 에 마름모가 들어가는 타일링은 몇 가지일까?" 그 부분 격자 안의 $4$ 칸은 회색 삼각형이 모두 공통 중심으로 향해야 하므로 선택의 여지 없이 $1$ 가지로 고정됩니다.
• 나머지 $9 - 4 = 5$ 칸은 자유로워서 $4^5$ 가지.

💡 한 위치를 콕 집어 사건을 고정시키고 나머지를 자유롭게 두는 것은 7학년 "조직화된 셈으로 복합 사건 확률 구하기" 의 핵심입니다.

• 이제 마름모가 생길 수 있는 위치 $4$ 곳 — 왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래 — 을 빠짐없이 나열합니다.
• 단계 $2$ 의 대칭 논증에 의해 각 위치마다 마름모를 만드는 타일링은 $4^5 = 1024$ 가지로 동일합니다.

💡 가능한 네 위치를 빠짐없이 적어 두는 것이 곧 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 입니다.

• 한 타일링이 동시에 두 곳에 마름모를 만들 수 있는지 확인합니다.
• 왼쪽 위와 오른쪽 위 부분 격자를 보면 가운데 위쪽 칸을 공유합니다.
• 왼쪽 위 마름모가 되려면 그 공유 칸의 회색 삼각형이 왼쪽 위 $2 \times 2$ 의 중심을 향해 왼쪽 아래로 가야 합니다.
• 그런데 오른쪽 위 마름모가 되려면 같은 칸의 삼각형이 오른쪽 아래로 가야 합니다.
• 한 칸에 타일은 단 하나뿐이므로 두 사건은 동시에 일어날 수 없습니다.
• 다른 모든 쌍의 $2 \times 2$ 도 마찬가지로 공유 칸이 적어도 하나 있고, 그 칸의 방향 요구가 충돌합니다.
• 따라서 네 개의 마름모 사건은 서로 배반(mutually exclusive) 입니다.

💡 공유 칸 하나가 두 방향을 동시에 요구한다는 점을 짚어 사건이 양립 불가임을 보이는 것은, 합치기 전에 반드시 거치는 7학년 점검입니다.

네 사건이 서로 배반이므로, 유리한 경우의 수는 각각의 합이고(포함-배제 보정은 필요 없음) 이를 전체로 나누면 확률이 나옵니다.

💡 배반 사건의 경우를 더해 표본공간 크기로 나누는 것이 7학년 복합 사건 확률 공식의 그 자체입니다.