AMC 8 · 2023 · #24
학년 8 geometry-2d문제
이등변삼각형 △ABC에서 두 변 AB와 BC의 길이가 같습니다. 아래 그림에서는 AC에 평행한 선분들을 그어서, △ABC의 색칠된 부분들의 넓이가 모두 같아지도록 하였습니다. 색칠되지 않은 두 부분의 높이는 각각 11, 5입니다. △ABC의 높이 h는 얼마입니까? (그림은 실제 비율과 다를 수 있습니다.)
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 이등변삼각형 $ABC$ ($AB = BC$) 가 있고, 밑변 $\overline{AC}$ 에서 꼭짓점 $B$ 까지의 전체 높이는 $h$ 입니다. 같은 삼각형 두 개를 그려, 각 그림마다 밑변 $\overline{AC}$ 에 평행한 선을 하나씩 다른 위치에 긋습니다. 첫 번째 그림에서는 꼭대기에 색칠하지 않은 작은 삼각형(높이 $11$)이 남고, 그 아래 사다리꼴이 색칠됩니다. 두 번째 그림에서는 꼭대기의 작은 삼각형이 색칠되고, 아래쪽에 색칠하지 않은 사다리꼴(높이 $5$)이 남습니다. 두 그림의 색칠된 부분의 넓이가 같다고 할 때 $h$ 를 구하시오.
주어진 것: $\triangle ABC$ 는 $AB = BC$ 인 이등변삼각형이고 전체 높이는 $h$; 그림 1: 꼭대기의 색칠하지 않은 작은 삼각형의 높이는 $11$, 그 아래 사다리꼴이 색칠됨; 그림 2: 꼭대기의 작은 삼각형이 색칠됨, 아래쪽 색칠하지 않은 사다리꼴의 높이가 $5$ 이므로 색칠된 삼각형의 높이는 $h - 5$; $\text{(그림 1의 색칠 넓이)} = \text{(그림 2의 색칠 넓이)}$; 선택지: (A) $14.6$, (B) $14.8$, (C) $15$, (D) $15.2$, (E) $15.4$
구하는 것: $\triangle ABC$ 의 전체 높이 $h$
이해
문제 재정리: 이등변삼각형 $ABC$ ($AB = BC$) 가 있고, 밑변 $\overline{AC}$ 에서 꼭짓점 $B$ 까지의 전체 높이는 $h$ 입니다. 같은 삼각형 두 개를 그려, 각 그림마다 밑변 $\overline{AC}$ 에 평행한 선을 하나씩 다른 위치에 긋습니다. 첫 번째 그림에서는 꼭대기에 색칠하지 않은 작은 삼각형(높이 $11$)이 남고, 그 아래 사다리꼴이 색칠됩니다. 두 번째 그림에서는 꼭대기의 작은 삼각형이 색칠되고, 아래쪽에 색칠하지 않은 사다리꼴(높이 $5$)이 남습니다. 두 그림의 색칠된 부분의 넓이가 같다고 할 때 $h$ 를 구하시오.
주어진 것: $\triangle ABC$ 는 $AB = BC$ 인 이등변삼각형이고 전체 높이는 $h$; 그림 1: 꼭대기의 색칠하지 않은 작은 삼각형의 높이는 $11$, 그 아래 사다리꼴이 색칠됨; 그림 2: 꼭대기의 작은 삼각형이 색칠됨, 아래쪽 색칠하지 않은 사다리꼴의 높이가 $5$ 이므로 색칠된 삼각형의 높이는 $h - 5$; $\text{(그림 1의 색칠 넓이)} = \text{(그림 2의 색칠 넓이)}$; 선택지: (A) $14.6$, (B) $14.8$, (C) $15$, (D) $15.2$, (E) $15.4$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기
두 그림의 색칠 넓이를 각각 따로 구해서 "두 값이 같다" 로 연결하는 구조이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 딱 맞습니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 두 작은 위쪽 삼각형의 높이($11$ 과 $h-5$) 를 명확히 표시해 두면, 둘 다 $\triangle ABC$ 와 닮음이라는 사실에서 넓이가 $A_{total} \cdot (\text{높이비})^2$ 로 바로 나옵니다. 두 식을 같다고 놓는 순간 $A_{total}$ 과 $h^2$ 가 모두 약분되며 식이 일차방정식으로 줄어드므로 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 마무리합니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해도 풀리며, 이는 검토 단계에서 다룹니다.
실행 — 정답: A
8.G.A.4 단계 1 - 두 그림에 정보를 표시합니다.
- 그림 1 에서 $\overline{AC}$ 에 평행한 선으로 잘린 위쪽의 색칠하지 않은 작은 삼각형의 높이는 $11$, 그림 2 에서 아래쪽 색칠하지 않은 사다리꼴의 높이가 $5$ 이므로 위쪽 색칠된 작은 삼각형의 높이는 $h - 5$ 입니다.
- 두 작은 삼각형 모두 잘린 선이 밑변과 평행하므로 동위각이 같아져 $\triangle ABC$ 와 닮음입니다.
💡 밑변에 평행한 선이 만드는 작은 위쪽 삼각형은 원래 삼각형과 닮음 — 8학년 닮음의 기본 사실입니다.
8.G.A.4 단계 2 - 작은 문제 1 — 그림 1의 색칠된 부분의 넓이.
- $\triangle ABC$ 의 전체 넓이를 $A_{total}$ 이라 하면, 위쪽 작은 삼각형은 높이비가 $\tfrac{11}{h}$ 인 닮은 도형이므로 넓이비는 $\left(\tfrac{11}{h}\right)^2 = \tfrac{121}{h^2}$ 입니다.
- 색칠된 사다리꼴은 전체에서 이 부분을 뺀 나머지입니다.
💡 닮은 도형의 넓이비 $=$ 길이비의 제곱 — 8학년 닮음 성질을 그대로 적용한 결과.
8.G.A.4 단계 3 - 작은 문제 2 — 그림 2의 색칠된 부분의 넓이.
- 이번에는 색칠된 부분 자체가 위쪽 작은 삼각형이고, $\triangle ABC$ 와 높이비 $\tfrac{h-5}{h}$ 인 닮음 관계이므로 넓이비는 이 값을 제곱한 것입니다.
💡 두 번째 그림에도 똑같이 "높이비 제곱 $=$ 넓이비" 를 쓰면 됩니다.
6.EE.B.5 단계 4 - 두 작은 문제를 합칩니다.
- 문제 조건에 따라 두 색칠 넓이가 같으므로 두 식을 등호로 잇고, $A_{total} \neq 0$ 이므로 양변을 $A_{total}$ 로 나눈 뒤 양변에 $h^2$ 을 곱해 분모를 없앱니다.
💡 "두 넓이가 같다" 는 조건을 식으로 옮기는 것은 6학년 "등식을 만족하는 값을 찾는다" 는 발상입니다.
8.EE.C.7 단계 5 오른쪽을 전개하면 양변의 $h^2$ 이 약분되어 처음엔 이차방정식으로 보이던 식이 사실은 일차방정식이라는 게 드러납니다.
💡 일차방정식을 푸는 것은 8학년 "한 변수의 일차방정식 풀기" 표준 그대로입니다.
5.NBT.B.7 단계 6 양변을 $10$ 으로 나누어 $h$ 를 구한 뒤 선택지와 맞춰 봅니다.
💡 $146 \div 10 = 14.6$ 으로 소수로 표현하는 것은 5학년 소수 사칙연산입니다.
8.G.A.4 두 그림에 정보를 표시합니다. 그림 1 에서 $\overline{AC}$ 에 평행한 선으로 잘린 위쪽의 색칠하지 않은 작은 삼각형의 높이는 $1 8.G.A.4 작은 문제 1 — 그림 1의 색칠된 부분의 넓이. $\triangle ABC$ 의 전체 넓이를 $A_{total}$ 이라 하면, 위쪽 작은 삼각 8.G.A.4 작은 문제 2 — 그림 2의 색칠된 부분의 넓이. 이번에는 색칠된 부분 자체가 위쪽 작은 삼각형이고, $\triangle ABC$ 와 높이비 $ 6.EE.B.5 두 작은 문제를 합칩니다. 문제 조건에 따라 두 색칠 넓이가 같으므로 두 식을 등호로 잇고, $A_{total} \neq 0$ 이므로 양변을 $ 8.EE.C.7 오른쪽을 전개하면 양변의 $h^2$ 이 약분되어 처음엔 이차방정식으로 보이던 식이 사실은 일차방정식이라는 게 드러납니다. 5.NBT.B.7 양변을 $10$ 으로 나누어 $h$ 를 구한 뒤 선택지와 맞춰 봅니다. 검토
합리성 확인: $h = 14.6$ 으로 한번 확인해 봅시다. 그림 1의 색칠하지 않은 위쪽 삼각형은 전체의 $\tfrac{121}{14.6^2} = \tfrac{121}{213.16} \approx 0.568$ 이므로, 색칠된 사다리꼴은 $1 - 0.568 \approx 0.432$. 그림 2의 색칠된 삼각형은 높이가 $14.6 - 5 = 9.6$ 이고 넓이비는 $\left(\tfrac{9.6}{14.6}\right)^2 = \tfrac{92.16}{213.16} \approx 0.432$ — 두 값이 정확히 일치합니다. 또한 $14.6 > 11$ 이라 그림 1의 잘린 선이 꼭짓점 아래에 있다는 기하 조건도 만족하므로 합리적입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 5개 선택지를 직접 대입해 보는 방법. 각 후보 $h$ 에 대해 $h^2 - 121$ 과 $(h-5)^2$ 의 값이 같아지는지 확인합니다. (A) $h = 14.6$: $14.6^2 - 121 = 213.16 - 121 = 92.16$, $(14.6 - 5)^2 = 9.6^2 = 92.16$ — 정확히 일치. (B) $14.8$ 은 $98.04$ vs $96.04$ 로 어긋나므로 탈락, 다른 선택지도 같은 방식으로 모두 어긋나 (A) 만 남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
5.NBT.B.7소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 ($146 \div 10 = 14.6$ 으로 최종 높이를 소수로 표현하는 데 사용.)6.EE.B.5방정식이나 부등식을 푸는 것은 식을 참으로 만드는 값을 찾는 과정임을 이해 ("두 색칠 넓이가 같다" 는 조건을 등식 $1 - \tfrac{121}{h^2} = \tfrac{(h-5)^2}{h^2}$ 로 옮기고, 이 등식을 참으로 만드는 $h$ 값을 찾는다는 관점.)8.G.A.4변환을 이용해 두 도형이 닮음임을 이해 (위쪽 작은 삼각형이 꼭짓점을 중심으로 한 닮음 변환으로 $\triangle ABC$ 와 닮음임을 인식하고, 넓이비가 높이비의 제곱임을 적용.)8.EE.C.7한 변수의 일차방정식 풀기 ($h^2$ 항이 약분된 후 일차방정식 $10h = 146$ 을 풀어 높이 $h$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 닮음(넓이비 $=$ 길이비의 제곱) 과 간단한 일차방정식만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 닮음(넓이비 $=$ 길이비의 제곱) 과 간단한 일차방정식만 알면 풀 수 있어요!
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