AMC 8 · 2023 · #25

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

sequences-arithmeticlinear-equations-two-vardigit-sum bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

수직선 위에 $15$ 개의 정수 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{15}$ 가 같은 간격으로 차례로 놓여 있습니다. 이 정수들은 다음 조건을 만족합니다.
$1 \le a_1 \le 10, \thickspace 13 \le a_2 \le 20, \thickspace \text{ 그리고 } \thickspace 241 \le a_{15}\le 250.$
이때 $a_{14}$ 의 각 자리 숫자들의 합은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수직선 위에 $15$ 개의 정수 $a_1, a_2, \dots, a_{15}$ 가 일정한 간격으로 놓여 있습니다. 첫째 항은 $1 \le a_1 \le 10$, 둘째 항은 $13 \le a_2 \le 20$, 마지막 항은 $241 \le a_{15} \le 250$ 을 만족합니다. 이때 $a_{14}$ 의 각 자리 숫자의 합을 구하세요.

주어진 것: $15$ 개의 정수 $a_1, a_2, \dots, a_{15}$ 가 일정한 간격으로 늘어선 등차수열 — 공차 $d$ 를 가짐; 모든 항이 정수이므로 공차 $d$ 도 정수; $1 \le a_1 \le 10$; $13 \le a_2 \le 20$; $241 \le a_{15} \le 250$; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

구하는 것: $a_{14}$ 의 값, 그리고 그 각 자리 숫자의 합

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

"일정한 간격으로 놓인 정수" 라는 표현은 곧장 도구 #5(패턴 찾기) — 등차수열 패턴 $a_n = a_1 + (n-1)d$ — 로 안내합니다. 모든 항을 $a_1$ 과 $d$ 만으로 표현할 수 있게 되면, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 두 단계로 나눕니다: 먼저 공차 $d$ 를 찾고, 그 다음 첫째 항 $a_1$ 을 찾습니다. 이때 $a_{15} - a_2 = 13d$ 처럼 차를 이용하면 $a_1$ 이 사라져 $d$ 의 범위를 좁힐 수 있습니다. 마지막은 도구 #3(가능성 지우기) — 범위 안의 정수 후보 중 모순을 일으키는 값을 지워 나가면 유일한 해가 남습니다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

등차수열 패턴을 적용합니다.
$15$ 개의 정수가 같은 간격으로 놓여 있으므로 각 항은 앞 항에 같은 정수 $d$ 를 더해서 얻어지고, $n$ 번째 항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 입니다.
따라서 $a_2 = a_1 + d$, $a_{14} = a_1 + 13d$, $a_{15} = a_1 + 14d$.

$$a_n = a_1 + (n-1)d \;\Rightarrow\; a_2 = a_1 + d,\; a_{14} = a_1 + 13d,\; a_{15} = a_1 + 14d$$

💡 "같은 값을 계속 더해 가는 규칙" 을 찾는 것은 4학년 패턴 만들기 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.8 단계 2

작은 문제 1: 공차 $d$ 의 범위를 좁힙니다.
$a_{15}$ 에서 $a_2$ 를 빼면 $a_1$ 이 사라지고 $13d$ 만 남습니다.
$a_{15}$ 의 가장 작은 값에서 $a_2$ 의 가장 큰 값을 빼고, 반대로도 계산하면 $13d$ 의 범위를 얻습니다.

$$a_{15} - a_2 = 13d,\;\; 241 - 20 \le 13d \le 250 - 13,\;\; 221 \le 13d \le 237$$

💡 두 부등식의 차로 미지수의 범위를 묶는 것은 6학년 부등식 다루기 능력입니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 3

$d$ 를 유일한 정수로 좁힙니다.
양변을 $13$ 으로 나누면 $17 \le d \le 18.23\ldots$ 이므로 정수 후보는 $d \in \{17, 18\}$ 입니다.
$d = 18$ 을 대입해 보면 $a_2 = a_1 + 18 \ge 19$ 에서 $a_1 \le 2$ 가 되고, 그러면 $a_{15} = a_1 + 252 \ge 253$ 이 되어 $a_{15} \le 250$ 을 위반합니다.
따라서 $d = 17$ 만 살아남는다 — 이 단계가 유일성을 결정하는 핵심입니다.

$$\tfrac{221}{13} \le d \le \tfrac{237}{13}\;\Rightarrow\; d \in \{17, 18\};\;\; d = 18 \Rightarrow a_{15} \ge 253 > 250\;\Rightarrow\; d = 17$$

💡 범위 안의 정수 후보를 늘어놓고 모순이 되는 값을 지우는 것이 도구 #3(가능성 지우기) — 여전히 6학년 부등식 추론 안에 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.8 단계 4

작은 문제 2: $d = 17$ 이 정해졌으니 $a_1$ 을 결정합니다.
세 가지 주어진 조건을 $a_1$ 에 대한 세 부등식으로 옮기면 $1 \le a_1 \le 10$, $13 \le a_1 + 17 \le 20$ (즉 $-4 \le a_1 \le 3$), $241 \le a_1 + 238 \le 250$ (즉 $3 \le a_1 \le 12$).
세 범위에 모두 들어가는 정수는 $a_1 = 3$ 뿐입니다.

$$1 \le a_1 \le 10,\;\; -4 \le a_1 \le 3,\;\; 3 \le a_1 \le 12\;\Rightarrow\; a_1 = 3$$

💡 세 범위의 교집합에서 하나의 정수를 골라내는 것은 6학년 부등식 다루기로 처리됩니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.4 단계 5

$a_{14}$ 를 계산하고 자리 숫자를 더합니다.
$a_1 = 3$, $d = 17$ 이므로 $a_{14} = 3 + 13 \times 17 = 3 + 221 = 224$.
각 자리 숫자 $2, 2, 4$ 의 합은 $8$ 이고, 이는 선택지 (A) 와 일치합니다.

$$a_{14} = 3 + 13 \cdot 17 = 224,\;\; 2 + 2 + 4 = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 여러 자릿수 정수의 자리 숫자를 더하는 것은 4학년 다자리 정수 사칙연산 표준입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 등차수열 패턴을 적용합니다. $15$ 개의 정수가 같은 간격으로 놓여 있으므로 각 항은 앞 항에 같은 정수 $d$ 를 더해서 얻어지고, $n$

[2] #7 6.EE.B.8 작은 문제 1: 공차 $d$ 의 범위를 좁힙니다. $a_{15}$ 에서 $a_2$ 를 빼면 $a_1$ 이 사라지고 $13d$ 만 남습니다. $a

[3] #3 6.EE.B.8 $d$ 를 유일한 정수로 좁힙니다. 양변을 $13$ 으로 나누면 $17 \le d \le 18.23\ldots$ 이므로 정수 후보는 $d \in

[4] #7 6.EE.B.8 작은 문제 2: $d = 17$ 이 정해졌으니 $a_1$ 을 결정합니다. 세 가지 주어진 조건을 $a_1$ 에 대한 세 부등식으로 옮기면 $1

[5] #5 4.NBT.B.4 $a_{14}$ 를 계산하고 자리 숫자를 더합니다. $a_1 = 3$, $d = 17$ 이므로 $a_{14} = 3 + 13 \times 17

검토

합리성 확인: 검산: $a_1 = 3$, $d = 17$ 이면 $a_2 = 20$ (범위 $[13, 20]$ 안 ✓), $a_{15} = 3 + 14 \cdot 17 = 3 + 238 = 241$ (범위 $[241, 250]$ 안 ✓). 두 항이 모두 범위의 경계에 딱 붙어 있다는 점이 흥미로운데, 이는 세 조건이 사실상 해를 한 가지로 강제한다는 신호입니다. 공차 $d = 17$ 이 일정하고 $15$ 개 항이 모두 $3$ 부터 $241$ 사이의 정수이며, $a_{14} = a_{15} - d = 241 - 17 = 224$ 로 다시 한 번 확인됩니다. $200$ 근처 세 자리 수의 자리 숫자 합 $2+2+4 = 8$ 은 자연스러운 크기입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 $d$ 부터 빠르게 어림짐작 해 볼 수도 있습니다. $a_2$ 가 $10$ 대 후반, $a_{15}$ 가 $245$ 근처, 그 사이 $13$ 칸이므로 $d \approx \tfrac{245 - 16}{13} \approx 17.6$ — 정수 후보는 $17$ 아니면 $18$. $d = 18$ 을 넣으면 $a_{15}$ 가 $250$ 을 넘어 탈락, 즉 $d = 17$. $a_{15} = 241$ 에서 $a_1 = 3$ 이 바로 나오고, $a_{14} = a_{15} - d = 241 - 17 = 224$ — 부등식 조작 없이 같은 답에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (일정한 간격의 정수들을 등차수열 패턴 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 로 인식하고 $a_2$, $a_{14}$, $a_{15}$ 를 그 규칙으로 표현.)
4.NBT.B.4 여러 자릿수 정수의 능숙한 덧셈과 뺄셈 (마지막 단계에서 $3 + 221 = 224$ 와 자리 숫자 합 $2 + 2 + 4 = 8$ 을 계산하는 데 사용.)
6.EE.B.8 x > c 또는 x < c 형태의 부등식을 쓰고 수직선에 나타내기 (세 범위 조건을 결합·차로 변형해 $13d$ 의 범위를 만들고, 정수 후보 중 하나로 $d$ 를 좁히며, $a_1$ 에 대한 세 범위의 교집합으로 유일한 값을 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "부등식으로 범위를 좁혀 하나의 정수를 골라내는" 추론만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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