AMC 8 · 2023 · #6

학년 6 algebra

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place-valuemulti-digit-arithmeticoptimization-counting systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 식의 빈 칸에 숫자 $2, 0, 2, 3$ 을 한 칸에 하나씩 써넣습니다. 이 식이 가질 수 있는 가장 큰 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 2, 0, 2, 3을 한 칸에 하나씩 넣어 (밑)^(지수) × (밑)^(지수) 형태의 식을 만들 때, 식의 값이 최대가 되도록 하는 경우의 값을 구합니다.

주어진 것: 사용할 숫자: 2, 0, 2, 3 (네 개, 각각 정확히 한 번씩); 식의 형태: 두 거듭제곱의 곱 — (밑)^(지수) × (밑)^(지수); 한 칸에 정확히 한 숫자를 배치

구하는 것: 식의 가능한 최댓값

이해

계획

주요 도구: #2 Make a Systematic List

보조 도구: #3 Eliminate Possibilities

배치할 숫자가 4개뿐이고 칸도 4개라 가능성이 작아 빠짐없이 나열할 수 있습니다(도구 2). 그리고 0이 밑에 들어가면 그 항이 0이 되어 곱 전체가 0이 되므로, 도구 3(가능성 지우기)으로 '0은 지수 자리'라는 조건을 먼저 확정한 뒤 남은 경우만 비교하면 매우 빠르게 풀 수 있습니다.

실행 — 정답: C

#3 Eliminate Possibilities 6.EE.A.1 단계 1

두 거듭제곱의 곱을 최대로 만들려면 두 항이 모두 0이 아니어야 합니다.
0을 밑에 두면 0^2 = 0 또는 0^3 = 0이 되어 곱 전체가 0이 되므로, 0은 반드시 지수 자리에 들어가야 합니다.

$$0^2 \times \text{(any)} = 0,\quad 2^0 = 1$$

💡 거듭제곱을 계산하는 규칙(0을 지수로 하면 1)을 알면 0을 어디에 두어야 할지 바로 알 수 있어요.

#2 Make a Systematic List 6.EE.A.1 단계 2

0을 지수 자리에 두면 그 항은 1이 됩니다(어떤 0이 아닌 수의 0제곱은 1).
그러면 식은 1 × (다른 밑)^(다른 지수) 형태가 되고, 나머지 숫자 {2, 2, 3} 중 두 개로 만든 거듭제곱의 값을 최대로 하면 됩니다.
나머지 한 숫자는 0과 짝이 되는 밑이 됩니다.

x^{0} = 1,\quad 1 \times (\text{밑})^{(\text{지수})} = (\text{밑})^{(\text{지수})}

💡 어떤 수의 0제곱은 1이라는 사실로 식이 훨씬 단순해져요.

#2 Make a Systematic List 6.EE.A.1 단계 3

남은 숫자 {2, 2, 3}에서 (밑, 지수) 쌍이 될 두 개를 고르는 경우를 빠짐없이 나열합니다: (3, 2), (2, 3), (2, 2).
각각 계산하면 3^2 = 9, 2^3 = 8, 2^2 = 4.

$$3^{2}=9,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{2}=4$$

💡 작은 경우는 모두 적어보면 어떤 것이 최대인지 확실히 알 수 있어요.

#2 Make a Systematic List 3.OA.C.7 단계 4

세 값 9, 8, 4 중 가장 큰 값은 9입니다.
이때 사용한 거듭제곱은 3^2이고, 남는 숫자 2는 0과 짝지어져 2^0 = 1이 됩니다.
따라서 최대 식은 3^2 × 2^0 = 9 × 1 = 9.

$$3^{2} \times 2^{0} = 9 \times 1 = 9$$

💡 9 × 1 같은 곱셈은 3학년 곱셈 사실을 그대로 적용할 수 있어요.

[1] #3 6.EE.A.1 두 거듭제곱의 곱을 최대로 만들려면 두 항이 모두 0이 아니어야 합니다. 0을 밑에 두면 0^2 = 0 또는 0^3 = 0이 되어 곱 전체가 0

[2] #2 6.EE.A.1 0을 지수 자리에 두면 그 항은 1이 됩니다(어떤 0이 아닌 수의 0제곱은 1). 그러면 식은 1 × (다른 밑)^(다른 지수) 형태가 되고,

[3] #2 6.EE.A.1 남은 숫자 {2, 2, 3}에서 (밑, 지수) 쌍이 될 두 개를 고르는 경우를 빠짐없이 나열합니다: (3, 2), (2, 3), (2, 2).

[4] #2 3.OA.C.7 세 값 9, 8, 4 중 가장 큰 값은 9입니다. 이때 사용한 거듭제곱은 3^2이고, 남는 숫자 2는 0과 짝지어져 2^0 = 1이 됩니다. 따

검토

합리성 확인: 선택지 중 0, 8, 9, 16, 18을 보면 16과 18은 2 또는 3을 사용해서는 거듭제곱의 곱으로 만들 수 없습니다(예: 16 = 2^4은 지수 4가 없음). 9는 3^2 × 2^0으로 정확히 구성되고, 다른 모든 배치는 9 이하이므로 답 9는 합리적입니다.

대안 접근: 도구 6(추측하고 확인)으로 큰 값이 나올 만한 배치(예: 3^2 × 2^0, 2^3 × 2^0, 2^2 × 3^0)부터 시도해도 빠르게 9를 찾을 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (거듭제곱의 정의(밑^지수)와 특수한 경우(0을 밑/지수로 했을 때) 평가에 사용했습니다.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (마지막에 9 × 1 = 9 같은 곱셈을 즉시 계산하는 데 사용했습니다.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 거듭제곱(어떤 수의 0제곱은 1!)만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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