AMC 8 · 2024 · #18
학년 7 geometry-2d문제
점 O를 중심으로 하고 반지름이 각각 1, 2, 3인 세 개의 동심원이 있습니다. 점 B와 C는 가장 큰 원 위에 있습니다. 아래 그림과 같이 두 작은 원 사이의 영역과, 중심각 BOC에 의해 잘리는 가장 큰 두 원 사이 영역의 부분이 색칠되어 있습니다. 색칠된 영역의 넓이와 색칠되지 않은 영역의 넓이가 서로 같다고 할 때, ∠BOC의 크기는 몇 도입니까?
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AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 중심이 같은 세 원의 반지름이 각각 $1$, $2$, $3$ 입니다. 안쪽 링(반지름 $1$ 과 $2$ 사이) 전체가 색칠되어 있고, 바깥쪽 링(반지름 $2$ 와 $3$ 사이)에서는 중심각 $\angle BOC = x^{\circ}$ 인 부채꼴 부분만 색칠되어 있습니다. 색칠된 넓이와 색칠되지 않은 넓이가 같다고 할 때 $x$ 의 값을 구하는 문제입니다.
주어진 것: 세 동심원의 반지름 $r_1 = 1$, $r_2 = 2$, $r_3 = 3$; 안쪽 링(반지름 $1$ 과 $2$ 사이)은 전체가 색칠됨; 바깥쪽 링(반지름 $2$ 와 $3$ 사이)에서는 중심각 $\angle BOC = x^{\circ}$ 인 부채꼴만 색칠됨; 색칠된 넓이 = 색칠되지 않은 넓이 (각각 전체 큰 원의 절반); 선택지: (A) 108, (B) 120, (C) 135, (D) 144, (E) 150
구하는 것: $\angle BOC$ 의 크기 (도)
이해
문제 재정리: 중심이 같은 세 원의 반지름이 각각 $1$, $2$, $3$ 입니다. 안쪽 링(반지름 $1$ 과 $2$ 사이) 전체가 색칠되어 있고, 바깥쪽 링(반지름 $2$ 와 $3$ 사이)에서는 중심각 $\angle BOC = x^{\circ}$ 인 부채꼴 부분만 색칠되어 있습니다. 색칠된 넓이와 색칠되지 않은 넓이가 같다고 할 때 $x$ 의 값을 구하는 문제입니다.
주어진 것: 세 동심원의 반지름 $r_1 = 1$, $r_2 = 2$, $r_3 = 3$; 안쪽 링(반지름 $1$ 과 $2$ 사이)은 전체가 색칠됨; 바깥쪽 링(반지름 $2$ 와 $3$ 사이)에서는 중심각 $\angle BOC = x^{\circ}$ 인 부채꼴만 색칠됨; 색칠된 넓이 = 색칠되지 않은 넓이 (각각 전체 큰 원의 절반); 선택지: (A) 108, (B) 120, (C) 135, (D) 144, (E) 150
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
색칠된 영역은 **"안쪽 링 전체" + "바깥쪽 링의 부채꼴 일부"** 의 합으로 이루어진 복합 도형입니다. 그래서 가장 자연스러운 첫 수는 도구 #7 — 우리가 이미 다룰 줄 아는 두 조각으로 **쪼개서** 더하는 것입니다. 도구 #1로 "안쪽은 통째로, 바깥쪽은 일부만" 색칠된 그림을 머릿속에 정리해 두면 헷갈리지 않습니다. 마지막으로 도구 #3으로 결과를 선택지와 맞춥니다. 도구 #13(대수) 대신, 바깥쪽 링이 만들어 줘야 할 넓이가 $1.5\pi$, 바깥쪽 링 전체가 $5\pi$ 이므로 **분수 $\frac{1.5}{5} = \frac{3}{10}$** 만큼만 채우면 된다는 단순한 "전체의 몇 분의 몇" 추론으로 각도를 곧장 얻습니다.
실행 — 정답: A
7.G.B.4 단계 1 - 원의 넓이 공식 $A = \pi r^{2}$ 를 사용해 세 원의 넓이를 구합니다.
- 가장 작은 원은 $\pi(1)^2 = \pi$, 중간 원은 $\pi(2)^2 = 4\pi$, 가장 큰 원은 $\pi(3)^2 = 9\pi$ 입니다.
- 따라서 전체 도형(가장 큰 원 전체)의 넓이는 $9\pi$ 입니다.
💡 원의 넓이 공식 $A = \pi r^{2}$ 는 7학년의 원의 넓이·둘레 표준에 정확히 해당합니다.
7.G.B.4 단계 2 - 도형을 두 개의 "링"으로 쪼갭니다(작은 문제 ①).
- **안쪽 링**(반지름 $1$ 과 $2$ 사이)은 중간 원에서 작은 원을 빼면 되므로 넓이 $= 4\pi - \pi = 3\pi$.
- **바깥쪽 링**(반지름 $2$ 와 $3$ 사이)은 가장 큰 원에서 중간 원을 빼면 되므로 넓이 $= 9\pi - 4\pi = 5\pi$.
- 안쪽 링($3\pi$)은 통째로 색칠되어 있고, 바깥쪽 링($5\pi$)은 일부만 색칠되어 있습니다.
💡 큰 원의 넓이에서 안쪽 원의 넓이를 빼서 링의 넓이를 구하는 일은 7학년 원의 넓이 공식을 그대로 활용한 것입니다.
3.G.A.2 단계 3 - 조건 "색칠된 넓이 = 색칠되지 않은 넓이"를 숫자로 바꿉니다.
- 두 부분이 같고 그 합이 $9\pi$ 이므로 각각은 $9\pi$ 의 절반이어야 합니다.
- 따라서 색칠된 전체 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot 9\pi = \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi$ 가 되어야 합니다.
💡 "같은 두 조각이 전체를 이룬다"는 3학년의 같은 넓이로 분할하는 개념을, 도형 모양 대신 넓이에 적용한 것입니다.
5.NF.B.3 단계 4 - 안쪽 링이 이미 $3\pi$ 를 공짜로 채워 줍니다.
- 그러므로 바깥쪽 링의 색칠된 부채꼴이 채워야 할 넓이는 $4.5\pi - 3\pi = 1.5\pi$ 입니다.
- 바깥쪽 링 전체 넓이는 $5\pi$ 이므로 색칠된 부채꼴은 바깥쪽 링의 $\frac{1.5\pi}{5\pi} = \frac{1.5}{5} = \frac{3}{10}$ 만큼입니다.
💡 비 $\frac{1.5}{5}$ 를 "부분 ÷ 전체" 로 보아 분수 $\frac{3}{10}$ 으로 읽어 내는 일은 5학년의 "분수 = 나눗셈" 개념입니다.
4.NF.B.4 단계 5 - 원(또는 링)의 부채꼴은 그 넓이가 전체에서 차지하는 비율과 같은 비율로 중심각 $360^{\circ}$ 를 차지합니다.
- 따라서 부채꼴이 바깥쪽 링의 $\frac{3}{10}$ 이라면 중심각은 $360^{\circ}$ 의 $\frac{3}{10}$, 곧 $108^{\circ}$ 입니다.
💡 분수에 자연수를 곱하는 일 $\bigl(\tfrac{3}{10} \times 360\bigr)$ 은 4학년의 분수×자연수 표준에 해당합니다.
4.NBT.A.2 단계 6 - $108^{\circ}$ 를 선택지와 맞춥니다.
- $108, 120, 135, 144, 150$ 중 $108$ 은 정확히 (A) 입니다.
- 다른 선택지는 모두 우리가 필요한 양보다 큰 부분을 색칠하게 됩니다.
- 예를 들어 $150^{\circ}$ 라면 바깥쪽 링에서 $\frac{150}{360} \cdot 5\pi \approx 2.08\pi$ 가 색칠되어 전체 색칠 넓이가 약 $5.08\pi > 4.5\pi$ 로 너무 커집니다.
💡 세 자리 수 $108$ 을 다섯 개의 세 자리 선택지와 비교하는 일은 4학년의 여러 자리 수 비교에 해당합니다.
7.G.B.4 원의 넓이 공식 $A = \pi r^{2}$ 를 사용해 세 원의 넓이를 구합니다. 가장 작은 원은 $\pi(1)^2 = \pi$, 중간 원은 $ 7.G.B.4 도형을 두 개의 "링"으로 쪼갭니다(작은 문제 ①). **안쪽 링**(반지름 $1$ 과 $2$ 사이)은 중간 원에서 작은 원을 빼면 되므로 넓이 3.G.A.2 조건 "색칠된 넓이 = 색칠되지 않은 넓이"를 숫자로 바꿉니다. 두 부분이 같고 그 합이 $9\pi$ 이므로 각각은 $9\pi$ 의 절반이어야 5.NF.B.3 안쪽 링이 이미 $3\pi$ 를 공짜로 채워 줍니다. 그러므로 바깥쪽 링의 색칠된 부채꼴이 채워야 할 넓이는 $4.5\pi - 3\pi = 1. 4.NF.B.4 원(또는 링)의 부채꼴은 그 넓이가 전체에서 차지하는 비율과 같은 비율로 중심각 $360^{\circ}$ 를 차지합니다. 따라서 부채꼴이 바깥쪽 4.NBT.A.2 $108^{\circ}$ 를 선택지와 맞춥니다. $108, 120, 135, 144, 150$ 중 $108$ 은 정확히 (A) 입니다. 다른 선 검토
합리성 확인: $x = 108^{\circ}$ 를 색칠 넓이 식에 다시 대입하면 $3\pi + \frac{108}{360} \cdot 5\pi = 3\pi + \frac{3}{10} \cdot 5\pi = 3\pi + 1.5\pi = 4.5\pi$ 가 되어, 정확히 $9\pi$ 의 절반이 됩니다. 즉 색칠된 넓이와 색칠되지 않은 넓이가 같다는 조건을 만족합니다. 크기 감각으로도 자연스럽습니다. 바깥쪽 링($5\pi$)이 안쪽 링($3\pi$)보다 크기 때문에 그 일부만 잘라도 절반 채우기가 가능하고, 실제로 $108^{\circ}$ 는 $\tfrac{1}{3} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ}$ 보다 약간 작은 "적당한 한 조각" 입니다.
대안 접근: 다른 방법으로는 도구 #13(대수로 바꾸기)을 써서, 각도를 $x$ 로 두고 방정식 $3\pi + \frac{x}{360} \cdot 5\pi = \frac{9\pi}{2}$ 를 푸는 방식이 있습니다. 답은 똑같이 $x = 108$ 이지만, 이 방법은 "바깥쪽 링이 자기 자신의 $\frac{1.5\pi}{5\pi} = \frac{3}{10}$ 만 채우면 된다" 는 핵심 직관을 가려 버립니다. 초등 학생에게는 이 풀이처럼 작은 문제로 쪼개 분수 비율로 처리하는 쪽이 더 친절합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
3.G.A.2도형을 넓이가 같은 부분들로 분할한다 ("색칠 = 색칠 안 됨" 이라는 조건을 "색칠 = 전체의 절반", 곧 $\tfrac{1}{2} \cdot 9\pi = 4.5\pi$ 로 바꾸는 데 사용.)4.NBT.A.2여러 자리 수를 읽고 쓰고 기호로 비교한다 ($108$ 을 다섯 개의 세 자리 선택지와 비교해 (A) 를 고르는 데 사용.)4.NF.B.4분수에 자연수를 곱하는 곱셈 개념을 확장해 적용한다 ($\tfrac{3}{10} \cdot 360^{\circ} = 108^{\circ}$ 처럼 넓이 비율을 중심각으로 환산하는 데 사용.)5.NF.B.3분수를 분자 ÷ 분모 의 형태로 해석한다 (비 $\frac{1.5\pi}{5\pi}$ 를 분수 $\frac{1.5}{5} = \frac{3}{10}$ 로 읽어 바깥쪽 링의 비율을 구하는 데 사용.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식을 안다 (세 원의 넓이 $\pi$, $4\pi$, $9\pi$ 를 $A = \pi r^{2}$ 로 구하고, 빼서 두 링의 넓이 $3\pi$, $5\pi$ 를 얻는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 원의 넓이 공식 $A = \pi r^{2}$ 만 알면 풀려요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 원의 넓이 공식 $A = \pi r^{2}$ 만 알면 풀려요!
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