AMC 8 · 2024 · #25

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basicfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

어떤 소형 비행기는 한 줄에 좌석이 $3$ 개씩 총 $4$ 줄로 배열되어 있습니다. 승객 $8$ 명이 이미 탑승하여 좌석에 무작위로 배치되어 있습니다. 이어서 부부 한 쌍이 탑승하려고 합니다. 같은 줄 안에 부부가 함께 앉을 수 있는 이웃한 좌석 두 자리가 있을 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{8}{15}$

(B)

$frac{32}{55}$

(C)

$frac{20}{33}$

(D)

$frac{34}{55}$

(E)

$frac{8}{11}$

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 비행기에는 $3$ 개씩 $4$ 줄, 총 $12$ 개의 좌석이 있습니다. 이미 $8$ 명이 무작위로 앉아 있고 $4$ 개의 빈 좌석이 남아 있습니다. 다음에 탑승하는 부부가 **같은 줄에서 옆자리** 둘에 함께 앉을 수 있을 확률을 구하는 문제입니다.

주어진 것: 비행기 좌석: $4$ 줄 $\times$ $3$ 자리 $= 12$ 자리; 이미 탑승한 승객 수: $8$ 명; 남은 빈 좌석 수: $12 - 8 = 4$ 개; $8$ 명은 $12$ 자리 중에서 **무작위로** 자리를 차지; 선택지: (A) $\tfrac{8}{15}$, (B) $\tfrac{32}{55}$, (C) $\tfrac{20}{33}$, (D) $\tfrac{34}{55}$, (E) $\tfrac{8}{11}$

구하는 것: 부부가 같은 줄에서 옆자리에 함께 앉을 수 있을 확률

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여사건 세기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

"부부가 옆자리에 **앉을 수 있을** 확률"은 곧 "빈 좌석 $4$ 개 중 같은 줄에서 옆에 붙은 쌍이 **적어도 한 쌍** 있을 확률"입니다. "적어도"라는 말이 보이면 곧장 도구 #16(관점 바꾸기) — **반대 사건**(어느 두 빈 좌석도 같은 줄에서 옆에 붙어 있지 않음)을 세는 편이 훨씬 쉽습니다. 반대 사건을 셀 때는 빈 좌석 $4$ 개가 네 줄에 어떻게 나뉘는지로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 써서 경우를 정리합니다. 좌석 배치를 직관적으로 보기 위해 도구 #1(그림 그리기)로 $4\times 3$ 격자를 함께 그리고, 한 줄($3$ 자리)에서 옆에 붙지 않게 빈 좌석을 놓는 방법이 몇 가지인지 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 미리 확인해 둡니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 K.G.A.1 단계 1

먼저 $4\times 3$ 격자를 그리고 한 줄($3$ 자리)만 떼어 봅니다.
한 줄에서 빈 좌석을 옆에 붙지 않게 놓는 방법은: 빈 좌석이 $0$ 개면 $1$ 가지, $1$ 개면 자리 선택 $3$ 가지, $2$ 개면 "왼-가운데"·"가운데-오른"은 옆에 붙으니 안 되고 **"왼쪽과 오른쪽" 양 끝**의 $1$ 가지, $3$ 개면 무조건 옆에 붙으니 $0$ 가지.
정리하면 한 줄당 (빈 $0,1,2,3$개) $\to$ ($1,3,1,0$) 가지입니다.

$$\text{한 줄당 비인접 빈 좌석 배치 수: } (0,1,2,3) \;\to\; (1,3,1,0)$$

💡 좌석의 "왼쪽·가운데·오른쪽" 같은 위치를 말로 짚는 것은 유치원 공간 표현 단원의 기본입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 7.SP.C.8 단계 2

전체 가짓수(분모)는 $12$ 자리 중에서 빈 좌석 $4$ 개를 뽑는 경우의 수입니다.
순서는 중요하지 않으므로 조합으로 $\binom{12}{4}$ 입니다.
이는 같은 분모로 부부의 가능·불가능을 모두 셀 수 있게 해주는 "공통 기준"입니다.

$$\binom{12}{4} = \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$$

💡 "$12$개 중 $4$개를 고른다"는 식의 조합으로 모든 경우의 수를 세는 것은 7학년 확률 단원에서 다루는 정리된 목록·표를 이용한 셈입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

이제 "옆자리에 빈 쌍이 **하나도 없는**" 경우(여사건)를 셉니다.
빈 좌석 $4$ 개가 $4$ 줄에 어떻게 나뉘는지로 가능한 분포를 **빠짐없이 나열**합니다.
한 줄이 가질 수 있는 비인접 빈 좌석 수는 $\{0,1,2\}$ 이므로 (한 줄에 $3$ 개 이상은 무조건 인접) 합이 $4$ 인 분포는 정확히 세 가지: $(1,1,1,1)$, $(2,1,1,0)$, $(2,2,0,0)$.

$$\text{분포 후보: } (1,1,1,1),\ (2,1,1,0),\ (2,2,0,0)$$

💡 조건에 맞는 모든 경우를 빠뜨리지 않고 분류하는 작업은 7학년 확률에서 정리된 목록으로 경우를 세는 능력입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

세 분포 각각에 대해 1단계의 한 줄당 가짓수 $(1,3,1)$ 을 곱해 정리합니다.
분포 $(1,1,1,1)$: 네 줄 모두 빈 $1$ 개이므로 $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
분포 $(2,1,1,0)$: $4$ 줄 중 어느 줄이 $2$ 인지($4$ 가지), 그 줄의 배치($1$ 가지), 남은 $3$ 줄 중 어느 두 줄이 $1$ 인지($\binom{3}{2}=3$ 가지), 그 두 줄 각각의 배치($3 \times 3$).
합쳐서 $4 \times 1 \times 3 \times 3 \times 3 = 108$.
분포 $(2,2,0,0)$: $4$ 줄 중 $2$ 가 들어갈 줄 두 개를 고름($\binom{4}{2}=6$ 가지), 각 줄의 배치($1 \times 1$).
합쳐서 $6$.

$$81 + 108 + 6 = 195$$

💡 각 줄의 가짓수를 곱하고 분포별로 더하는 곱셈·덧셈 원리는 7학년의 정리된 목록을 이용한 복합 사건 세기와 정확히 일치합니다.

#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 7.SP.C.7 단계 5

여사건의 확률을 구합니다.
분자 $195$, 분모 $\binom{12}{4}=495$.
두 수를 최대공약수 $15$ 로 약분하면 $\dfrac{195}{495} = \dfrac{13}{33}$ 입니다.
이 값이 "부부가 옆자리에 앉을 수 **없을**" 확률입니다.

$$P(\text{앉을 수 없음}) = \dfrac{195}{495} = \dfrac{13}{33}$$

💡 확률을 $\dfrac{\text{원하는 경우}}{\text{전체 경우}}$ 로 정의하는 것은 7학년의 확률 모형 만들기에서 다루는 기본 식입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 5.NF.A.1 단계 6

마지막으로 여사건의 법칙 $P(A) = 1 - P(\text{A의 여사건})$ 을 적용해 부부가 앉을 수 **있는** 확률을 구합니다.
$1 - \dfrac{13}{33} = \dfrac{33-13}{33} = \dfrac{20}{33}$.
선택지에서 $\dfrac{20}{33}$ 은 정확히 **(C)** 이고, $\dfrac{8}{15}, \dfrac{32}{55}, \dfrac{34}{55}, \dfrac{8}{11}$ 은 모두 $\dfrac{20}{33}$ 과 같지 않으므로 도구 #3 의 "가능성 지우기"로 한 번 더 확인됩니다.

$$1 - \dfrac{13}{33} = \dfrac{20}{33} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 공통분모가 같은 분수 $1 = \dfrac{33}{33}$ 에서 $\dfrac{13}{33}$ 을 빼는 것은 5학년의 분수 덧셈·뺄셈 단원에서 곧장 배우는 계산입니다.

[1] #1 K.G.A.1 먼저 $4\times 3$ 격자를 그리고 한 줄($3$ 자리)만 떼어 봅니다. 한 줄에서 빈 좌석을 옆에 붙지 않게 놓는 방법은: 빈 좌석이 $

[2] #16 7.SP.C.8 전체 가짓수(분모)는 $12$ 자리 중에서 빈 좌석 $4$ 개를 뽑는 경우의 수입니다. 순서는 중요하지 않으므로 조합으로 $\binom{12}{

[3] #2 7.SP.C.8 이제 "옆자리에 빈 쌍이 **하나도 없는**" 경우(여사건)를 셉니다. 빈 좌석 $4$ 개가 $4$ 줄에 어떻게 나뉘는지로 가능한 분포를 **빠

[4] #2 7.SP.C.8 세 분포 각각에 대해 1단계의 한 줄당 가짓수 $(1,3,1)$ 을 곱해 정리합니다. 분포 $(1,1,1,1)$: 네 줄 모두 빈 $1$ 개이므

[5] #16 7.SP.C.7 여사건의 확률을 구합니다. 분자 $195$, 분모 $\binom{12}{4}=495$. 두 수를 최대공약수 $15$ 로 약분하면 $\dfrac{

[6] #16 5.NF.A.1 마지막으로 여사건의 법칙 $P(A) = 1 - P(\text{A의 여사건})$ 을 적용해 부부가 앉을 수 **있는** 확률을 구합니다. $1 -

검토

합리성 확인: 정답 $\dfrac{20}{33} \approx 0.606$ 은 절반(0.5)보다 조금 크고 1보다 작은 합리적인 확률입니다. 빈 좌석이 $4$ 개나 되고 한 줄당 옆자리 쌍이 $2$ 군데($3$ 자리이므로)나 있으므로 "옆자리 쌍이 생길" 가능성이 더 높은 쪽이 자연스럽습니다. 또 다른 빠른 검산: 총 $\binom{12}{4}=495$ 가지 중 옆자리 쌍이 생기는 경우의 수는 $495 - 195 = 300$ 이고, $\dfrac{300}{495} = \dfrac{20}{33}$ 으로 같은 값이 나옵니다.

대안 접근: 다른 방법은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 **직접** 적용해 옆자리 빈 쌍이 적어도 하나 생기는 경우를 분류해 더하는 것입니다(예: "옆 쌍이 정확히 하나"·"한 줄이 통째로 빔"·"독립적인 옆 쌍 두 개"의 세 경우로 나누어 $240+36+24=300$). 하지만 이 방법은 "적어도 하나"라는 조건 때문에 중복이 생기지 않도록 신경 써야 해서 #16(여사건)을 쓰는 본 풀이가 훨씬 깔끔하고 같은 답 $\dfrac{20}{33}$ 에 더 빨리 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

K.G.A.1 물체의 위치를 위·아래·옆·앞 등을 사용해 묘사한다 (한 줄 $3$ 자리에서 "왼쪽·가운데·오른쪽"의 위치 관계로 옆 쌍과 양 끝을 구분하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($1 - \dfrac{13}{33} = \dfrac{20}{33}$ 처럼 $1$ 에서 분수를 빼고, $\dfrac{195}{495}$ 을 약분하는 분수 계산에 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 만들고 사건의 확률을 구한다 (확률을 "원하는 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수" 로 정의하고, 여사건의 확률을 $\dfrac{195}{495}$ 로 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·모의실험을 이용해 복합 사건의 확률을 구한다 (전체 가짓수 $\binom{12}{4}=495$ 와 비인접 분포 $(1,1,1,1), (2,1,1,0), (2,2,0,0)$ 별 가짓수 $81, 108, 6$ 을 정리된 목록·곱셈 원리로 세는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 마지막 문제는 사실 7학년 때 배우는 "정리된 목록으로 경우 세기"와 "여사건의 확률" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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