AMC 8 · 2025 · #11

학년 3 geometry-2dcounting

유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Fixed Piece Set — Feasibility by Elimination

area-rectanglesparity-coloringspatial-visualizationparity parity-coloringcaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesparity

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

$\textit{테트로미노}$ 는 네 개의 정사각형이 변을 따라 이어져 있는 도형입니다. 가능한 테트로미노의 모양은 아래 그림에 나와 있는 $I$ , $O$ , $L$ , $T$ , $S$ 의 다섯 가지이며, 회전하거나 뒤집을 수 있습니다. 세 개의 테트로미노를 사용해 $3\times4$ 직사각형을 빈틈없이 모두 덮었습니다. 이 중 적어도 하나는 $S$ 타일입니다. 그렇다면 나머지 두 타일은 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

I and L

(B)

I and T

(C)

L and L

(D)

L and S

(E)

O and T

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3 \times 4$ 직사각형을 다섯 가지 테트로미노 모양 $I, O, L, T, S$ 중에서 고른 세 조각으로 빈틈없이 덮으려고 합니다(회전과 뒤집기 허용). 이 세 조각 중 하나는 반드시 $S$ 타일이어야 할 때, 나머지 두 조각은 어떤 모양인가요?

주어진 것: 판은 $3 \times 4$ 직사각형 (넓이 $= 12$ 단위 정사각형); 테트로미노 세 조각을 사용하며, 각 조각은 $4$ 개의 단위 정사각형으로 이루어짐; 허용되는 모양: $I, O, L, T, S$ (회전·반사 모두 허용); 세 조각 중 정확히 하나는 $S$ 타일; 선택지: (A) I 와 L, (B) I 와 T, (C) L 과 L, (D) L 과 S, (E) O 와 T

구하는 것: $S$ 타일과 함께 $3 \times 4$ 직사각형을 덮는 나머지 두 테트로미노의 종류

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #10 직접 만져보기

타일링 문제는 결국 그림 위에서 일어나는 일이므로, 도구 #1(그림 그리기)부터 시작합니다. $3 \times 4$ 판을 체스판처럼 검은색·흰색으로 번갈아 칠해 두면, 각 테트로미노가 어느 색 칸을 몇 개 덮는지가 한눈에 보입니다 — 어려운 기하 문제가 간단한 "짝 맞추기" 산수로 바뀝니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 색깔 균형을 깨는 선택지를 지웁니다. 이는 AMC 객관식의 정석입니다. 마지막으로 도구 #10(직접 만져보기): 남은 후보가 몇 개 안 되므로, 종이로 테트로미노를 직접 잘라(또는 모눈종이에 칸을 색칠해) $S$ 와 함께 실제로 끼워 맞춰 봅니다. 직사각형이 완성되는 조합이 정답입니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 3.MD.C.6 단계 1

$3 \times 4$ 판을 체스판처럼 칠합니다.
$3 \times 4 = 12$ 칸이 색을 번갈아가며 채워지므로, 검은색 칸 $6$ 개와 흰색 칸 $6$ 개가 정확히 같은 수로 나옵니다.

$$3 \times 4 = 12, \quad 12 \div 2 = 6 \text{ 검은} + 6 \text{ 흰}$$

💡 격자 위에서 색깔별 단위 정사각형 개수를 세는 것은 3학년 "단위 정사각형을 세어 넓이 구하기" 그대로입니다.

#1 그림 그리기 1.G.A.2 단계 2

각 테트로미노가 체스판 위에서 어느 색을 몇 개 덮는지 따져 봅니다.
머릿속으로 놓아 보면, $I, O, L, S$ 타일은 어떻게 돌리거나 뒤집어도 항상 검은 $2$, 흰 $2$ 를 덮습니다.
반면 $T$ 타일은 특별합니다 — 가로 $3$ 칸짜리 막대에 가운데 발이 하나 붙은 모양이라, 항상 한 색 $3$ 개와 다른 색 $1$ 개를 덮게 됩니다.

$$\text{I, O, L, S} \to 2B+2W \quad ; \quad \text{T} \to 3B+1W \text{ 또는 } 1B+3W$$

💡 테트로미노를 작은 정사각형 $4$ 개로 "조립" 해서 색을 세는 것은 1학년 "평면 도형 합성" 의 아이디어입니다.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 3

색깔 합계를 이용해 선택지를 솎아 냅니다.
필수로 들어가는 $S$ 타일이 검은 $2$, 흰 $2$ 를 차지하므로, 나머지 두 타일이 덮어야 할 칸은 검은 $4$, 흰 $4$ 입니다.
만약 그중 하나가 $T$ 타일이라면 한 색을 $3$, 다른 색을 $1$ 덮으므로, 세 번째 타일은 첫 번째 색을 $1$, 두 번째 색을 $3$ 덮어야 합니다 — 즉, 세 번째 타일도 반드시 $T$ 여야 합니다.
따라서 $T$ 는 또 다른 $T$ 와 짝지을 때만 가능합니다.
선택지 (B) I 와 T, (E) O 와 T 는 $T$ 를 $T$ 가 아닌 타일과 짝짓고 있으므로 색 균형이 깨져 탈락합니다.

$$S \text{ 가 차지하고 남는 칸: } 6-2=4 \text{ 검은}, \; 6-2=4 \text{ 흰}$$

💡 "검은 칸 수 $=$ 흰 칸 수" 가 맞는지 따지는 것은 짝수·홀수 균형 판단 — 2학년 짝수·홀수식 추론입니다.

#10 직접 만져보기 1.G.A.2 단계 4

남은 후보는 (A) I 와 L, (C) L 과 L, (D) L 과 S 입니다.
종이로 테트로미노를 잘라(또는 모눈종이에 색칠해) 직접 끼워 봅니다.
(A) 의 경우 $I$ 타일은 $1 \times 4$ 인데 $3 \times 4$ 판에서는 가로로 한 행 전체를 차지할 수밖에 없고, 그러면 남은 $2 \times 4$ 띠를 $L + S$ 로 채워야 합니다 — 그런데 $2 \times 4$ 띠 안에 $L$ 을 어떻게 놓아도 남는 $4$ 칸은 항상 또 다른 $L$ 모양이 되어 $S$ 가 들어갈 자리가 없습니다.
(D) 의 $S, S, L$ 도 마찬가지로, 첫 $S$ 를 어디에 놓아도 외톨이 칸이 생기거나 두 번째 $S$ 와 $L$ 로 쪼갤 수 없는 영역이 남습니다.
(A) 와 (D) 모두 실패합니다.

$$\text{(A) 실패: } I \text{ 가 한 행 차지} \Rightarrow 2 \times 4 \text{ 띠가 } L + S \text{ 로 채워지지 않음}$$

💡 작은 조각들을 직접 움직여 직사각형을 "조립" 하는 손놀림은 1학년 도형 합성 그 자체입니다.

#10 직접 만져보기 1.G.A.2 단계 5

이제 남은 (C) 를 확인합니다 — $S$ 한 조각과 $L$ 두 조각.
왼쪽 아래 모서리를 기준으로 (열, 행) 좌표를 쓰면, $S$ 를 뒤집은 형태로 $(1,2), (2,2), (2,1), (3,1)$ 네 칸에 놓습니다.
그러면 비어 있는 $8$ 칸은 자연스럽게 두 개의 $L$ 모양으로 갈라집니다 — 왼쪽·위쪽 영역 $(1,1), (1,3), (2,3), (3,3)$ 이 회전된 $L$ 하나, 오른쪽 영역 $(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)$ 이 또 다른 회전된 $L$ 입니다.
유효한 타일링이 실제로 존재하므로, $S$ 의 짝은 $L$ 두 조각이고 정답은 $\textbf{(C)}$ 입니다.

$$S \text{ : } \{(1,2),(2,2),(2,1),(3,1)\} \;+\; L \text{ : } \{(1,1),(1,3),(2,3),(3,3)\} \;+\; L \text{ : } \{(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)\} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 세 개의 테트로미노 조각으로 $3 \times 4$ 직사각형을 만드는 것은 "작은 도형을 모아 큰 도형 만들기" 라는 유치원~1학년 단계의 합성 활동입니다.

[1] #1 3.MD.C.6 $3 \times 4$ 판을 체스판처럼 칠합니다. $3 \times 4 = 12$ 칸이 색을 번갈아가며 채워지므로, 검은색 칸 $6$ 개와 흰색

[2] #1 1.G.A.2 각 테트로미노가 체스판 위에서 어느 색을 몇 개 덮는지 따져 봅니다. 머릿속으로 놓아 보면, $I, O, L, S$ 타일은 어떻게 돌리거나 뒤집

[3] #3 2.OA.C.3 색깔 합계를 이용해 선택지를 솎아 냅니다. 필수로 들어가는 $S$ 타일이 검은 $2$, 흰 $2$ 를 차지하므로, 나머지 두 타일이 덮어야 할

[4] #10 1.G.A.2 남은 후보는 (A) I 와 L, (C) L 과 L, (D) L 과 S 입니다. 종이로 테트로미노를 잘라(또는 모눈종이에 색칠해) 직접 끼워 봅니

[5] #10 1.G.A.2 이제 남은 (C) 를 확인합니다 — $S$ 한 조각과 $L$ 두 조각. 왼쪽 아래 모서리를 기준으로 (열, 행) 좌표를 쓰면, $S$ 를 뒤집은

검토

합리성 확인: 타일 세 조각이 각 $4$ 칸이므로 총 $12$ 칸을 덮고, 이는 $3 \times 4 = 12$ 인 판의 넓이와 정확히 맞아떨어집니다. 체스판 균형도 $S$ 가 $2+2$, $L$ 두 개가 각각 $2+2$ 씩이라 합쳐서 검은 $6$, 흰 $6$ 으로 보존됩니다. 위에서 적어 둔 $S, L, L$ 의 구체적 배치는 모눈종이에 그려 보면 빈칸이나 겹침 없이 판을 채우는 것을 확인할 수 있으므로, 정답 (C) L 과 L 은 논리적으로도, 구성적으로도 모두 검증됩니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): $S$ 타일이 $3 \times 4$ 판에 들어갈 수 있는 본질적으로 다른 배치를 (대칭을 고려해) 모두 나열한 다음, 각 배치마다 "남은 $8$ 칸이 두 개의 테트로미노로 갈라지는가?" 를 직접 확인합니다. 색칠 논증 같은 영리한 한 수 없이도, 일일이 따져 보는 것만으로 결국 $L$ 두 개만이 유일하게 성립함을 증명할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.MD.C.6 단위 정사각형을 세어 넓이 구하기 ($3 \times 4$ 판의 $12$ 개 단위 정사각형을 체스판 색칠 후 검은 $6$, 흰 $6$ 으로 세는 데 사용.)
1.G.A.2 평면 도형 또는 입체 도형 합성하기 (각 테트로미노를 $4$ 개의 단위 정사각형으로 조립해 색 분포를 읽고, $S$ 하나와 $L$ 두 개를 모아 $3 \times 4$ 직사각형을 만드는 합성에 사용.)
2.OA.C.3 물건 묶음이 짝수인지 홀수인지 판별하기 ($S$ 타일을 빼고 남은 검은 $4$, 흰 $4$ 의 짝수 균형을 이용해 $T$ 가 $T$ 가 아닌 타일과 짝지은 선택지 (B), (E) 를 제외하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 단위 정사각형 세기(와 살짝의 체스판 그림)만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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