AMC 8 · 2009 · #4

학년 3 geometry-2d

유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Fixed Piece Set — Feasibility by Elimination

area-rectanglesspatial-visualizationsystematic-enumeration physical-representationcasework ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

The five pieces shown below can be arranged to form four of the five figures shown in the choices. Which figure cannot be formed?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(figure A)

(B)

(figure B)

(C)

(figure C)

(D)

(figure D)

(E)

(figure E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 단위 정사각형 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 개가 세로로 붙은 다섯 개의 띠(strip) 조각이 주어집니다. 선택지 (A)–(E) 의 다섯 도형 중 네 개는 이 다섯 조각으로 겹치거나 남는 부분 없이 정확히 덮을 수 있고, 한 개는 덮을 수 없습니다. 만들 수 없는 도형 하나를 찾으세요.

주어진 것: 다섯 개의 조각은 모두 가로 $1$ 짜리 세로 띠로, 높이는 각각 $1, 2, 3, 4, 5$; 조각들의 총 넓이 $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 개의 단위 정사각형; 선택지의 각 도형도 정확히 $15$ 개의 단위 정사각형으로 이루어짐; 조각은 겹치지 않게 도형을 정확히 덮어야 함; 그림에 보이듯이 조각은 세로 띠 그대로 사용 (가로로 $90^\circ$ 회전 없음)

구하는 것: 다섯 띠로 덮을 수 없는 도형이 (A), (B), (C), (D), (E) 중 어느 것인지

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

직접 띠를 맞춰 보는 타일 퍼즐이라 도구 #10(직접 만져보기) 이 가장 자연스러운 출발점입니다 — 높이 $1, 2, 3, 4, 5$ 인 종이 띠 다섯 개를 잘라 도형 위에 올려 보면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 그 과정을 단축해 줍니다: 각 선택지 도형의 열별 높이만 적어 두고, 다섯 띠의 높이로 분할 가능한지 따져 보면 충분합니다. 도구 #3(가능성 지우기) 으로 마무리합니다 — "만들 수 없는 것 하나" 를 묻는 객관식이므로, 만들 수 있는 네 개를 차례로 지워 남은 하나를 답으로 잡습니다. 핵심 단서는: 높이 $5$ 띠는 $5$ 칸 이상의 세로 열이 필요하며, 가장 높은 열이 $5$ 미만인 도형은 자동으로 불가능합니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 2.OA.B.2 단계 1

먼저 띠들의 총 칸 수를 더해 $15$ 칸짜리 도형과 일치하는지 확인합니다.
띠 높이는 $1, 2, 3, 4, 5$ 이므로 총 넓이는 $1+2+3+4+5=15$ 개의 단위 정사각형입니다.
각 선택지 도형도 칠해진 칸이 $15$ 개씩이라 "넓이" 만으로는 어떤 것도 배제되지 않습니다 — 판단 근거는 "조각이 열에 어떻게 들어가는가" 입니다.

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

💡 $1$ 부터 $5$ 까지의 합 $15$ 는 2학년 "20까지 더하기" 수준이고, 도형 넓이와 정확히 같습니다.

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 2

각 선택지 도형의 열별 높이를 왼쪽부터 오른쪽으로 적습니다.
띠는 가로 $1$ 칸 세로 띠이므로 도형의 한 열 안에 통째로 또는 연속된 일부로만 들어갈 수 있습니다.
(A) 높이 $5, 3, 2, 5$ (네 열) (B) 높이 $2, 3, 4, 3, 3$ (다섯 열) (C) 높이 $5, 4, 3, 2, 1$ (다섯 열 — 계단 모양) (D) 높이 $5, 5, 5$ (세 열 — $3 \times 5$ 직사각형) (E) 높이 $1, 4, 5, 4, 1$ (다섯 열).

$$\text{(A)}\;5,3,2,5\;|\;\text{(B)}\;2,3,4,3,3\;|\;\text{(C)}\;5,4,3,2,1\;|\;\text{(D)}\;5,5,5\;|\;\text{(E)}\;1,4,5,4,1$$

💡 각진 도형을 세로 직사각형들로 쪼개 보는 것은 3학년 넓이 다루는 방식 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 3.MD.C.5 단계 3

다섯 띠 중 가장 긴 $5$ 칸 띠가 들어갈 자리가 있는지 도형마다 확인합니다.
띠는 세로 한 줄이고 폭이 $1$ 이므로, 한 열의 연속된 높이가 적어도 $5$ 가 되어야 합니다.
2단계의 열 높이를 보면 (A) 에는 높이 $5$ 인 열이 있고, (C) 에도 높이 $5$ 인 열이 있고, (D) 는 세 열 모두 $5$, (E) 에도 가운데에 높이 $5$ 인 열이 있습니다.
하지만 (B) 의 가장 높은 열은 $4$ 라서 $5$ 칸 띠가 들어갈 자리가 없습니다.

$$\max\text{(B)} = 4 < 5$$

💡 각 열의 단위 정사각형 개수를 세어 비교하는 것은 3학년 "단위 칸 세기로 넓이 구하기" 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 3.MD.C.7 단계 4

남은 (A), (C), (D), (E) 가 정말 덮을 수 있는지 도구 #10 으로 직접 확인합니다.
(C) 계단 모양은 열 높이가 $5, 4, 3, 2, 1$ — 같은 높이의 띠를 그대로 하나씩 올리면 끝.
(D) $3 \times 5$ 직사각형은 열 높이가 $5, 5, 5$ — 한 열은 $5$ 띠로, 나머지 두 열은 $4{+}1$ 과 $3{+}2$ 로 쌓아 채웁니다.
(A) 열 높이 $5, 3, 2, 5$ — 한쪽 $5$ 열은 $5$ 띠로, 다른 $5$ 열은 $4{+}1$ 로, 가운데 두 열은 $3$ 띠와 $2$ 띠로.
(E) 열 높이 $1, 4, 5, 4, 1$ — $1, 4, 5, 4, 1$ 띠를 그대로 한 열씩 끼우면 끝.
결국 (B) 만 빼고 모두 덮입니다.

$$(A)\,5{+}(4{+}1){+}3{+}2,\;(C)\,5{+}4{+}3{+}2{+}1,\;(D)\,5{+}(4{+}1){+}(3{+}2),\;(E)\,1{+}4{+}5{+}4{+}1$$

💡 도형을 열 단위 직사각형으로 쪼개 덮는 것은 3학년 "직사각형으로 분해해 넓이 구하기" 의 직관입니다.

#3 가능성 지우기 3.MD.C.5 단계 5

지우고 나니 남은 것은 (B) 하나입니다.
3단계에서 본 것처럼 (B) 에는 높이 $5$ 인 열이 없으므로 $5$ 칸 띠를 도형 안에 넣을 방법이 없습니다.
따라서 만들 수 없는 도형은 (B) 입니다.

$$\textbf{정답: (B)}$$

💡 다섯 개 중 네 개를 지우면 남는 하나가 답 — 도구 #3 의 전형적인 마무리입니다.

[1] #1 2.OA.B.2 먼저 띠들의 총 칸 수를 더해 $15$ 칸짜리 도형과 일치하는지 확인합니다. 띠 높이는 $1, 2, 3, 4, 5$ 이므로 총 넓이는 $1+2+

[2] #1 3.MD.C.7 각 선택지 도형의 열별 높이를 왼쪽부터 오른쪽으로 적습니다. 띠는 가로 $1$ 칸 세로 띠이므로 도형의 한 열 안에 통째로 또는 연속된 일부로만

[3] #3 3.MD.C.5 다섯 띠 중 가장 긴 $5$ 칸 띠가 들어갈 자리가 있는지 도형마다 확인합니다. 띠는 세로 한 줄이고 폭이 $1$ 이므로, 한 열의 연속된 높이

[4] #10 3.MD.C.7 남은 (A), (C), (D), (E) 가 정말 덮을 수 있는지 도구 #10 으로 직접 확인합니다. (C) 계단 모양은 열 높이가 $5, 4,

[5] #3 3.MD.C.5 지우고 나니 남은 것은 (B) 하나입니다. 3단계에서 본 것처럼 (B) 에는 높이 $5$ 인 열이 없으므로 $5$ 칸 띠를 도형 안에 넣을 방법

검토

합리성 확인: 각 띠는 폭 $1$ 의 세로 띠라 $5$ 칸 띠는 단위 정사각형 $5$ 개가 세로로 이어진 열이 있어야만 들어갑니다. 다섯 도형 중 모든 열의 높이가 $5$ 미만인 것은 오직 (B) 뿐입니다(높이 $2, 3, 4, 3, 3$). 나머지 네 도형에 대해서는 4단계에서 실제 덮는 방법을 보였으니, (B) 가 답이라는 결론이 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기) 만으로 끝까지: 높이 $1, 2, 3, 4, 5$ 인 종이 띠 다섯 개를 잘라 인쇄된 각 도형 위에 직접 놓아 봅니다. (A), (C), (D), (E) 는 몇 번 시도하면 모두 들어맞고, (B) 는 $5$ 칸 띠가 끝내 못 들어가서 빈 공간이 남습니다. 손으로 직접 해 봐도 같은 결론 — (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.OA.B.2 암산 전략으로 20까지 능숙하게 더하고 빼기 ($1+2+3+4+5 = 15$ 로 다섯 띠의 총 넓이가 선택지 도형의 넓이와 같음을 확인하는 데 사용.)
3.MD.C.5 넓이를 평면 도형의 속성으로 인식하고 단위 정사각형 개수로 측정 (선택지 도형을 단위 정사각형의 모임으로 읽어 각 열의 높이를 세고, 어떤 도형에 높이 $5$ 짜리 세로 열이 있는지 판별하는 데 사용.)
3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈 연산과 연결하기 (각 선택지 도형을 세로 직사각형(열) 들로 분해하고, 그 열들이 띠 높이 $1, 2, 3, 4, 5$ 의 조합으로 채워질 수 있는지 검사하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 결국 3학년 "도형을 타일로 덮기" 퍼즐이에요 — 가장 긴 띠가 들어갈 자리가 있는지 보면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

비슷한 유형 더 풀어보기