AMC 8 · 2025 · #14
학년 6 arithmetic문제
수 N을 2, 6, 7, 7, 28의 목록에 추가하였더니, 평균이 중앙값의 2배가 되었습니다. N은 얼마입니까?
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $2, 6, 7, 7, 28$ 다섯 수에 새로운 수 $N$ 을 하나 더 넣어 만든 여섯 수의 목록에서, 새 평균이 새 중앙값의 정확히 $2$ 배가 되도록 하는 $N$ 을 다섯 개 보기 중에서 고르는 문제입니다.
주어진 것: 원래 목록 $2, 6, 7, 7, 28$ (이미 오름차순, 합 $= 50$); 여기에 수 $N$ 한 개를 더해 $6$ 개짜리 목록을 만든다; 새 평균 $= 2 \times $ 새 중앙값; 보기: (A) $7$, (B) $14$, (C) $20$, (D) $28$, (E) $34$
구하는 것: $N$ 의 값
이해
문제 재정리: $2, 6, 7, 7, 28$ 다섯 수에 새로운 수 $N$ 을 하나 더 넣어 만든 여섯 수의 목록에서, 새 평균이 새 중앙값의 정확히 $2$ 배가 되도록 하는 $N$ 을 다섯 개 보기 중에서 고르는 문제입니다.
주어진 것: 원래 목록 $2, 6, 7, 7, 28$ (이미 오름차순, 합 $= 50$); 여기에 수 $N$ 한 개를 더해 $6$ 개짜리 목록을 만든다; 새 평균 $= 2 \times $ 새 중앙값; 보기: (A) $7$, (B) $14$, (C) $20$, (D) $28$, (E) $34$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #7 작은 문제로 쪼개기
객관식 문제는 후보가 다섯 개뿐이라 도구 #3(가능성 지우기) 이 가장 자연스러운 출발입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "새 중앙값 구하기" 와 "새 평균 구하기" 두 단계로 나누면, 모든 보기가 $N \geq 7$ 이라 새 중앙값이 항상 $7$ 로 고정된다는 사실이 보입니다. 그 다음은 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 각 보기를 평균 공식에 넣어 $2 \times 7 = 14$ 가 되는 것만 남기면 끝이라, 굳이 대수를 꺼낼 필요가 없습니다.
실행 — 정답: E
3.NBT.A.2 단계 1 - 원래 목록을 오름차순으로 두고 합을 먼저 구합니다.
- $2, 6, 7, 7, 28$ 은 이미 정렬되어 있고, 합은 $2 + 6 + 7 + 7 + 28 = 50$ 입니다.
- 이 값은 뒤에서 새 평균을 계산할 때 그대로 다시 씁니다.
💡 작은 자연수 다섯 개의 덧셈은 3학년 "1000 이내 덧셈·뺄셈을 능숙하게" 그대로이고, 합을 먼저 구해 두면 뒷 계산이 가벼워집니다.
6.SP.A.3 단계 2 - 여섯 수 목록의 새 중앙값을 찾습니다.
- 모든 보기가 $N \geq 7$ 이므로, $N$ 을 정렬된 목록에 끼워 넣어도 앞 네 자리는 $2, 6, 7, 7$ 로 유지됩니다.
- 수가 $6$ 개일 때 중앙값은 $3$ 번째와 $4$ 번째 수의 평균인데, 둘 다 $7$ 이라 중앙값은 항상 $7$ 입니다.
💡 $N$ 이 어느 위치에 들어가도 가운데 두 수는 $(7, 7)$ 로 고정되므로, 가능성을 지워 보면 중앙값이 단일한 수로 정해집니다.
4.OA.A.1 단계 3 - "평균이 중앙값의 두 배" 라는 조건을 새 평균이 가져야 할 값으로 바꿉니다.
- 새 중앙값이 $7$ 이니, 새 평균은 $2 \times 7 = 14$ 여야 합니다.
💡 "몇 배" 라는 표현을 곱셈으로 옮기는 것은 4학년 "곱셈식을 비교로 해석" 그 자체입니다.
6.SP.B.5 단계 4 - 평균의 정의로 식을 세웁니다.
- 여섯 수의 합은 $50 + N$ 이므로 새 평균은 $(50 + N) / 6$ 이고, 이 값이 $14$ 와 같아야 합니다.
- 양변에 $6$ 을 곱해 정리하면 $50 + N = 84$ 가 됩니다.
- 보기 $N \in \{7, 14, 20, 28, 34\}$ 을 직접 대입해 확인해도 좋습니다.
💡 각 보기를 "합 $\div$ 개수" 공식에 직접 넣어 보는 것은 6학년 "평균으로 자료 집합을 요약" 의 핵심 기술입니다.
4.OA.A.3 단계 5 - $50$ 을 양변에서 빼서 $N$ 을 구합니다.
- $N = 34$ 만이 새 평균을 정확히 $14$ 로 만들고, 나머지 보기 $7, 14, 20, 28$ 은 평균이 각각 $\tfrac{57}{6}, \tfrac{64}{6}, \tfrac{70}{6}, \tfrac{78}{6}$ 으로 $14$ 와 맞지 않습니다.
💡 여러 단계의 문장제 속 한 번의 뺄셈으로 결론을 내는 것은 4학년 "사칙연산 활용 다단계 문장제" 범위입니다.
3.NBT.A.2 원래 목록을 오름차순으로 두고 합을 먼저 구합니다. $2, 6, 7, 7, 28$ 은 이미 정렬되어 있고, 합은 $2 + 6 + 7 + 7 + 6.SP.A.3 여섯 수 목록의 새 중앙값을 찾습니다. 모든 보기가 $N \geq 7$ 이므로, $N$ 을 정렬된 목록에 끼워 넣어도 앞 네 자리는 $2, 6, 4.OA.A.1 "평균이 중앙값의 두 배" 라는 조건을 새 평균이 가져야 할 값으로 바꿉니다. 새 중앙값이 $7$ 이니, 새 평균은 $2 \times 7 = 1 6.SP.B.5 평균의 정의로 식을 세웁니다. 여섯 수의 합은 $50 + N$ 이므로 새 평균은 $(50 + N) / 6$ 이고, 이 값이 $14$ 와 같아야 4.OA.A.3 $50$ 을 양변에서 빼서 $N$ 을 구합니다. $N = 34$ 만이 새 평균을 정확히 $14$ 로 만들고, 나머지 보기 $7, 14, 20, 검토
합리성 확인: 검산: $N = 34$ 이면 새 목록은 $2, 6, 7, 7, 28, 34$. 가운데 두 수는 그대로 $7, 7$ 이라 중앙값은 $7$, 합은 $50 + 34 = 84$, 평균은 $84 / 6 = 14$, 그리고 $14 = 2 \times 7$ — 조건이 모두 맞습니다. 또 $34$ 가 보기 중 가장 큰 값이라는 점도 자연스러운데, 평균을 중앙값($7$) 의 두 배까지 끌어올리려면 $7$ 보다 훨씬 큰 수가 필요하기 때문입니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 한 줄에 풀 수도 있습니다. 원래 합 $S = 50$, 새 중앙값은 모든 보기에서 $7$ 로 고정이므로 $\tfrac{S + N}{6} = 2 \cdot 7$ 에서 $N = 84 - 50 = 34$. 위에서는 "보기를 하나씩 넣어 본다" 라는 5학년 본능에 더 가까운 도구 #3 + #6 방식을 보였습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.NBT.A.21000 이내 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (원래 다섯 수의 합 $2 + 6 + 7 + 7 + 28 = 50$ 과 마지막의 $84 - 50 = 34$ 를 계산하는 데 사용.)4.OA.A.1곱셈식을 비교 관계로 해석 ("평균이 중앙값의 두 배" 라는 문장을 $\text{평균} = 2 \times \text{중앙값}$ 의 곱셈 비교로 옮기는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 활용한 자연수 다단계 문장제 해결 (조건을 덧셈·곱셈·뺄셈의 흐름으로 엮어 $50 + N = 84$ 한 식으로 정리하고 $N$ 을 구하는 데 사용.)6.SP.A.3중심 경향을 자료 전체를 요약하는 하나의 수로 인식 (여섯 수 목록의 중앙값을 하나의 고정값 ($= 7$) 으로 보고, 평균 조건이 이 값과 맞아야 함을 다루는 데 사용.)6.SP.B.5관측 횟수와 중심 경향 값으로 자료 집합을 요약 (새 여섯 수 목록의 평균을 $\tfrac{\text{합}}{\text{개수}} = \tfrac{50 + N}{6}$ 로 표현하고 계산하는 데 사용한, 6학년 평균 공식의 핵심.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 평균과 중앙값, 그리고 "중앙값이 7로 고정된다" 는 작은 관찰만 있으면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 평균과 중앙값, 그리고 "중앙값이 7로 고정된다" 는 작은 관찰만 있으면 풀 수 있어요!
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