AMC 8 · 2025 · #18

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlessimilar-figuresarea-trianglesperfect-squares easier-related-problemidentify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesarea-triangleslinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림에서 왼쪽 원의 반지름은 $1$ 단위입니다. 이 원과 그 안에 내접하는 정사각형 사이의 영역이 색칠되어 있습니다. 오른쪽 원에서는, 원과 내접하는 정사각형 사이 영역의 $\frac{1}{4}$ 만 색칠되어 있습니다. 두 원에서 색칠된 부분의 넓이는 서로 같습니다. 그렇다면 오른쪽 원의 반지름 $R$ 은 몇 단위입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{2}$

(B)

(C)

$2\sqrt{2}$

(D)

(E)

$4\sqrt{2}$

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원 두 개가 있고, 각 원 안에는 네 꼭짓점이 원 위에 놓인 정사각형(내접정사각형) 이 그려져 있습니다. 왼쪽 원은 반지름이 $1$ 이고, 원 안쪽 $-$ 정사각형 바깥쪽인 "사이 영역" 전체가 색칠돼 있습니다. 오른쪽 원은 반지름이 $R$ 인데, 같은 "사이 영역" 중 $\tfrac{1}{4}$ 만 색칠돼 있습니다. 두 색칠 영역의 넓이가 같을 때, $R$ 의 값을 구하시오.

주어진 것: 왼쪽 원: 반지름 $= 1$, 내접정사각형이 들어 있음; 왼쪽 색칠 영역 $=$ (원 전체) $-$ (내접정사각형); 오른쪽 원: 반지름 $= R$, 내접정사각형이 들어 있음; 오른쪽 색칠 영역 $= \tfrac{1}{4} \times$ [(원 전체) $-$ (내접정사각형)]; 두 색칠 영역의 넓이가 같다; 선택지: (A) $\sqrt{2}$, (B) $2$, (C) $2\sqrt{2}$, (D) $4$, (E) $4\sqrt{2}$

구하는 것: 오른쪽 원의 반지름 $R$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

색칠된 "사이 영역" 자체는 다루기 어려운 모양이지만, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 (원 넓이) $-$ (내접정사각형 넓이) 의 차이로 보면 단순해집니다. 도구 #1 (그림 그리기) — 정사각형의 두 대각선을 그어 넣으면 — 정사각형이 원의 중심에서 만나는 네 개의 직각이등변삼각형으로 갈라지고, 각 삼각형의 두 변이 반지름과 같으므로 피타고라스 없이도 정사각형 넓이가 $2r^{2}$ 임을 얻습니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 의 핵심 통찰은 두 그림이 같은 모양 (닮음) 이라는 것 — 그래서 "사이 영역" 의 넓이가 두 원 모두 $(\pi - 2)r^{2}$ 의 공식을 따릅니다. 결국 문제는 $(\pi - 2)(1)^{2} = \tfrac{1}{4}(\pi - 2) R^{2}$ 를 푸는 것, 즉 $R^{2} = 4$ 로 압축됩니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

반지름이 $r$ 인 원에 내접한 정사각형의 넓이를 구합니다.
정사각형의 두 대각선을 그으면, 두 대각선은 원의 중심에서 만나며 정사각형을 네 개의 합동인 직각이등변삼각형으로 나눕니다.
이 직각이등변삼각형의 두 직각변은 모두 반지름 $r$ 입니다.

$$\text{정사각형 넓이} = 4 \times \tfrac{1}{2} \cdot r \cdot r = 2r^{2}$$

💡 정사각형을 반지름이 변인 직각삼각형 $4$ 개로 쪼개서 넓이를 구하는 것은 6학년 "다각형을 삼각형으로 쪼개 넓이 구하기" 그대로 — 피타고라스를 쓸 필요가 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

원과 내접정사각형 사이 "고리 모양" 영역의 넓이를 식으로 씁니다.
(원 넓이) $-$ (정사각형 넓이) 입니다.
반지름을 $r$ 로 두면:

$$\text{사이 영역 넓이}(r) = \pi r^{2} - 2r^{2} = (\pi - 2)\, r^{2}$$

💡 사이 영역은 표준 도형은 아니지만, 7학년 원 넓이 공식 $\pi r^{2}$ 에서 정사각형 넓이를 빼는 한 줄로 깔끔하게 표현됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.B.4 단계 3

이 공식을 두 그림에 각각 적용합니다.
왼쪽 그림은 사이 영역 "전체" 가 색칠 (반지름 $1$), 오른쪽 그림은 사이 영역의 "$\tfrac{1}{4}$" 만 색칠 (반지름 $R$) 입니다.

$$\text{왼쪽 색칠} = (\pi - 2)(1)^{2} = \pi - 2 \qquad \text{오른쪽 색칠} = \tfrac{1}{4}(\pi - 2)\, R^{2}$$

💡 두 원은 모양이 같고 크기만 다른 "닮음" 이므로, 사이 영역 공식 $(\pi - 2)r^{2}$ 가 두 원에 모두 적용됩니다 — 넓이가 $r^{2}$ 에 비례한다는 7학년 패턴입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 4

문제에서 두 색칠 영역의 넓이가 같다고 했으므로 등식을 세우고 $R$ 에 대해 풉니다.
$\pi - 2$ 는 양수 ($\pi \approx 3.14 > 2$) 이므로 양변을 $\pi - 2$ 로 나눠도 안전합니다.

$$\pi - 2 = \tfrac{1}{4}(\pi - 2)\, R^{2} \;\Rightarrow\; 1 = \tfrac{R^{2}}{4} \;\Rightarrow\; R^{2} = 4 \;\Rightarrow\; R = 2$$

💡 $1 = R^{2}/4$ 까지 정리하면 $R$ 을 구하는 일은 6학년 "한 단계 방정식 풀기" 그대로입니다 ($R$ 이 양수이므로 양의 제곱근만 선택).

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 5

$R = 2$ 를 선택지와 맞춰 봅니다.
답은 (B) 입니다.

$$R = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 방정식의 해를 선택지에서 찾아 마무리하는 객관식 문제의 마지막 단계입니다.

[1] #1 6.G.A.1 반지름이 $r$ 인 원에 내접한 정사각형의 넓이를 구합니다. 정사각형의 두 대각선을 그으면, 두 대각선은 원의 중심에서 만나며 정사각형을 네 개

[2] #7 7.G.B.4 원과 내접정사각형 사이 "고리 모양" 영역의 넓이를 식으로 씁니다. (원 넓이) $-$ (정사각형 넓이) 입니다. 반지름을 $r$ 로 두면:

[3] #9 7.G.B.4 이 공식을 두 그림에 각각 적용합니다. 왼쪽 그림은 사이 영역 "전체" 가 색칠 (반지름 $1$), 오른쪽 그림은 사이 영역의 "$\tfrac{

[4] #7 6.EE.B.7 문제에서 두 색칠 영역의 넓이가 같다고 했으므로 등식을 세우고 $R$ 에 대해 풉니다. $\pi - 2$ 는 양수 ($\pi \approx 3.

[5] #7 6.EE.B.7 $R = 2$ 를 선택지와 맞춰 봅니다. 답은 (B) 입니다.

검토

합리성 확인: 직관 확인: 오른쪽은 사이 영역의 $\tfrac{1}{4}$ 만 색칠되므로, 사이 영역 자체는 왼쪽보다 $4$ 배 더 커야 합니다. 그런데 원의 넓이는 반지름의 제곱에 비례하므로 반지름은 $\sqrt{4} = 2$ 배만 커지면 충분 — $4$ 배가 아닙니다. 이 점에서 (D) $4$ 와 (E) $4\sqrt{2}$ 는 즉시 탈락하고, 답 (B) $2$ 와 정확히 맞아떨어집니다. 수치 확인: 왼쪽 색칠 $= \pi - 2 \approx 1.14$, 오른쪽 색칠 $= \tfrac{1}{4}(\pi - 2)(2)^{2} = \pi - 2 \approx 1.14$ 로 일치합니다.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 를 끝까지 밀어붙여 대수 없이 풀기: 두 그림은 닮음이므로 (배율 $R$), 오른쪽 사이 영역 전체는 왼쪽보다 $R^{2}$ 배 큽니다. 그 중 $\tfrac{1}{4}$ 만 색칠하므로 오른쪽 색칠 넓이는 왼쪽의 $\tfrac{R^{2}}{4}$ 배. 이 비율이 $1$ 이 되려면 $R^{2} = 4$, 즉 $R = 2$ — $\pi - 2$ 의 값은 계산할 필요조차 없습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.G.A.1 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 분할·합성으로 구하기 (내접정사각형을 변이 반지름인 직각이등변삼각형 $4$ 개로 쪼개서 넓이 $2r^{2}$ 를 피타고라스 없이 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 이해 (두 원의 넓이를 $\pi r^{2}$ 로 쓰고, 사이 영역 넓이를 $(\pi - 2)r^{2}$ 로 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 푸는 실생활 문제 해결 ($\pi - 2 = \tfrac{1}{4}(\pi - 2)R^{2}$ 를 풀어 양의 해 $R = 2$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "원의 넓이는 $\pi r^{2}$" 와 "도형을 닮음으로 키우면 넓이는 배율의 제곱만큼 커진다" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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