AMC 8 · 2025 · #23
학년 5 number-theory문제
다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 네 자리 수는 몇 개입니까?
(I) 십의 자리와 일의 자리 숫자가 모두 9이다.
(II) 어떤 완전제곱수보다 1 작은 수이다.
(III) 정확히 두 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 수이다.
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1000$ 부터 $9999$ 까지의 네 자리 자연수 $N$ 중에서 다음 세 조건을 동시에 만족하는 수가 몇 개인지 구하는 문제입니다. (I) $N$ 의 십의 자리와 일의 자리가 모두 $9$, (II) $N + 1$ 이 완전제곱수, (III) $N$ 을 소인수분해하면 정확히 두 소수의 곱이다.
주어진 것: $N$ 은 네 자리 수이므로 $1000 \le N \le 9999$; $N$ 의 십의 자리와 일의 자리가 모두 $9$ — 즉 $N$ 은 $99$ 로 끝남; 어떤 자연수 $k$ 에 대해 $N = k^{2} - 1$; $N = p \times q$ (단, $p$, $q$ 는 소수) — 중복을 포함해 정확히 두 개의 소인수만 가짐; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
구하는 것: 세 조건을 모두 만족하는 네 자리 수 $N$ 의 개수
이해
문제 재정리: $1000$ 부터 $9999$ 까지의 네 자리 자연수 $N$ 중에서 다음 세 조건을 동시에 만족하는 수가 몇 개인지 구하는 문제입니다. (I) $N$ 의 십의 자리와 일의 자리가 모두 $9$, (II) $N + 1$ 이 완전제곱수, (III) $N$ 을 소인수분해하면 정확히 두 소수의 곱이다.
주어진 것: $N$ 은 네 자리 수이므로 $1000 \le N \le 9999$; $N$ 의 십의 자리와 일의 자리가 모두 $9$ — 즉 $N$ 은 $99$ 로 끝남; 어떤 자연수 $k$ 에 대해 $N = k^{2} - 1$; $N = p \times q$ (단, $p$, $q$ 는 소수) — 중복을 포함해 정확히 두 개의 소인수만 가짐; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
조건 (I) 과 (II) 를 합치는 작은 문제가 핵심입니다 — $N$ 이 $99$ 로 끝나면 $N + 1 = k^{2}$ 은 $00$ 으로 끝나야 하므로 $k$ 가 $10$ 의 배수로 강제됩니다 (도구 #7: 작은 문제로 쪼개기). 그러면 수천 개 후보가 단 일곱 개의 $k$ 값 $40, 50, \ldots, 100$ 으로 줄어드는데, 이 후보들을 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 순서대로 적어 봅니다. 조건 (III) 검사는 $k^{2} - 1 = (k-1)(k+1)$ 라는 인수분해를 이용 — $k-1$ 과 $k+1$ 이 둘 다 소수여야 한다는 깔끔한 기준이 나오므로 도구 #3(가능성 지우기) 으로 합성수가 나오는 $k$ 를 차례차례 지웁니다. 곱셈과 소수 판정 외에 대수는 전혀 필요하지 않습니다.
실행 — 정답: B
5.NBT.A.2 단계 1 - 조건 (I) 과 (II) 를 합쳐 봅니다.
- "$99$ 로 끝난다" 는 말은 $N + 1$ 이 $00$ 으로 끝난다, 즉 $N + 1$ 이 $100$ 의 배수라는 뜻입니다.
- 그런데 $N + 1 = k^{2}$ 이므로 완전제곱수 $k^{2}$ 이 $00$ 으로 끝나야 하고, 어떤 수의 제곱이 $00$ 으로 끝나려면 그 수가 $0$ 으로 끝나야만 합니다.
- 따라서 $k$ 는 $10$ 의 배수입니다.
💡 끝자리 $0$ 의 개수에 관한 자릿값 패턴은 5학년 표준 — $00$ 으로 끝나는 제곱수는 $0$ 으로 끝나는 수에서만 나옵니다.
5.NBT.B.5 단계 2 - 네 자리 조건으로 $k$ 의 범위를 좁힙니다.
- $1000 \le N \le 9999$ 에서 $1001 \le k^{2} \le 10000$.
- 여기에 $k = 10m$ 을 더하면 후보는 $k = 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100$ 일곱 개뿐입니다 ($30^{2} = 900$ 은 너무 작고, $110^{2} = 12100$ 은 너무 큼).
💡 $40^{2}, 50^{2}, \ldots$ 같은 여러 자릿수 곱셈은 5학년 유창성 표준으로 후보 범위 확인에 충분합니다.
4.OA.B.4 단계 3 - $k^{2} - 1 = (k-1)(k+1)$ 이라는 합·차의 곱 형태로 분해합니다 (직접 전개해 보면 바로 확인됩니다).
- 이것이 결정적 관찰입니다 — $N$ 은 이미 $(k-1)$ 과 $(k+1)$ 의 곱이므로, $N$ 이 정확히 두 소수의 곱이 되려면 $k-1$ 과 $k+1$ 이 모두 소수여야만 합니다.
- 둘 중 하나라도 합성수면 그 안에서 또 다른 소인수가 튀어나오기 때문입니다.
💡 $(k-1)(k+1) = k^{2}-1$ 확인은 단순 곱셈이고, "소수인가?" 판정은 4학년 소수·합성수 표준 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 4 - 이제 일곱 개 후보를 차례로 점검해 $k-1$ 이나 $k+1$ 이 합성수인 경우를 지웁니다.
- 살아남는 것은 $k = 60$ 단 하나뿐 — $59$ 와 $61$ 이 모두 소수(쌍둥이 소수)이기 때문입니다.
- 이때 $N = 59 \times 61 = 3599$.
💡 각 $k-1$, $k+1$ 을 시험 나눗셈으로 소수 판정하는 것은 4학년 "소수·합성수 판별" 작업 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 5 - 세 조건을 모두 만족하는 네 자리 수는 $N = 3599 = 59 \times 61$ 단 하나입니다.
- 따라서 답은 $1$ 개, 선택지 (B).
💡 체계적 목록에서 살아남은 후보의 수를 세는 것은 4학년 수준의 셈입니다.
5.NBT.A.2 조건 (I) 과 (II) 를 합쳐 봅니다. "$99$ 로 끝난다" 는 말은 $N + 1$ 이 $00$ 으로 끝난다, 즉 $N + 1$ 이 $10 5.NBT.B.5 네 자리 조건으로 $k$ 의 범위를 좁힙니다. $1000 \le N \le 9999$ 에서 $1001 \le k^{2} \le 10000$. 여 4.OA.B.4 $k^{2} - 1 = (k-1)(k+1)$ 이라는 합·차의 곱 형태로 분해합니다 (직접 전개해 보면 바로 확인됩니다). 이것이 결정적 관찰입니 4.OA.B.4 이제 일곱 개 후보를 차례로 점검해 $k-1$ 이나 $k+1$ 이 합성수인 경우를 지웁니다. 살아남는 것은 $k = 60$ 단 하나뿐 — $59 4.OA.B.4 세 조건을 모두 만족하는 네 자리 수는 $N = 3599 = 59 \times 61$ 단 하나입니다. 따라서 답은 $1$ 개, 선택지 (B). 검토
합리성 확인: 유일한 정답 $3599$ 를 다시 점검해 봅니다 — $99$ 로 끝나고 (조건 I), $3599 + 1 = 3600 = 60^{2}$ 으로 완전제곱수보다 $1$ 작으며 (조건 II), $3599 = 59 \times 61$ 로 두 소수의 곱입니다 (조건 III). 세 조건 모두 통과. 또 답이 $1$ 인 것도 자연스럽습니다 — 쌍둥이 소수는 큰 수로 갈수록 드물게 나타나므로 좁은 구간에서 하나만 발견되는 것은 전형적인 결과이지 의심할 일이 아닙니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 접근하기. $(k-1)(k+1)$ 분해를 알아채지 못했다면, 일곱 개 후보 $N = 1599, 2499, 3599, 4899, 6399, 8099, 9999$ 를 직접 적은 뒤 $\sqrt{N} \approx 100$ 까지 시험 나눗셈으로 소인수분해해도 됩니다. 계산은 더 많지만, 도구 #3 으로 소인수가 셋 이상 나오는 후보를 차례로 지워 가면 결국 $3599 = 59 \times 61$ 만 남는 같은 결론에 도달합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.NBT.A.2끝자리 $0$ 의 개수 및 소수점 위치 패턴 설명 (완전제곱수가 $00$ 으로 끝나려면 그 밑의 수가 $0$ 으로 끝나야 한다는 것 — 즉 $k$ 가 $10$ 의 배수임을 끌어내는 데 사용.)5.NBT.B.5여러 자릿수 자연수의 유창한 곱셈 ($40^{2}, 50^{2}, \ldots, 100^{2}$ 을 계산해 $N = k^{2} - 1$ 이 네 자리 범위 안에 들어오는 $k$ 후보를 확정.)4.OA.B.4약수 쌍 찾기·배수 인식·소수와 합성수 판별 (각 후보 $k$ 에 대해 $k-1$ 과 $k+1$ 이 소수인지(쌍둥이 소수인지) 검사 — $N = (k-1)(k+1)$ 이 정확히 두 소수의 곱이 되는 것은 두 인수가 모두 소수일 때뿐이기 때문.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 자릿값·끝자리 $0$ 의 패턴과 4학년 때 배운 "소수·합성수 판별" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 자릿값·끝자리 $0$ 의 패턴과 4학년 때 배운 "소수·합성수 판별" 만 알면 풀 수 있어요!
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