AMC 8 · 2025 · #9
학년 6 arithmetic문제
닝리는 시계판에서 서로 정반대 쪽에 있는 숫자들로 이루어진 6개의 쌍을 살펴봅니다. 그녀는 각 쌍의 두 수의 평균을 구합니다. 이렇게 얻은 6개의 수의 평균은 얼마입니까?
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1$ 부터 $12$ 까지 숫자가 적힌 보통의 시계판에서, 닝리는 서로 정반대(시계 중심을 기준으로 마주 보는) 위치에 있는 두 수를 한 쌍씩 묶어 $6$ 쌍을 만듭니다. 각 쌍마다 두 수의 평균을 구해 새로운 수 $6$ 개를 얻고, 이렇게 얻은 $6$ 개의 평균의 평균을 구하는 문제입니다.
주어진 것: 시계판에는 $1, 2, 3, \dots, 12$ 의 숫자가 적혀 있다; 정반대 위치에 있는 두 수가 정확히 $6$ 쌍 존재한다 (각 수는 $6$ 칸 떨어진 수와 짝지어진다); 한 쌍 $(a, b)$ 의 평균은 $\dfrac{a + b}{2}$ 이다; 선택지: (A) $5$, (B) $6.5$, (C) $8$, (D) $9.5$, (E) $12$
구하는 것: $6$ 개 쌍의 평균값들로 만든 새로운 $6$ 개 수의 평균
이해
문제 재정리: $1$ 부터 $12$ 까지 숫자가 적힌 보통의 시계판에서, 닝리는 서로 정반대(시계 중심을 기준으로 마주 보는) 위치에 있는 두 수를 한 쌍씩 묶어 $6$ 쌍을 만듭니다. 각 쌍마다 두 수의 평균을 구해 새로운 수 $6$ 개를 얻고, 이렇게 얻은 $6$ 개의 평균의 평균을 구하는 문제입니다.
주어진 것: 시계판에는 $1, 2, 3, \dots, 12$ 의 숫자가 적혀 있다; 정반대 위치에 있는 두 수가 정확히 $6$ 쌍 존재한다 (각 수는 $6$ 칸 떨어진 수와 짝지어진다); 한 쌍 $(a, b)$ 의 평균은 $\dfrac{a + b}{2}$ 이다; 선택지: (A) $5$, (B) $6.5$, (C) $8$, (D) $9.5$, (E) $12$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #1 그림 그리기
쌍이 $6$ 개뿐이므로 가장 직접적인 길은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)입니다 — $(1,7), (2,8), \dots, (6,12)$ 처럼 순서대로 적고, 각 쌍의 평균을 구한 뒤, 그 $6$ 개 수의 평균을 다시 구하면 끝납니다. 나열을 끝내고 보면 평균값이 $4, 5, 6, 7, 8, 9$ 라는 깔끔한 "연속 정수" 가 나타나므로 도구 #5(패턴 찾기)로 "등간격으로 늘어선 수의 평균은 한가운데 값" 이라는 사실을 그대로 활용할 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 시계판을 직접 그려 마주 보는 쌍을 시각적으로 확인하는 데 도움이 되어 보조로 둡니다.
실행 — 정답: B
4.OA.C.5 단계 1 - 시계의 정반대 쌍 $6$ 개를 빠짐없이 나열합니다.
- "정반대" 는 시계 위에서 $6$ 칸 떨어진 위치를 뜻하므로, $1$ 부터 $6$ 까지의 각 수 $k$ 를 $k+6$ 과 짝지으면 됩니다.
💡 "$k$ 는 $k+6$ 과 짝" 이라는 규칙을 따라 쌍을 만드는 것은 4학년 "주어진 규칙으로 수의 패턴 만들기" 그대로입니다.
3.OA.C.7 단계 2 - 각 쌍의 평균을 $\dfrac{a+b}{2}$ 로 계산합니다.
- 두 수를 더해서 $2$ 로 나눈 값을 순서대로 적습니다.
💡 각 쌍의 합이 $18$ 이하이고 $2$ 로 나누는 정도는 3학년 "$100$ 이내 곱셈·나눗셈" 으로 충분히 해낼 수 있습니다.
6.SP.B.5 단계 3 - 얻은 평균 $6$ 개 $4, 5, 6, 7, 8, 9$ 를 살펴봅니다.
- 차가 $1$ 인 연속된 정수, 즉 등차수열입니다.
- 이런 등간격 수열의 평균은 "한가운데 값", 곧 처음 값과 마지막 값의 평균과 같습니다.
💡 등간격으로 늘어선 수의 평균이 한가운데 값과 같다는 사실은 6학년 "자료의 중심값(평균)으로 자료를 요약하기" 표준에 해당합니다.
5.NF.B.3 단계 4 수학적으로도 다시 확인합니다 — $6$ 개 수를 모두 더한 뒤 $6$ 으로 나눕니다.
💡 $\tfrac{39}{6}$ 을 "$39 \div 6$" 으로 읽어 $6.5$ 로 정리하는 것은 5학년 "분수를 나눗셈으로 해석하기" 입니다.
4.OA.C.5 시계의 정반대 쌍 $6$ 개를 빠짐없이 나열합니다. "정반대" 는 시계 위에서 $6$ 칸 떨어진 위치를 뜻하므로, $1$ 부터 $6$ 까지의 각 3.OA.C.7 각 쌍의 평균을 $\dfrac{a+b}{2}$ 로 계산합니다. 두 수를 더해서 $2$ 로 나눈 값을 순서대로 적습니다. 6.SP.B.5 얻은 평균 $6$ 개 $4, 5, 6, 7, 8, 9$ 를 살펴봅니다. 차가 $1$ 인 연속된 정수, 즉 등차수열입니다. 이런 등간격 수열의 평 5.NF.B.3 수학적으로도 다시 확인합니다 — $6$ 개 수를 모두 더한 뒤 $6$ 으로 나눕니다. 검토
합리성 확인: 시계의 $1$ 부터 $12$ 까지 전체 평균은 $\dfrac{1+2+\dots+12}{12} = \dfrac{78}{12} = 6.5$ 입니다. 시계의 모든 수가 정확히 한 쌍에만 들어가고, 평균 $\tfrac{a+b}{2}$ 는 두 수에 똑같은 무게를 주므로, "$6$ 개 쌍의 평균을 다시 평균낸 값" 은 결국 "$12$ 개 수 전체의 평균" 과 같습니다. 따라서 답은 반드시 $6.5$ — 선택지 (B) 와 일치합니다. 크기도 자연스럽습니다: $6.5$ 는 $1$ 과 $12$ 의 한가운데, 균형 잡힌 평균이 와야 할 자리에 정확히 놓여 있습니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 쌍의 평균을 따로 $6$ 번 구할 필요 없이 식을 한 번에 풉시다. $\text{평균들의 평균} = \dfrac{\sum_{i=1}^{6}\frac{a_i+b_i}{2}}{6} = \dfrac{(a_1+b_1)+\dots+(a_6+b_6)}{12} = \dfrac{1+2+\dots+12}{12} = \dfrac{78}{12} = 6.5$. 두 단계의 평균이 한 번의 전체 평균으로 합쳐져, 쌍을 일일이 계산하지 않아도 됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.C.5주어진 규칙으로 수 또는 도형의 패턴 만들기 ($1$ 부터 $6$ 까지의 각 수 $k$ 를 $k+6$ 과 짝짓는 규칙으로 정반대 쌍 $6$ 개를 빠짐없이 나열.)3.OA.C.7$100$ 이내의 곱셈과 나눗셈 능숙하게 하기 (각 쌍을 더해 $2$ 로 나눠 평균 $4, 5, 6, 7, 8, 9$ 를 계산.)6.SP.B.5수치 자료를 관측 수와 중심값 등으로 요약하기 (등간격으로 늘어선 자료 $4, 5, 6, 7, 8, 9$ 의 평균이 한가운데 값 $\tfrac{4+9}{2} = 6.5$ 임을 6학년 "중심값(평균)" 개념으로 확정.)5.NF.B.3분수를 분자 $\div$ 분모의 나눗셈으로 해석하기 ($\tfrac{39}{6}$ 을 $39 \div 6 = 6.5$ 로 정리해 평균을 산술적으로 재확인.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배우는 "평균은 자료의 한가운데 값" 개념만 알면 풀 수 있어요 — 쌍의 평균이 $4, 5, 6, 7, 8, 9$ 로 줄지어 나타나는 순간, 답은 정확히 한가운데 $6.5$ 예요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배우는 "평균은 자료의 한가운데 값" 개념만 알면 풀 수 있어요 — 쌍의 평균이 $4, 5, 6, 7, 8, 9$ 로 줄지어 나타나는 순간, 답은 정확히 한가운데 $6.5$ 예요!
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