Sensim Math Original · sm-10
SM Original 학년 4 rate-ratio문제
단풍골 도서관 신간 카트에 놓인 책은 모두 문고본 아니면 양장본입니다. 오늘 아침 카트 위 문고본과 양장본의 권수의 비는 4:3 이었습니다. 하루 동안 문고본 4 권이 대출되어 카트에서 빠졌고, 기증된 양장본 6 권이 새로 카트 위에 올라갔습니다. 폐관 시각에 다시 살펴보니 문고본과 양장본의 권수의 비가 2:3 이 되어 있었습니다. 폐관 시각에 카트 위에 놓여 있는 책은 모두 몇 권입니까?
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풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 도서관 신간 카트에 문고본과 양장본이 놓여 있습니다. 아침에는 두 종류의 권수의 비가 $4 : 3$ 이었고, 하루 동안 문고본 $4$ 권이 빠지고 양장본 $6$ 권이 새로 올라간 결과 폐관 시각의 비는 $2 : 3$ 이 되었습니다. 폐관 시각에 카트 위에 있는 책의 총 권수를 구하는 문제입니다.
주어진 것: 아침의 문고본 : 양장본 $= 4 : 3$ (양장본 $3$ 권마다 문고본 $4$ 권); 낮 동안 문고본 $4$ 권이 카트에서 빠짐 $\Rightarrow$ 문고본 수가 $4$ 만큼 줄어듦; 낮 동안 양장본 $6$ 권이 카트에 새로 올라감 $\Rightarrow$ 양장본 수가 $6$ 만큼 늘어남; 폐관 시각의 문고본 : 양장본 $= 2 : 3$; 선택지: (A) 24, (B) 26, (C) 28, (D) 30, (E) 32
구하는 것: 폐관 시각에 카트 위에 있는 문고본 수와 양장본 수의 합 (총 권수)
이해
문제 재정리: 도서관 신간 카트에 문고본과 양장본이 놓여 있습니다. 아침에는 두 종류의 권수의 비가 $4 : 3$ 이었고, 하루 동안 문고본 $4$ 권이 빠지고 양장본 $6$ 권이 새로 올라간 결과 폐관 시각의 비는 $2 : 3$ 이 되었습니다. 폐관 시각에 카트 위에 있는 책의 총 권수를 구하는 문제입니다.
주어진 것: 아침의 문고본 : 양장본 $= 4 : 3$ (양장본 $3$ 권마다 문고본 $4$ 권); 낮 동안 문고본 $4$ 권이 카트에서 빠짐 $\Rightarrow$ 문고본 수가 $4$ 만큼 줄어듦; 낮 동안 양장본 $6$ 권이 카트에 새로 올라감 $\Rightarrow$ 양장본 수가 $6$ 만큼 늘어남; 폐관 시각의 문고본 : 양장본 $= 2 : 3$; 선택지: (A) 24, (B) 26, (C) 28, (D) 30, (E) 32
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
아침의 비 "$4:3$" 은 "양장본 $3$ 권마다 문고본 $4$ 권" 이라는 뜻이므로, 한 묶음의 크기 $k$ 만 정하면 아침의 두 권수 $4k,\, 3k$ 가 자동으로 정해집니다. 그래서 가장 자연스러운 풀이는 $k = 1, 2, 3, \dots$ 을 차례로 넣어 보며 폐관 시각의 비가 $2:3$ 이 되는지 확인하는 **#6 추측하고 확인하기** 입니다. 후보를 빠뜨림 없이 적기 위해 **#2 빠짐없이 나열하기** 를, 선택지 중 정답을 고르기 위해 마지막에 **#3 가능성 지우기** 를 함께 씁니다. 이 풀이는 곱셈·덧셈·뺄셈만으로 끝나서 변수나 방정식 없이 초등학생도 따라갈 수 있습니다.
실행 — 정답: D
4.OA.A.2 단계 1 - 먼저 아침의 비 "$4 : 3$" 을 친숙한 말로 바꿉니다.
- "양장본 $3$ 권당 문고본 $4$ 권" 이라는 **곱셈 비교** 입니다.
- 그래서 한 묶음 크기 $k$ 를 잡으면 아침의 권수가 자동으로 정해집니다: 문고본 $= 4k$, 양장본 $= 3k$.
- 가능한 아침 (문고본, 양장본) 쌍은 $(4, 3), (8, 6), (12, 9), (16, 12), (20, 15), \dots$ 처럼 두 수가 항상 같은 $k$ 묶음에서 나옵니다.
💡 $4 : 3$ 비를 "$4$ 의 배수" 와 "$3$ 의 배수" 두 쌍으로 만드는 일은 4학년의 곱셈 비교 단원에서 다룹니다.
2.NBT.B.5 단계 2 - 낮 동안 일어난 변화를 적용합니다.
- 문고본은 $4$ 권 줄고 양장본은 $6$ 권 늘어나므로, 아침의 쌍 $(4k,\, 3k)$ 는 폐관 시각에 $(4k - 4,\; 3k + 6)$ 으로 바뀝니다.
- 두 식 모두 $k$ 하나만으로 계산되므로 두 번째 미지수를 둘 필요가 없습니다.
💡 두 자리 수에서 $4$ 를 빼고 $6$ 을 더하는 일은 2학년의 100 이내 덧셈·뺄셈 기능입니다.
4.OA.A.2 단계 3 - 이제 $k$ 값을 작은 것부터 차례로 **추측해 확인** 합니다.
- 폐관 시각의 비가 $2 : 3$ 이 되려면 양장본이 문고본의 정확히 $1.5$ 배여야 하고, 정수끼리 비교하기 좋게 바꾸면 $3 \times (4k - 4) = 2 \times (3k + 6)$ 이 성립해야 합니다.
💡 "양장본이 문고본의 $1.5$ 배인가?" 라는 질문 자체가 4학년의 곱셈 비교 문제입니다.
3.OA.C.7 단계 4 - $k = 1, 2, 3, 4, \dots$ 를 차례로 넣고 폐관 시각 쌍과 비를 계산합니다.
- $k=1: (4,3)\to(0,9)$ — 문고본이 사라져 비가 정의되지 않으므로 건너뜀.
- $k=2: (8,6)\to(4,12)$, 비 $4 : 12 = 1 : 3$ — 양장본이 너무 많음.
- $k=3: (12,9)\to(8,15)$, 비 $8 : 15$ — 깔끔한 작은 비가 아님.
- $k=4: (16,12)\to(12,18)$, 비 $12 : 18 = 2 : 3$ — **맞음!** 문고본 대 양장본 비가 $1:3 \to 8:15 \to 2:3$ 으로 변해 갔으므로 $k=4$ 가 첫 번째이자 유일한 정수 해입니다.
💡 $4 \times 4 = 16$, $3 \times 4 = 12$ 같은 곱셈과 $12 : 18$ 을 $6$ 으로 나누어 $2 : 3$ 으로 줄이는 일은 모두 3학년의 100 이내 곱셈·나눗셈 기능입니다.
2.NBT.B.5 단계 5 - 마지막으로 문제가 묻는 "폐관 시각의 총 권수" 를 구합니다.
- 폐관 시각의 문고본 $12$ 권과 양장본 $18$ 권을 더하면 $12 + 18 = 30$.
- 선택지 $24, 26, 28, 30, 32$ 중 정확히 (D) $30$ 과 일치합니다.
- 함정도 한눈에 정리할 수 있습니다 — 아침의 총합이 $16 + 12 = 28$ 이고 낮 동안의 순변화가 $-4 + 6 = +2$ 이므로 올바른 폐관 시각 총합은 $28 + 2 = 30$.
- (A) $24 = 28 - 4$ 는 빠져나간 문고본만 반영하고 새로 들어온 양장본을 잊은 경우, (B) $26 = 28 - 2$ 는 순변화의 방향을 거꾸로 본 경우, (C) $28$ 은 아침의 총합 그대로로 낮 동안의 변화를 통째로 잊은 경우, (E) $32 = 28 + 4$ 는 빼야 할 자리에서 더하고 양장본 변화는 잊은 경우입니다.
💡 두 자리 수 $12$ 와 $18$ 을 더하는 일은 2학년의 100 이내 덧셈 기능 그대로입니다.
4.OA.A.2 먼저 아침의 비 "$4 : 3$" 을 친숙한 말로 바꿉니다. "양장본 $3$ 권당 문고본 $4$ 권" 이라는 **곱셈 비교** 입니다. 그래서 2.NBT.B.5 낮 동안 일어난 변화를 적용합니다. 문고본은 $4$ 권 줄고 양장본은 $6$ 권 늘어나므로, 아침의 쌍 $(4k,\, 3k)$ 는 폐관 시각에 4.OA.A.2 이제 $k$ 값을 작은 것부터 차례로 **추측해 확인** 합니다. 폐관 시각의 비가 $2 : 3$ 이 되려면 양장본이 문고본의 정확히 $1.5$ 3.OA.C.7 $k = 1, 2, 3, 4, \dots$ 를 차례로 넣고 폐관 시각 쌍과 비를 계산합니다. $k=1: (4,3)\to(0,9)$ — 문고본이 2.NBT.B.5 마지막으로 문제가 묻는 "폐관 시각의 총 권수" 를 구합니다. 폐관 시각의 문고본 $12$ 권과 양장본 $18$ 권을 더하면 $12 + 18 = 검토
합리성 확인: 폐관 시각의 비 $2 : 3$ 을 "문고본 $2$ 묶음, 양장본 $3$ 묶음, 합 $5$ 묶음" 으로 보면 한 묶음 크기는 $12 \div 2 = 6$ 이고 총 권수는 $5 \times 6 = 30$ 으로, 직접 더해서 얻은 $12 + 18 = 30$ 과 정확히 일치합니다. 또 변화 검산도 됩니다 — 문고본은 $16 \to 12$ 로 $4$ 권 감소 ✓, 양장본은 $12 \to 18$ 로 $6$ 권 증가 ✓. 두 변화의 합이 $-4 + 6 = +2$ 이므로 총합은 아침 $28$ 에서 폐관 시각 $30$ 으로 정확히 $2$ 만큼 늘어났고, 이는 위의 결과와 어긋남 없이 들어맞습니다.
대안 접근: 도구 #13 (대수로 바꾸기) 으로도 풀 수 있습니다. 아침의 한 묶음 크기를 $k$ 라 두면 $(P, H) = (4k,\, 3k)$ 이고 폐관 시각 쌍은 $(4k - 4,\, 3k + 6)$. 폐관 비 조건 $\frac{4k-4}{3k+6} = \frac{2}{3}$ 을 정리하면 $3(4k-4) = 2(3k+6)$, 즉 $12k - 12 = 6k + 12$ 에서 $6k = 24$, $k = 4$. 총합은 $7k + 2 = 30$ 으로 같은 답이 나옵니다. 다만 초등 단계에서는 위의 추측·확인 + 빠짐없이 나열하기 조합이 변수와 등식을 도입하지 않고 곱셈만으로 풀 수 있어 더 직관적입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.NBT.B.5100 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 (아침의 쌍에 낮 동안의 $-4 / +6$ 변화를 적용하고, 마지막에 $12 + 18 = 30$ 을 더해 총 권수를 구하는 데 사용.)3.OA.C.7100 이내의 곱셈과 나눗셈을 유창하게 한다 (아침의 쌍 $(4k, 3k)$ 를 $k = 1, 2, 3, 4$ 에 대해 계산하고, $12 : 18$ 을 $6$ 으로 나누어 $2 : 3$ 으로 줄이는 데 사용.)4.OA.A.2곱셈 비교("$\sim$의 몇 배")가 들어간 문장제를 곱셈·나눗셈으로 푼다 ("$4 : 3$" 과 "$2 : 3$" 을 곱셈 비교로 해석하여 후보 $k$ 를 등식 없이 추측·확인으로 검증하는 데 사용.)
⭐ 이 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈 비교("$\sim$의 몇 배")만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈 비교("$\sim$의 몇 배")만 알면 풀 수 있어요!
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