Sensim Math Original · sm-13

SM Original 학년 4 counting

영감을 받은 문제: AMC 8 2024 #19

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

ratio-proportionfraction-arithmeticcomplementary-counting complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

어느 도서관의 추천 책장에는 책이 정확히 $24$ 권 꽂혀 있고, 책마다 갈래(소설 또는 비소설)와 제본 형태(양장본 또는 문고본)가 함께 표시되어 있습니다. 책장에 꽂힌 책의 $\dfrac{5}{8}$ 가 소설이고, $\dfrac{3}{4}$ 가 양장본입니다. 책장에서 "소설이면서 양장본인 책"이 차지하는 비율이 가능한 가장 작은 값이 얼마인지 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$dfrac{1}{6}$

(C)

$dfrac{1}{4}$

(D)

$dfrac{3}{8}$

(E)

$dfrac{5}{12}$

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 도서관 추천 책장에 $24$ 권의 책이 꽂혀 있고, 각 책은 갈래(소설·비소설)와 제본(양장본·문고본) 두 가지로 동시에 분류되어 있어요. 전체의 $\tfrac{5}{8}$ 가 소설, $\tfrac{3}{4}$ 가 양장본일 때, "소설이면서 양장본"인 책이 $24$ 권 중 차지할 수 있는 **가장 작은 비율**을 약분된 분수로 구해 선택지에서 고르는 문제입니다.

주어진 것: 책장에 꽂힌 책의 총 수: $24$ 권; 소설책: 전체의 $\tfrac{5}{8}$, 나머지는 비소설; 양장본: 전체의 $\tfrac{3}{4}$, 나머지는 문고본; 선택지: $(A)\ 0,\ (B)\ \tfrac{1}{6},\ (C)\ \tfrac{1}{4},\ (D)\ \tfrac{3}{8},\ (E)\ \tfrac{5}{12}$

구하는 것: "소설이면서 양장본"인 책 수의 **가능한 가장 작은 값**을 $24$ 로 나눈 분수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

같은 책 묶음에 "갈래"와 "제본" 두 가지 분류가 동시에 걸려 있으므로 도구 #1로 **$2 \times 2$ 표(그림)** 를 그려 네 칸을 한눈에 보이도록 만드는 것이 자연스러운 출발점입니다. "소설·양장본 칸을 가장 **작게**"라는 요구는 정면 공략이 까다로우니, 도구 #16(관점 바꾸기)로 "소설·**문고본** 칸을 가장 **크게**"라는 더 쉬운 문제로 뒤집습니다. 이렇게 얻은 후보값을 도구 #6(추측하고 확인하기)로 표에 직접 넣어 네 칸이 모두 $0$ 이상의 정수가 되는지 점검합니다. 표·관점 바꾸기·확인만으로 풀리므로 도구 #13(대수)은 굳이 사용하지 않습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.NF.B.4 단계 1

두 분수 단서를 실제 권수로 바꿉니다.
"전체 $24$ 권의 $\tfrac{5}{8}$ 가 소설" 이라는 말은 "$24$ 권을 $8$ 묶음으로 똑같이 나눈 뒤 그중 $5$ 묶음"이라는 뜻이므로 $\tfrac{5}{8} \times 24 = 15$ 권이 소설입니다.
마찬가지로 "$\tfrac{3}{4}$ 가 양장본" 은 "$4$ 묶음 중 $3$ 묶음"이므로 $\tfrac{3}{4} \times 24 = 18$ 권이 양장본입니다.
나머지는 뺄셈으로 비소설 $24 - 15 = 9$ 권, 문고본 $24 - 18 = 6$ 권입니다.

$$\tfrac{5}{8} \times 24 = 15,\ \ 24 - 15 = 9,\ \ \tfrac{3}{4} \times 24 = 18,\ \ 24 - 18 = 6$$

💡 전체 수에 $\tfrac{5}{8}$, $\tfrac{3}{4}$ 같은 분수를 곱해 "몇 권"인지 구하는 것은 4학년 분수 × 자연수 단원에서 그대로 다루는 계산입니다.

#1 그림 그리기 1.MD.C.4 단계 2

행을 갈래, 열을 제본으로 두고 $2 \times 2$ 표를 만든 뒤 가장자리에 네 합계(소설 $15$, 비소설 $9$, 양장본 $18$, 문고본 $6$)를 적습니다.
소설·양장본 칸을 $x$ 라고 두면 같은 행·열의 합이 맞아야 하므로 나머지 세 칸은 자동으로 정해집니다: 소설·문고본 $= 15 - x$, 비소설·양장본 $= 18 - x$, 비소설·문고본 $= x - 9$ (비소설 행 합이 $9$ 이고 문고본 열 합이 $6$ 이 되도록).
표 한 장으로 "네 칸이 모두 $0$ 이상의 정수"라는 조건을 한눈에 확인할 수 있습니다.

$$\begin{array}{c|cc|c} & \text{양장본} & \text{문고본} & \text{합} \\\hline \text{소설} & x & 15-x & 15 \\ \text{비소설} & 18-x & x-9 & 9 \\\hline \text{합} & 18 & 6 & 24 \end{array}$$

💡 두 가지 분류(갈래·제본)에 따라 항목을 표의 칸으로 묶어 정리하는 일은 1학년의 "여러 분류로 자료를 정리하기" 활동과 같습니다.

#16 관점 바꾸기 2.NBT.B.5 단계 3

$x$ 를 "가장 **작게**" 만든다는 직접적인 목표를 "소설·문고본 $15 - x$ 를 가장 **크게**" 라는 쉬운 목표로 **뒤집습니다**.
소설·문고본 칸은 "문고본 총량 $6$" 과 "소설 총량 $15$" 라는 두 천장 아래에 동시에 놓이므로 어느 천장도 넘을 수 없습니다.
더 낮은 천장이 $\min(6, 15) = 6$ 이므로 소설·문고본은 최대 $6$ 입니다.
즉 $15 - x \le 6$, 따라서 $x \ge 15 - 6 = 9$.

$$\text{소설·문고본} = 15 - x \le \min(6,\ 15) = 6 \;\Longrightarrow\; x \ge 15 - 6 = 9$$

💡 "가장 작게 만들고 싶은 칸"의 짝꿍 칸을 "가장 크게 만들면 된다"로 바꿔 생각한 뒤 $15 - 6 = 9$ 같은 100 이내 뺄셈으로 답을 얻는 단계입니다.

#6 추측하고 확인하기 2.NBT.B.5 단계 4

후보 $x = 0, 1, \ldots, 9$ 를 차례로 표에 대입해 네 칸이 모두 $0$ 이상이 되는지 확인합니다.
$x < 9$ 인 경우 비소설·문고본 칸 $x - 9$ 가 음수가 되어 즉시 모순이고, 같은 말로 소설·문고본 $15 - x$ 가 문고본 총량 $6$ 을 넘어 버립니다.
따라서 $9$ 보다 작은 후보는 모두 탈락.
$x = 9$ 일 때 소설·문고본 $= 6$, 비소설·양장본 $= 9$, 비소설·문고본 $= 0$ 이 되어 네 칸이 모두 $0$ 이상의 정수이고 표가 깔끔하게 닫힙니다.

$$x = 9:\ \begin{array}{c|cc|c} & \text{양장본} & \text{문고본} & \text{합} \\\hline \text{소설} & 9 & 6 & 15 \\ \text{비소설} & 9 & 0 & 9 \\\hline \text{합} & 18 & 6 & 24 \end{array}$$

💡 후보값을 하나씩 넣어 보고 표의 뺄셈 결과가 음수가 되는지 확인하는 일은 2학년의 100 이내 뺄셈에서 다루는 활동입니다.

#1 그림 그리기 4.NF.A.1 단계 5

이제 최솟값 $9$ 권을 전체 $24$ 권으로 나누어 분수로 적습니다: $\tfrac{9}{24}$.
분자와 분모는 공약수 $3$ 을 가지므로 약분하면 $\tfrac{9}{24} = \tfrac{3}{8}$.
선택지에서 $\tfrac{3}{8}$ 은 정확히 (D)입니다.
(A) $0$ 은 $x = 0$ 을 요구하지만 위에서 $x \ge 9$ 임을 보였으니 불가능.
(B) $\tfrac{1}{6} = \tfrac{4}{24}$ 는 $x = 4 < 9$, (C) $\tfrac{1}{4} = \tfrac{6}{24}$ 는 $x = 6 < 9$ 이므로 모두 불가능.
(E) $\tfrac{5}{12} = \tfrac{10}{24}$ 는 $x = 10$ 으로 표가 닫히지만 **최솟값** 은 아니므로 정답이 아닙니다.

$$\dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $\tfrac{9}{24}$ 의 분자와 분모를 공약수 $3$ 으로 동시에 나누어 $\tfrac{3}{8}$ 로 약분하는 일은 4학년의 동치분수 개념을 그대로 쓰는 단계입니다.

[1] #1 4.NF.B.4 두 분수 단서를 실제 권수로 바꿉니다. "전체 $24$ 권의 $\tfrac{5}{8}$ 가 소설" 이라는 말은 "$24$ 권을 $8$ 묶음으로

[2] #1 1.MD.C.4 행을 갈래, 열을 제본으로 두고 $2 \times 2$ 표를 만든 뒤 가장자리에 네 합계(소설 $15$, 비소설 $9$, 양장본 $18$, 문고

[3] #16 2.NBT.B.5 $x$ 를 "가장 **작게**" 만든다는 직접적인 목표를 "소설·문고본 $15 - x$ 를 가장 **크게**" 라는 쉬운 목표로 **뒤집습니다*

[4] #6 2.NBT.B.5 후보 $x = 0, 1, \ldots, 9$ 를 차례로 표에 대입해 네 칸이 모두 $0$ 이상이 되는지 확인합니다. $x < 9$ 인 경우 비소

[5] #1 4.NF.A.1 이제 최솟값 $9$ 권을 전체 $24$ 권으로 나누어 분수로 적습니다: $\tfrac{9}{24}$. 분자와 분모는 공약수 $3$ 을 가지므로

검토

합리성 확인: $x = 9$ 표를 행·열로 다시 더해 보면 행 합 $9 + 6 = 15$ (소설), $9 + 0 = 9$ (비소설), 열 합 $9 + 9 = 18$ (양장본), $6 + 0 = 6$ (문고본) 으로 네 가장자리 수가 모두 정확히 맞습니다. 답이 $0$ 이 될 수 없는 이유도 비둘기집 직관과 일치합니다: 소설책 $15$ 권을 문고본 $6$ 권 안에 모두 숨길 수 없으므로 적어도 $15 - 6 = 9$ 권의 소설책은 어쩔 수 없이 양장본일 수밖에 없습니다. 분수로는 $\tfrac{3}{8} = 0.375$ 이고, 이는 $\tfrac{1}{4} = 0.25$ 와 $\tfrac{5}{12} \approx 0.417$ 사이의 적당한 위치에 놓여 "가장 작은 가능한 값"의 후보로 합리적입니다.

대안 접근: 도구 #12(벤 다이어그램)을 써도 같은 답이 나옵니다. 전체 $24$ 권을 우주로 두고 "소설" 원과 "양장본" 원을 겹쳐 그려 교집합을 $x$ 라 하면, 소설 전용 = $15 - x$, 양장본 전용 = $18 - x$, 그리고 두 원 바깥 영역(비소설·문고본) = $24 - (15 + 18 - x) = x - 9 \ge 0$ 에서 곧장 $x \ge 9$ 가 나옵니다. 같은 답 $\tfrac{9}{24} = \tfrac{3}{8}$ 을 포함·배제의 그림으로 한 번 더 확인할 수 있어 좋은 검산입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

1.MD.C.4 최대 세 가지 분류로 자료를 정리·표현·해석한다 (책을 "갈래 × 제본"의 두 가지 분류로 묶어 $2 \times 2$ 표의 네 칸으로 정리하는 데 사용.)
2.NBT.B.5 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 ($24 - 15 = 9,\ 24 - 18 = 6,\ 15 - 6 = 9$ 같은 표 칸 채우기와 후보 $x$ 별 가능성 확인에 사용.)
4.NF.A.1 두 분수가 동치임을 설명한다 ($\tfrac{9}{24}$ 의 분자와 분모를 공약수 $3$ 으로 동시에 나누어 $\tfrac{3}{8}$ 로 약분하고 선택지에 맞추는 데 사용.)
4.NF.B.4 분수에 자연수를 곱해 "전체의 몇 분의 몇"이 몇 개인지 구한다 ($\tfrac{5}{8} \times 24 = 15$ 권의 소설과 $\tfrac{3}{4} \times 24 = 18$ 권의 양장본을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 문제는 사실 4학년 때 배운 "전체의 몇 분의 몇 구하기"와 2×2 표 정리만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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