AMC 10 · 2019 · #1
쉬운 모드 학년 5문제
통이 두 개 있다고 생각해봅시다. 첫 번째 통은 물이 65 만큼 차 있어요. 두 번째 통은 비어 있어요.
Alicia 가 첫 번째 통의 물을 모두 두 번째 통에 부었어요. 다 붓고 나니 두 번째 통은 물이 43 만큼 찼습니다.
같은 양의 물이 첫 번째 통에서는 65 을 채웠고, 두 번째 통에서는 43 을 채운 거예요.
첫 번째 통의 부피와 두 번째 통의 부피의 비는 얼마일까요?
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AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Alicia 에게 두 개의 통이 있습니다. 첫 번째 통은 처음에 물이 $\tfrac{5}{6}$ 차 있었고 두 번째 통은 비어 있었습니다. 첫 번째 통의 물을 모두 두 번째 통에 부었더니 두 번째 통이 $\tfrac{3}{4}$ 차게 되었습니다. 첫 번째 통의 부피와 두 번째 통의 부피의 비를 구하세요.
주어진 것: 첫 번째 통의 물은 그 통의 $\tfrac{5}{6}$ 만큼 차지함; 부은 후, 같은 물이 두 번째 통의 $\tfrac{3}{4}$ 만큼 차지함; 선택지: (A) $\tfrac{5}{8}$, (B) $\tfrac{4}{5}$, (C) $\tfrac{7}{8}$, (D) $\tfrac{9}{10}$, (E) $\tfrac{11}{12}$
구하는 것: 두 통의 부피 비 $\dfrac{V_1}{V_2}$
이해
문제 재정리: Alicia 에게 두 개의 통이 있습니다. 첫 번째 통은 처음에 물이 $\tfrac{5}{6}$ 차 있었고 두 번째 통은 비어 있었습니다. 첫 번째 통의 물을 모두 두 번째 통에 부었더니 두 번째 통이 $\tfrac{3}{4}$ 차게 되었습니다. 첫 번째 통의 부피와 두 번째 통의 부피의 비를 구하세요.
주어진 것: 첫 번째 통의 물은 그 통의 $\tfrac{5}{6}$ 만큼 차지함; 부은 후, 같은 물이 두 번째 통의 $\tfrac{3}{4}$ 만큼 차지함; 선택지: (A) $\tfrac{5}{8}$, (B) $\tfrac{4}{5}$, (C) $\tfrac{7}{8}$, (D) $\tfrac{9}{10}$, (E) $\tfrac{11}{12}$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기
도구 #9(더 쉬운 문제): 두 번째 통의 부피로 친근한 수를 고름 — $6$ 과 $4$ 의 최소공배수 $12$ 를 쓰면 두 분수 모두 정수가 됨. 그러면 $V_1$ 이 곧장 보임. 도구 #8(단위): 부은 물 양 $=$ 받은 물 양, 즉 $V_1 \cdot \tfrac{5}{6} = V_2 \cdot \tfrac{3}{4}$ — 양변을 비로 정리하면 답이 나옴. 도구 #3(가능성 지우기): $\tfrac{5}{6} > \tfrac{3}{4}$ 인데 같은 양의 물이 더 큰 비율로 찼으니 첫 번째 통이 더 작음 — 비는 $1$ 보다 작고, 깔끔히 맞는 분수가 (D).
실행 — 정답: D
5.NF.B.6 단계 1 - $V_2$ 에 친근한 수를 대입.
- 분모 $6$ 과 $4$ 의 최소공배수가 $12$ 이므로 $V_2 = 12$ 단위로 둠.
- 그러면 $\tfrac{3}{4}$ 의 $12$ 는 $9$ 단위 — 부은 후 두 번째 통의 물 양.
💡 통의 크기를 동그란 수로 정해 분수가 정수가 되게 함.
5.NF.B.6 단계 2 - $9$ 단위의 물은 모두 첫 번째 통에서 왔고, 거기서는 $\tfrac{5}{6}$ 찼었음.
- 즉 $\tfrac{5}{6}$ 의 $V_1$ 이 $9$.
💡 같은 물을 첫 번째 통의 관점에서 다시 잼.
5.NF.B.7 단계 3 - $\tfrac{5}{6}$ 을 되돌려 $V_1$ 을 구함 — $9$ 에 $\tfrac{6}{5}$ 를 곱함.
- $V_1 = 9 \cdot \tfrac{6}{5} = \tfrac{54}{5} = 10.8$ 단위.
💡 $\tfrac{5}{6}$ 로 나누기 $=$ $\tfrac{6}{5}$ 를 곱하기.
5.NF.A.1 단계 4 - 이제 비를 구함: $V_1 : V_2 = \tfrac{54}{5} : 12$.
- 양변에 $5$ 를 곱해 분수를 없애면 $54 : 60$, 둘 다 $6$ 으로 나누면 $9 : 10$.
- 따라서 비는 $\tfrac{9}{10}$ — 선택지 (D) 와 일치.
💡 비를 약분해 선택지와 맞춰봄.
5.NF.B.6 $V_2$ 에 친근한 수를 대입. 분모 $6$ 과 $4$ 의 최소공배수가 $12$ 이므로 $V_2 = 12$ 단위로 둠. 그러면 $\tfrac{ 5.NF.B.6 $9$ 단위의 물은 모두 첫 번째 통에서 왔고, 거기서는 $\tfrac{5}{6}$ 찼었음. 즉 $\tfrac{5}{6}$ 의 $V_1$ 이 $ 5.NF.B.7 $\tfrac{5}{6}$ 을 되돌려 $V_1$ 을 구함 — $9$ 에 $\tfrac{6}{5}$ 를 곱함. $V_1 = 9 \cdot \tfr 5.NF.A.1 이제 비를 구함: $V_1 : V_2 = \tfrac{54}{5} : 12$. 양변에 $5$ 를 곱해 분수를 없애면 $54 : 60$, 둘 다 검토
합리성 확인: 맞는지 확인: 첫 번째 통이 $\tfrac{5}{6}$ 찼을 때의 물 양 $=$ 두 번째 통이 $\tfrac{3}{4}$ 찼을 때의 물 양. $\tfrac{5}{6} > \tfrac{3}{4}$ 이므로 같은 물이 첫 번째 통에서는 더 큰 비율로 차 있음 — 즉 첫 번째 통이 더 작음. 비 $\tfrac{9}{10} < 1$ 이 맞음. 대입 검산: $V_1 = 10.8$, $\tfrac{5}{6} \cdot 10.8 = 9$; $V_2 = 12$, $\tfrac{3}{4} \cdot 12 = 9$. 양변 일치.
대안 접근: 도구 #13(대수): $\tfrac{5}{6} V_1 = \tfrac{3}{4} V_2$ 를 그대로 두고 $\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{3/4}{5/6} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$. 숫자 대입 없이 바로 답.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 (비 $\tfrac{54}{60}$ 을 공약수로 약분해 $\tfrac{9}{10}$ 로 만듦.)5.NF.B.6분수와 대분수 곱셈을 활용한 실생활 문제 (두 번째 통의 물 양 $\tfrac{3}{4} \cdot 12 = 9$ 계산.)5.NF.B.7단위분수와 자연수의 나눗셈 ($\tfrac{5}{6} \cdot V_1 = 9$ 에서 $9$ 를 $\tfrac{5}{6}$ 로 나눠 (즉 $\tfrac{6}{5}$ 곱해) $V_1$ 을 구함.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 분수 곱셈·나눗셈만 알면 풀 수 있어요 — 두 번째 통을 $12$ 단위라 두면 물은 $9$ 단위, 첫 번째 통은 $10.8$ 단위, 비는 $\tfrac{9}{10}$!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 분수 곱셈·나눗셈만 알면 풀 수 있어요 — 두 번째 통을 $12$ 단위라 두면 물은 $9$ 단위, 첫 번째 통은 $10.8$ 단위, 비는 $\tfrac{9}{10}$!
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