AMC 10 · 2020 · #2

학년 5 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

exponentsvolume-rectangular-prism identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

Carl has $5$ cubes each having side length $1$ , and Kate has $5$ cubes each having side length $2$ . What is the total volume of these $10$ cubes?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Carl 은 한 변 $1$ 인 정육면체 $5$ 개, Kate 는 한 변 $2$ 인 정육면체 $5$ 개를 가지고 있어요. $10$ 개 전체의 부피 합을 구하세요.

주어진 것: Carl 의 정육면체: 한 변 $1$, $5$ 개; Kate 의 정육면체: 한 변 $2$, $5$ 개; 한 변이 $s$ 인 정육면체의 부피는 $s \times s \times s = s^3$; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $28$, (D) $40$, (E) $45$

구하는 것: $10$ 개 정육면체의 부피 합

이해

문제 재정리: Carl 은 한 변 $1$ 인 정육면체 $5$ 개, Kate 는 한 변 $2$ 인 정육면체 $5$ 개를 가지고 있어요. $10$ 개 전체의 부피 합을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #10 직접 만져보기, #8 단위 살펴보기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 문제를 "Carl 부피 합 → Kate 부피 합 → 둘을 더하기" 의 세 단계로 나누면 각 단계가 아주 단순. 도구 #10(직접 만져보기): 한 변 $2$ 정육면체 안에 단위 정육면체가 몇 개 들어가는지 손으로 쌓아 보면 $8$ 개임이 바로 보임. 도구 #8(단위 살펴보기): 부피의 단위는 (단위)³ — 단위를 따라가면 변 길이와 부피를 헷갈리지 않음.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 5.MD.C.5 단계 1

쪼개기 1 — Carl 의 합.
한 변 $1$ 정육면체의 부피는 $1 \times 1 \times 1 = 1$.
$5$ 개이므로 $5 \times 1 = 5$.

$$5 \times (1 \times 1 \times 1) = 5 \times 1 = 5$$

💡 단위 정육면체 부피는 $1$ — 5학년 "부피와 곱셈의 관계".

#10 직접 만져보기 5.MD.C.5 단계 2

쪼개기 2 — Kate 의 합.
한 변 $2$ 정육면체의 부피는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ (단위 정육면체 $8$ 개가 $2 \times 2 \times 2$ 블록으로 쌓이는 상상).
$5$ 개이므로 $5 \times 8 = 40$.

$$5 \times (2 \times 2 \times 2) = 5 \times 8 = 40$$

💡 각 변을 두 배로 하면 부피는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 배 — 직접 쌓아 보면 한눈에 보임.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

두 합을 더해서 전체 부피: $5 + 40 = 45$.

$$5 + 40 = 45 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 겹치지 않는 부피는 단순히 더하면 끝 — 4학년 다단계 문제.

#8 단위 살펴보기 5.MD.C.5 단계 4

단위 점검: 변 길이가 단위라면 $s^3$ 은 (단위)³.
(단위)³ + (단위)³ = (단위)³ 이므로 $45$ 는 부피로서 단위가 맞음.

$$\text{(단위)}^3 + \text{(단위)}^3 = \text{(단위)}^3$$

💡 단위가 (단위)³ 으로 일치하면 "부피 합" 으로 자연스러움.

[1] #7 5.MD.C.5 쪼개기 1 — Carl 의 합. 한 변 $1$ 정육면체의 부피는 $1 \times 1 \times 1 = 1$. $5$ 개이므로 $5 \time

[2] #10 5.MD.C.5 쪼개기 2 — Kate 의 합. 한 변 $2$ 정육면체의 부피는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ (단위 정육면체 $8$ 개가 $2

[3] #7 4.OA.A.3 두 합을 더해서 전체 부피: $5 + 40 = 45$.

[4] #8 5.MD.C.5 단위 점검: 변 길이가 단위라면 $s^3$ 은 (단위)³. (단위)³ + (단위)³ = (단위)³ 이므로 $45$ 는 부피로서 단위가 맞음.

검토

합리성 확인: Kate 의 정육면체는 Carl 것보다 부피가 $8$ 배 — Kate 의 합 $40$ 이 Carl 의 합 $5$ 를 압도하는 게 맞음. 합 $45$ 는 선택지 중 유일하게 그 크기에 맞음, 즉 (E).

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열) — 각 정육면체의 부피를 나열: $1,1,1,1,1,8,8,8,8,8$. 곧장 합: $5 \cdot 1 + 5 \cdot 8 = 45$. 공식 없이도 똑같이 도달.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 (두 부분 합을 한 번의 덧셈 $5 + 40 = 45$ 로 결합.)
5.MD.C.5 부피를 곱셈·덧셈과 연결 (정육면체의 부피 $V = s \times s \times s$ 사용과 겹치지 않는 부피의 합산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "정육면체 부피 = 한 변 × 한 변 × 한 변" 만 알면 풀 수 있어요 — $5(1) + 5(8) = 45$ 예요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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