AMC 10 · 2020 · #6
쉬운 모드 학년 4문제
2046이나 8880 같은 네 자리 수를 떠올려 봅시다. 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리가 있어요.
다음 두 조건을 모두 만족하는 네 자리 수를 세어 보려고 합니다.
- 네 자리의 숫자가 모두 짝수입니다. (짝수 숫자는 0,2,4,6,8입니다.)
- 그 수는 5로 나누어떨어집니다.
이런 네 자리 수는 모두 몇 개일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1000$ 부터 $9999$ 까지의 네 자리 자연수 중에서 모든 자리수가 짝수이면서 $5$ 의 배수인 수는 몇 개일까요?
주어진 것: 범위: $1000 \le n \le 9999$ (정확히 네 자리); 네 자리 모두 짝수: 각 자리 $\in \{0, 2, 4, 6, 8\}$; $n$ 은 $5$ 의 배수; 선택지: (A) $80$, (B) $100$, (C) $125$, (D) $200$, (E) $500$
구하는 것: 조건을 만족하는 수의 개수
이해
문제 재정리: $1000$ 부터 $9999$ 까지의 네 자리 자연수 중에서 모든 자리수가 짝수이면서 $5$ 의 배수인 수는 몇 개일까요?
주어진 것: 범위: $1000 \le n \le 9999$ (정확히 네 자리); 네 자리 모두 짝수: 각 자리 $\in \{0, 2, 4, 6, 8\}$; $n$ 은 $5$ 의 배수; 선택지: (A) $80$, (B) $100$, (C) $125$, (D) $200$, (E) $500$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
각 자리는 서로 독립적인 선택 — 도구 #7 로 네 자리를 네 개의 작은 부분 문제로 분해. 도구 #2 로 각 자리에서 허용되는 숫자를 빠짐없이 나열, 도구 #3 으로 금지된 숫자(홀수, 천의 자리 $0$)를 제거. 마지막에 네 개의 가짓수를 곱하면 끝.
실행 — 정답: B
4.OA.B.4 단계 1 - 일의 자리부터 결정.
- $5$ 의 배수이려면 일의 자리가 $0$ 또는 $5$, 짝수이려면 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.
- 두 조건을 모두 만족하는 숫자는 $0$ 하나뿐.
💡 두 조건이 겹쳐 단 하나의 숫자만 남음.
2.NBT.A.1 단계 2 - 천의 자리 가능한 숫자 나열.
- 짝수 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ 인데 $0$ 은 맨 앞에 못 오므로 지움.
💡 네 자리 수는 맨 앞이 $0$ 이 아니어야 함.
2.NBT.A.1 단계 3 백의 자리 — 짝수면 됨, 다른 제약 없음.
💡 맨 앞이 아닌 자리에는 어떤 짝수든 가능.
2.NBT.A.1 단계 4 십의 자리도 똑같이 짝수 다섯 개 중 하나.
💡 맨 앞 제약이 없으니 다섯 개 모두 사용 가능.
3.OA.A.1 단계 5 각 자리가 독립적으로 결정되므로 곱의 법칙으로 총 가짓수를 구함.
💡 독립적인 선택은 곱셈 — 네 칸짜리 가지치기 트리.
3.OA.A.3 단계 6 $100$ 은 (B).
💡 답안에서 일치하는 보기 찾기.
4.OA.B.4 일의 자리부터 결정. $5$ 의 배수이려면 일의 자리가 $0$ 또는 $5$, 짝수이려면 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$. 두 조건을 모두 만 2.NBT.A.1 천의 자리 가능한 숫자 나열. 짝수 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ 인데 $0$ 은 맨 앞에 못 오므로 지움. 2.NBT.A.1 백의 자리 — 짝수면 됨, 다른 제약 없음. 2.NBT.A.1 십의 자리도 똑같이 짝수 다섯 개 중 하나. 3.OA.A.1 각 자리가 독립적으로 결정되므로 곱의 법칙으로 총 가짓수를 구함. 3.OA.A.3 $100$ 은 (B). 검토
합리성 확인: 크기 감각으로 확인. 제약이 없으면 네 자리 수는 $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$ 개. '모두 짝수'만 적용하면 $4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 500$ (이게 보기 E — 단, $5$ 의 배수 조건을 빠뜨림). 여기서 $5$ 의 배수 조건이 일의 자리를 다섯 가지에서 한 가지로 줄이므로 $500 / 5 = 100$. 답 $100$ 은 보기 중간에 위치하며 두 경로 모두로 확인됨.
대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제): 먼저 세 자리 버전을 풂. $100\sim999$ 중 모든 자리가 짝수이고 $5$ 의 배수인 수는 몇 개? 백: $4$, 십: $5$, 일: $1$ → $20$ 개. 네 자리로 갈 때 짝수 자리 한 칸이 더 늘어 $\times 5$, 즉 $20 \cdot 5 = 100$. 작은 경우의 패턴을 그대로 확장.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.B.4인수쌍을 찾고 배수를 인식, 소수/합성수 판별 ($5$ 의 배수 판정법 (일의 자리 $0$ 또는 $5$) 으로 일의 자리 고정.)2.NBT.A.1세 자리 수의 자릿값 (백, 십, 일) 이해 (네 자리 수를 네 개의 독립적인 자릿값 슬롯으로 보고 각 슬롯의 가능한 숫자 나열.)3.OA.A.1두 수의 곱을 묶음의 총 개수로 해석 (네 자리의 독립 가짓수 $4 \times 5 \times 5 \times 1$ 을 곱해 전체 개수 계산.)3.OA.A.3$100$ 이내 곱셈·나눗셈 응용 문제 풀기 ($4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$ 계산 후 보기와 매칭.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년에 배운 '$5$ 의 배수는 일의 자리가 $0$ 이나 $5$'와 자릿값만 알면 풀 수 있어요 — 일의 자리는 $0$ 하나, 천의 자리는 $\{2,4,6,8\}$ 네 가지, 가운데 두 자리는 짝수 다섯 가지씩, 그래서 $4 \times 5 \times 5 \times 1 = 100$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년에 배운 '$5$ 의 배수는 일의 자리가 $0$ 이나 $5$'와 자릿값만 알면 풀 수 있어요 — 일의 자리는 $0$ 하나, 천의 자리는 $\{2,4,6,8\}$ 네 가지, 가운데 두 자리는 짝수 다섯 가지씩, 그래서 $4 \times 5 \times 5 \times 1 = 100$.
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