AMC 10 · 2020 · #16

쉬운 모드 학년 5

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문제

$0$ 부터 $n$ 까지 이어진 긴 막대를 상상해 봅시다. 여기서 $n$ 은 $4$ 보다 큰 정수입니다.

Bela와 Jenn이 번갈아 가면서 이 막대 위에 점을 찍는 게임을 합니다. Bela가 먼저 시작합니다. Bela는 자신의 첫 번째 차례에 $0$ 과 $n$ 사이의 아무 점이나 찍을 수 있습니다.

그 뒤로는 다음 규칙을 지켜야 합니다. 새로 찍는 점은 이미 막대 위에 찍힌 모든 점(Bela가 찍은 점이든 Jenn이 찍은 점이든)으로부터 거리가 $1$ 보다 커야 합니다.

자기 차례에 새 점을 더 이상 찍을 수 없는 사람이 집니다.

두 사람이 모두 최선의 전략으로 게임을 한다면 누가 이길까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Bela will always win.

(B)

Jenn will always win.

(C)

Bela will win if and only if $n$ is odd.

(D)

Jenn will win if and only if $n$ is odd.

(E)

Jenn will win if and only if $n>8$.

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Bela 와 Jenn 이 실수 구간 $[0, n]$ 위에서 번갈아 수를 고릅니다 ($n$ 은 $4$ 보다 큰 고정 정수). Bela 가 먼저 시작하며 첫 수는 $[0, n]$ 안의 어떤 실수든 가능. 이후 매 수는 이전에 고른 모든 수들로부터 거리가 $1$ 보다 커야 합니다. 더 이상 고를 수 없는 사람이 집니다. 최선의 전략으로 누가 이기는지 구하세요.

주어진 것: 구간 $[0, n]$ 위에서 진행 ($n$ 은 고정 정수, $n > 4$); Bela 가 먼저 두며 두 사람이 번갈아 둔다; 새로 고르는 수는 이전 모든 수들로부터 거리 $> 1$; 고를 수 없으면 패배; 선택지: (A) Bela 항상 승, (B) Jenn 항상 승, (C) Bela 승 $\iff n$ 홀수, (D) Jenn 승 $\iff n$ 홀수, (E) Jenn 승 $\iff n > 8$

구하는 것: 어느 쪽에 필승 전략이 있는지, 그리고 $n$ 에 대한 조건

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

도구 #1 (그림): 수직선 위에 $[0, n]$ 을 그리면 중점 $n/2$ 에 대한 좌우 대칭이 곧바로 보입니다. 이 대칭이 핵심 — Bela 가 정중앙을 먼저 두면 Jenn 의 모든 수에 대해 그 거울상이 Bela 에게 남아 있습니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제): $n = 5$ 와 $n = 6$ 같은 작은 경우를 수직선에서 직접 돌려보면 홀짝 상관없이 거울 전략이 통함을 확인. 도구 #3 (지우기): 선택지가 $n$ 의 홀짝으로 갈리므로 홀수·짝수 한 번씩 Bela 가 이기면 (B), (C), (D), (E) 가 모두 죽고 (A) 만 남습니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 1

수직선에 구간 $[0, n]$ 을 그리고 중점 $m = n/2$ 를 표시.
구간은 $m$ 에 대해 좌우 대칭이라 $[0, n]$ 안의 점 $x$ 는 같은 거리에 있는 거울 짝 $n - x$ 를 가집니다.

$$\text{거울}(x) = n - x,\quad x \in [0, n]$$

💡 선분에는 중앙을 지나는 대칭축이 있어 — 모든 점에 짝이 있음.

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 2

Bela 의 전략: 첫 수로 $m = n/2$ (정중앙) 를 둔다.
이후 Jenn 이 $x$ 를 둘 때마다 Bela 는 그 거울 $n - x$ 를 둔다.

$$\text{Bela 의 첫 수} = n/2;\quad \text{Jenn 의 } x \text{ 에 대해 } n - x$$

💡 대칭의 중심을 먼저 차지하고, 그 다음엔 상대 수를 중앙 기준으로 복사.

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 3

Bela 의 거울 수가 항상 합법인 이유.
Bela 의 매 수 직후, 금지 영역 (지금까지의 수들로부터 거리 $\le 1$ 인 곳) 은 $m$ 에 대해 대칭입니다 — 중앙 수는 자기 자신이 거울이고, Jenn 의 $x$ 는 Bela 의 직전 답 $n - x$ 와 짝지어집니다.
따라서 Jenn 이 방금 $x$ 를 합법적으로 두었다면 거울 $n - x$ 도 이전 모든 수들로부터 거리 $\ge 1$ (대칭성), 그리고 $x$ 와의 거리는 $|n - 2x|$ — Jenn 은 중앙 $m$ 을 이미 둘 수 없었으므로 $x \ne m$ 이라 $|n - 2x| > 1$.

$$|(n - x) - x| = |n - 2x| > 1 \;(x \ne n/2)$$

💡 들어오는 금지 영역이 대칭이면 나가는 금지 영역도 대칭 — 거울 수는 항상 합법.

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 4

결론: Jenn 에게 합법 수가 있을 때마다 Bela 에게는 그 거울이 합법 수.
따라서 먼저 막히는 쪽은 Jenn.
Bela 는 $n > 4$ 인 모든 $n$ 에서 승리 — 홀짝 조건 없음.

$$\text{Jenn 이 둔다} \Rightarrow \text{Bela 에게 거울 수가 있다} \Rightarrow \text{Bela 가 먼저 막히지 않음}$$

💡 항상 따라 둘 수 있으면 결코 먼저 막히지 않음.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.G.A.1 단계 5

작은 경우로 확인 (도구 #9).
$n = 5$: Bela 가 $2.5$.
남은 합법 영역은 $[0, 1.5) \cup (3.5, 5]$.
Jenn 이 어디를 두든 $5 - x$ 가 반대편에 합법으로 남아 결국 Jenn 이 먼저 막힘.
$n = 6$: Bela 가 $3$.
합법 영역 $[0, 2) \cup (4, 6]$ — 같은 거울 논리로 Bela 승.
홀짝 모두 성립.

$$n = 5: \text{ } 2.5 \text{ 선택};\quad n = 6: \text{ } 3 \text{ 선택}$$

💡 홀수·짝수 한 번씩 작은 경우를 돌려보면 홀짝이 무관함을 확인.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 6

선택지 지우기 (도구 #3).
$n = 5$ (홀수) 와 $n = 6$ (짝수) 모두 Bela 가 이기므로 (B) Jenn 항상 승, (D) Jenn 승 $\iff n$ 홀수, (E) Jenn 승 $\iff n > 8$ 모두 탈락.
(C) Bela 승 $\iff n$ 홀수 도 $n = 6$ 승리로 탈락.
(A) Bela 항상 승 만 남음.

$$n = 5 \to \text{Bela};\quad n = 6 \to \text{Bela} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 홀수·짝수 모두 Bela 승이면 홀짝 조건이 붙은 모든 선택지가 죽음.

[1] #1 4.G.A.3 수직선에 구간 $[0, n]$ 을 그리고 중점 $m = n/2$ 를 표시. 구간은 $m$ 에 대해 좌우 대칭이라 $[0, n]$ 안의 점 $x$

[2] #1 4.G.A.3 Bela 의 전략: 첫 수로 $m = n/2$ (정중앙) 를 둔다. 이후 Jenn 이 $x$ 를 둘 때마다 Bela 는 그 거울 $n - x$

[3] #1 5.G.A.1 Bela 의 거울 수가 항상 합법인 이유. Bela 의 매 수 직후, 금지 영역 (지금까지의 수들로부터 거리 $\le 1$ 인 곳) 은 $m$

[4] #1 4.G.A.3 결론: Jenn 에게 합법 수가 있을 때마다 Bela 에게는 그 거울이 합법 수. 따라서 먼저 막히는 쪽은 Jenn. Bela 는 $n > 4$

[5] #9 5.G.A.1 작은 경우로 확인 (도구 #9). $n = 5$: Bela 가 $2.5$. 남은 합법 영역은 $[0, 1.5) \cup (3.5, 5]$. Je

[6] #3 2.OA.C.3 선택지 지우기 (도구 #3). $n = 5$ (홀수) 와 $n = 6$ (짝수) 모두 Bela 가 이기므로 (B) Jenn 항상 승, (D) J

검토

합리성 확인: 거울 전략은 좌우 대칭 판 위의 2인 게임에서 고전적인 논법이며, 선수에게 유리합니다 — 유일한 고정점인 중앙을 차지할 수 있기 때문입니다. (A) Bela 항상 승은 "먼저 두기 + 활용 가능한 대칭 = 필승" 이라는 직관과 일치합니다.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제) 단독: $n = 5, 6, 7, 8$ 에서 정수만 둔다고 가정하고 수직선 (도구 #1) 으로 게임을 직접 돌립니다. 모든 경우에 Bela 가 중앙 (또는 그 근방) 부터 시작해 거울 전략으로 승리. 홀짝 예외 없이 네 케이스 확인 → (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

2.OA.C.3 수의 묶음이 홀수인지 짝수인지 판단 ($n$ 의 홀짝 한 번씩 확인해 홀짝 조건이 붙은 선택지를 제거.)
4.G.A.3 이차원 도형의 대칭축 인식 (구간 $[0, n]$ 이 중점 $n/2$ 에 대해 대칭임을 인식하고 Bela 의 거울 전략을 세움.)
5.G.A.1 직교 수직선으로 좌표계 구성 (수직선 $[0, n]$ 위 거리 계산으로 거울 수가 이전 수들로부터 $> 1$ 떨어져 있음을 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 5학년 때 배운 수직선 대칭만 알면 풀 수 있어요 — Bela 가 정중앙을 먼저 두고, 그 다음엔 Jenn 의 수를 중앙 기준으로 거울처럼 따라 둡니다. 구간이 대칭이라 Jenn 의 모든 합법 수에 거울 답이 있어 Jenn 이 항상 먼저 막혀요. 답은 $\textbf{(A)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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