AMC 10 · 2020 · #16

학년 5 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Forbidden-Complement Selection

symmetry-argumentinvariant-monovariantinterval-arithmetic symmetry-argumentpattern-recognition ↑ 선수 지식: symmetry-argumentparity

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

Bela and Jenn play the following game on the closed interval $[0, n]$ of the real number line, where $n$ is a fixed integer greater than $4$ . They take turns playing, with Bela going first. At his first turn, Bela chooses any real number in the interval $[0, n]$ . Thereafter, the player whose turn it is chooses a real number that is more than one unit away from all numbers previously chosen by either player. A player unable to choose such a number loses. Using optimal strategy, which player will win the game?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Bela will always win.

(B)

Jenn will always win.

(C)

Bela will win if and only if $n$ is odd.

(D)

Jenn will win if and only if $n$ is odd.

(E)

Jenn will win if and only if $n>8$.

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Bela 와 Jenn 이 실수 구간 $[0, n]$ 위에서 번갈아 수를 고릅니다 ($n$ 은 $4$ 보다 큰 고정 정수). Bela 가 먼저 시작하며 첫 수는 $[0, n]$ 안의 어떤 실수든 가능. 이후 매 수는 이전에 고른 모든 수들로부터 거리가 $1$ 보다 커야 합니다. 더 이상 고를 수 없는 사람이 집니다. 최선의 전략으로 누가 이기는지 구하세요.

주어진 것: 구간 $[0, n]$ 위에서 진행 ($n$ 은 고정 정수, $n > 4$); Bela 가 먼저 두며 두 사람이 번갈아 둔다; 새로 고르는 수는 이전 모든 수들로부터 거리 $> 1$; 고를 수 없으면 패배; 선택지: (A) Bela 항상 승, (B) Jenn 항상 승, (C) Bela 승 $\iff n$ 홀수, (D) Jenn 승 $\iff n$ 홀수, (E) Jenn 승 $\iff n > 8$

구하는 것: 어느 쪽에 필승 전략이 있는지, 그리고 $n$ 에 대한 조건

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

도구 #1 (그림): 수직선 위에 $[0, n]$ 을 그리면 중점 $n/2$ 에 대한 좌우 대칭이 곧바로 보입니다. 이 대칭이 핵심 — Bela 가 정중앙을 먼저 두면 Jenn 의 모든 수에 대해 그 거울상이 Bela 에게 남아 있습니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제): $n = 5$ 와 $n = 6$ 같은 작은 경우를 수직선에서 직접 돌려보면 홀짝 상관없이 거울 전략이 통함을 확인. 도구 #3 (지우기): 선택지가 $n$ 의 홀짝으로 갈리므로 홀수·짝수 한 번씩 Bela 가 이기면 (B), (C), (D), (E) 가 모두 죽고 (A) 만 남습니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 1

수직선에 구간 $[0, n]$ 을 그리고 중점 $m = n/2$ 를 표시.
구간은 $m$ 에 대해 좌우 대칭이라 $[0, n]$ 안의 점 $x$ 는 같은 거리에 있는 거울 짝 $n - x$ 를 가집니다.

$$\text{거울}(x) = n - x,\quad x \in [0, n]$$

💡 선분에는 중앙을 지나는 대칭축이 있어 — 모든 점에 짝이 있음.

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 2

Bela 의 전략: 첫 수로 $m = n/2$ (정중앙) 를 둔다.
이후 Jenn 이 $x$ 를 둘 때마다 Bela 는 그 거울 $n - x$ 를 둔다.

$$\text{Bela 의 첫 수} = n/2;\quad \text{Jenn 의 } x \text{ 에 대해 } n - x$$

💡 대칭의 중심을 먼저 차지하고, 그 다음엔 상대 수를 중앙 기준으로 복사.

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 3

Bela 의 거울 수가 항상 합법인 이유.
Bela 의 매 수 직후, 금지 영역 (지금까지의 수들로부터 거리 $\le 1$ 인 곳) 은 $m$ 에 대해 대칭입니다 — 중앙 수는 자기 자신이 거울이고, Jenn 의 $x$ 는 Bela 의 직전 답 $n - x$ 와 짝지어집니다.
따라서 Jenn 이 방금 $x$ 를 합법적으로 두었다면 거울 $n - x$ 도 이전 모든 수들로부터 거리 $\ge 1$ (대칭성), 그리고 $x$ 와의 거리는 $|n - 2x|$ — Jenn 은 중앙 $m$ 을 이미 둘 수 없었으므로 $x \ne m$ 이라 $|n - 2x| > 1$.

$$|(n - x) - x| = |n - 2x| > 1 \;(x \ne n/2)$$

💡 들어오는 금지 영역이 대칭이면 나가는 금지 영역도 대칭 — 거울 수는 항상 합법.

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 4

결론: Jenn 에게 합법 수가 있을 때마다 Bela 에게는 그 거울이 합법 수.
따라서 먼저 막히는 쪽은 Jenn.
Bela 는 $n > 4$ 인 모든 $n$ 에서 승리 — 홀짝 조건 없음.

$$\text{Jenn 이 둔다} \Rightarrow \text{Bela 에게 거울 수가 있다} \Rightarrow \text{Bela 가 먼저 막히지 않음}$$

💡 항상 따라 둘 수 있으면 결코 먼저 막히지 않음.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.G.A.1 단계 5

작은 경우로 확인 (도구 #9).
$n = 5$: Bela 가 $2.5$.
남은 합법 영역은 $[0, 1.5) \cup (3.5, 5]$.
Jenn 이 어디를 두든 $5 - x$ 가 반대편에 합법으로 남아 결국 Jenn 이 먼저 막힘.
$n = 6$: Bela 가 $3$.
합법 영역 $[0, 2) \cup (4, 6]$ — 같은 거울 논리로 Bela 승.
홀짝 모두 성립.

$$n = 5: \text{ } 2.5 \text{ 선택};\quad n = 6: \text{ } 3 \text{ 선택}$$

💡 홀수·짝수 한 번씩 작은 경우를 돌려보면 홀짝이 무관함을 확인.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 6

선택지 지우기 (도구 #3).
$n = 5$ (홀수) 와 $n = 6$ (짝수) 모두 Bela 가 이기므로 (B) Jenn 항상 승, (D) Jenn 승 $\iff n$ 홀수, (E) Jenn 승 $\iff n > 8$ 모두 탈락.
(C) Bela 승 $\iff n$ 홀수 도 $n = 6$ 승리로 탈락.
(A) Bela 항상 승 만 남음.

$$n = 5 \to \text{Bela};\quad n = 6 \to \text{Bela} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 홀수·짝수 모두 Bela 승이면 홀짝 조건이 붙은 모든 선택지가 죽음.

[1] #1 4.G.A.3 수직선에 구간 $[0, n]$ 을 그리고 중점 $m = n/2$ 를 표시. 구간은 $m$ 에 대해 좌우 대칭이라 $[0, n]$ 안의 점 $x$

[2] #1 4.G.A.3 Bela 의 전략: 첫 수로 $m = n/2$ (정중앙) 를 둔다. 이후 Jenn 이 $x$ 를 둘 때마다 Bela 는 그 거울 $n - x$

[3] #1 5.G.A.1 Bela 의 거울 수가 항상 합법인 이유. Bela 의 매 수 직후, 금지 영역 (지금까지의 수들로부터 거리 $\le 1$ 인 곳) 은 $m$

[4] #1 4.G.A.3 결론: Jenn 에게 합법 수가 있을 때마다 Bela 에게는 그 거울이 합법 수. 따라서 먼저 막히는 쪽은 Jenn. Bela 는 $n > 4$

[5] #9 5.G.A.1 작은 경우로 확인 (도구 #9). $n = 5$: Bela 가 $2.5$. 남은 합법 영역은 $[0, 1.5) \cup (3.5, 5]$. Je

[6] #3 2.OA.C.3 선택지 지우기 (도구 #3). $n = 5$ (홀수) 와 $n = 6$ (짝수) 모두 Bela 가 이기므로 (B) Jenn 항상 승, (D) J

검토

합리성 확인: 거울 전략은 좌우 대칭 판 위의 2인 게임에서 고전적인 논법이며, 선수에게 유리합니다 — 유일한 고정점인 중앙을 차지할 수 있기 때문입니다. (A) Bela 항상 승은 "먼저 두기 + 활용 가능한 대칭 = 필승" 이라는 직관과 일치합니다.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제) 단독: $n = 5, 6, 7, 8$ 에서 정수만 둔다고 가정하고 수직선 (도구 #1) 으로 게임을 직접 돌립니다. 모든 경우에 Bela 가 중앙 (또는 그 근방) 부터 시작해 거울 전략으로 승리. 홀짝 예외 없이 네 케이스 확인 → (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

2.OA.C.3 수의 묶음이 홀수인지 짝수인지 판단 ($n$ 의 홀짝 한 번씩 확인해 홀짝 조건이 붙은 선택지를 제거.)
4.G.A.3 이차원 도형의 대칭축 인식 (구간 $[0, n]$ 이 중점 $n/2$ 에 대해 대칭임을 인식하고 Bela 의 거울 전략을 세움.)
5.G.A.1 직교 수직선으로 좌표계 구성 (수직선 $[0, n]$ 위 거리 계산으로 거울 수가 이전 수들로부터 $> 1$ 떨어져 있음을 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 5학년 때 배운 수직선 대칭만 알면 풀 수 있어요 — Bela 가 정중앙을 먼저 두고, 그 다음엔 Jenn 의 수를 중앙 기준으로 거울처럼 따라 둡니다. 구간이 대칭이라 Jenn 의 모든 합법 수에 거울 답이 있어 Jenn 이 항상 먼저 막혀요. 답은 $\textbf{(A)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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