AMC 10 · 2020 · #2
쉬운 모드 학년 5문제
정육면체 두 묶음을 떠올려 봅시다. Carl은 정육면체 5개를 가지고 있고, 각 정육면체의 한 변의 길이는 1입니다. Kate도 정육면체 5개를 가지고 있는데, Kate의 정육면체는 한 변의 길이가 모두 2입니다.
이 10개의 정육면체의 부피를 모두 합하면 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Carl 은 한 변 $1$ 인 정육면체 $5$ 개, Kate 는 한 변 $2$ 인 정육면체 $5$ 개를 가지고 있어요. $10$ 개 전체의 부피 합을 구하세요.
주어진 것: Carl 의 정육면체: 한 변 $1$, $5$ 개; Kate 의 정육면체: 한 변 $2$, $5$ 개; 한 변이 $s$ 인 정육면체의 부피는 $s \times s \times s = s^3$; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $28$, (D) $40$, (E) $45$
구하는 것: $10$ 개 정육면체의 부피 합
이해
문제 재정리: Carl 은 한 변 $1$ 인 정육면체 $5$ 개, Kate 는 한 변 $2$ 인 정육면체 $5$ 개를 가지고 있어요. $10$ 개 전체의 부피 합을 구하세요.
주어진 것: Carl 의 정육면체: 한 변 $1$, $5$ 개; Kate 의 정육면체: 한 변 $2$, $5$ 개; 한 변이 $s$ 인 정육면체의 부피는 $s \times s \times s = s^3$; 선택지: (A) $24$, (B) $25$, (C) $28$, (D) $40$, (E) $45$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #10 직접 만져보기, #8 단위 살펴보기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 문제를 "Carl 부피 합 → Kate 부피 합 → 둘을 더하기" 의 세 단계로 나누면 각 단계가 아주 단순. 도구 #10(직접 만져보기): 한 변 $2$ 정육면체 안에 단위 정육면체가 몇 개 들어가는지 손으로 쌓아 보면 $8$ 개임이 바로 보임. 도구 #8(단위 살펴보기): 부피의 단위는 (단위)³ — 단위를 따라가면 변 길이와 부피를 헷갈리지 않음.
실행 — 정답: E
5.MD.C.5 단계 1 - 쪼개기 1 — Carl 의 합.
- 한 변 $1$ 정육면체의 부피는 $1 \times 1 \times 1 = 1$.
- $5$ 개이므로 $5 \times 1 = 5$.
💡 단위 정육면체 부피는 $1$ — 5학년 "부피와 곱셈의 관계".
5.MD.C.5 단계 2 - 쪼개기 2 — Kate 의 합.
- 한 변 $2$ 정육면체의 부피는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ (단위 정육면체 $8$ 개가 $2 \times 2 \times 2$ 블록으로 쌓이는 상상).
- $5$ 개이므로 $5 \times 8 = 40$.
💡 각 변을 두 배로 하면 부피는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 배 — 직접 쌓아 보면 한눈에 보임.
4.OA.A.3 단계 3 두 합을 더해서 전체 부피: $5 + 40 = 45$.
💡 겹치지 않는 부피는 단순히 더하면 끝 — 4학년 다단계 문제.
5.MD.C.5 단계 4 - 단위 점검: 변 길이가 단위라면 $s^3$ 은 (단위)³.
- (단위)³ + (단위)³ = (단위)³ 이므로 $45$ 는 부피로서 단위가 맞음.
💡 단위가 (단위)³ 으로 일치하면 "부피 합" 으로 자연스러움.
5.MD.C.5 쪼개기 1 — Carl 의 합. 한 변 $1$ 정육면체의 부피는 $1 \times 1 \times 1 = 1$. $5$ 개이므로 $5 \time 5.MD.C.5 쪼개기 2 — Kate 의 합. 한 변 $2$ 정육면체의 부피는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ (단위 정육면체 $8$ 개가 $2 4.OA.A.3 두 합을 더해서 전체 부피: $5 + 40 = 45$. 5.MD.C.5 단위 점검: 변 길이가 단위라면 $s^3$ 은 (단위)³. (단위)³ + (단위)³ = (단위)³ 이므로 $45$ 는 부피로서 단위가 맞음. 검토
합리성 확인: Kate 의 정육면체는 Carl 것보다 부피가 $8$ 배 — Kate 의 합 $40$ 이 Carl 의 합 $5$ 를 압도하는 게 맞음. 합 $45$ 는 선택지 중 유일하게 그 크기에 맞음, 즉 (E).
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열) — 각 정육면체의 부피를 나열: $1,1,1,1,1,8,8,8,8,8$. 곧장 합: $5 \cdot 1 + 5 \cdot 8 = 45$. 공식 없이도 똑같이 도달.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 (두 부분 합을 한 번의 덧셈 $5 + 40 = 45$ 로 결합.)5.MD.C.5부피를 곱셈·덧셈과 연결 (정육면체의 부피 $V = s \times s \times s$ 사용과 겹치지 않는 부피의 합산.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "정육면체 부피 = 한 변 × 한 변 × 한 변" 만 알면 풀 수 있어요 — $5(1) + 5(8) = 45$ 예요!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "정육면체 부피 = 한 변 × 한 변 × 한 변" 만 알면 풀 수 있어요 — $5(1) + 5(8) = 45$ 예요!
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