AMC 10 · 2022 · #19
쉬운 모드 학년 3문제
5×5 칸의 격자판이 있다고 생각해봅시다. 각 칸은 칠해져 있거나, 비어 있거나 둘 중 하나예요.
어떤 칸이든, 그 칸과 닿아 있는 다른 칸을 "이웃"이라고 부릅니다. 모서리 한 점만 닿아 있어도 이웃이에요. 그래서 격자판 한가운데에 있는 칸은 이웃이 8개입니다.
이제 모든 칸을 동시에 다음 규칙에 따라 바꿉니다:
- 칠해진 칸은 이웃 중에 칠해진 칸이 정확히 2개 또는 3개 있을 때만 그대로 칠해진 상태로 남아요.
- 빈 칸은 이웃 중에 칠해진 칸이 정확히 3개일 때만 새로 칠해집니다.
- 그 외의 모든 칸은 비어 있는 상태가 됩니다.
이번 문제에서는 특별한 시작 모양을 정해줄게요. 5×5 격자판의 바깥 테두리는 전부 비어 있습니다. 그 안쪽 한가운데에는 3×3 칸의 작은 블록이 들어 있는데, 이 블록의 9개 칸은 각각 칠해져 있을 수도 있고 비어 있을 수도 있어요. 우리가 자유롭게 정합니다.
우리가 원하는 결과는 이겁니다: 규칙을 한 번 적용한 후에, 5×5 격자판 전체에서 칠해진 칸이 가장 한가운데 칸 딱 하나만 남는 것이요.
가운데 3×3 블록의 시작 모양을 이렇게 만들 수 있는 방법은 몇 가지일까요? (돌리거나 뒤집어서 같아 보이는 모양도 서로 다른 것으로 셉니다.)
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 테두리가 비어 있는 $5 \times 5$ Conway 식 격자에서, 한 번 변환 후 중앙 칸 하나만 채워지는 처음 상태 (안쪽 $3 \times 3$) 의 개수를 구하세요.
주어진 것: 변환 규칙: 채워진 칸은 이웃 중 채워진 칸이 $2$ 또는 $3$ 개일 때만 유지; 빈 칸은 정확히 $3$ 개일 때만 채워짐; 나머지는 모두 빈 칸; 이웃은 대각선 포함 — 한 칸 당 최대 $8$ 개; 테두리는 항상 비어 있으므로 안쪽 $9$ 칸만 채워질 수 있음; 목표: 변환 후 중앙 칸만 채워지고 나머지 $8$ 칸은 모두 빔; 선택지: (A) $14$, (B) $18$, (C) $22$, (D) $26$, (E) $30$
구하는 것: 그 한 칸 결과로 이어지는 처음 $3 \times 3$ 상태의 가짓수
이해
문제 재정리: 테두리가 비어 있는 $5 \times 5$ Conway 식 격자에서, 한 번 변환 후 중앙 칸 하나만 채워지는 처음 상태 (안쪽 $3 \times 3$) 의 개수를 구하세요.
주어진 것: 변환 규칙: 채워진 칸은 이웃 중 채워진 칸이 $2$ 또는 $3$ 개일 때만 유지; 빈 칸은 정확히 $3$ 개일 때만 채워짐; 나머지는 모두 빈 칸; 이웃은 대각선 포함 — 한 칸 당 최대 $8$ 개; 테두리는 항상 비어 있으므로 안쪽 $9$ 칸만 채워질 수 있음; 목표: 변환 후 중앙 칸만 채워지고 나머지 $8$ 칸은 모두 빔; 선택지: (A) $14$, (B) $18$, (C) $22$, (D) $26$, (E) $30$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기, #10 직접 만져보기
도구 #7 (쪼개기): 중앙 칸이 처음에 "채워짐" 인지 "비어 있음" 인지로 두 경우로 분할 — 추론 방식이 매우 다름. 중앙 채워짐: 이웃 중 $2$ 또는 $3$ 개의 주변 칸이 채워져야 하고, 모든 주변 칸은 비도록 죽거나 그대로 비어야 함. 중앙 비어 있음: 정확히 $3$ 개의 주변 채워진 칸이 있어야 하고 결과적으로 모두 비어야 함. 도구 #1 (그림): 모서리 $C$, 가장자리 $E$, 중앙 $M$ 으로 표시한 $3 \times 3$ 그림으로 이웃 관계 추적. 도구 #2 (나열): 각 경우의 조건을 갖고 작은 유한 집합을 빠짐없이 훑기. 도구 #10 (만져보기): 그래프 종이에 동전을 놓고 손으로 이웃 세기.
실행 — 정답: C
K.G.A.1 단계 1 - 안쪽 $3 \times 3$ 격자를 라벨링: 네 모서리 $C_1, C_2, C_3, C_4$, 네 가장자리 $E_N, E_S, E_E, E_W$, 중앙 $M$.
- 기억할 사실: 모서리는 주변에 이웃 $3$ 개 (가장자리 두 개 + 중앙), 가장자리는 주변 이웃 $5$ 개, 중앙은 주변 $8$ 개 모두가 이웃.
💡 $3 \times 3$ 한 번 그리고 각 위치마다 이웃 수를 세어 두기 — 모서리 (드문), 가장자리 (중간), 중앙 (전부).
1.OA.A.2 단계 2 - 경우 1: 중앙 $M$ 이 처음에 채워짐.
- $M$ 이 살아남으려면 채워진 주변 칸이 $2$ 또는 $3$ 개.
- 다른 모든 주변 칸은 비어야 하므로, 채워진 칸은 이웃 합 (중앙 $M = 1$ 포함) 이 $2$ 또는 $3$ 이 되지 말아야 하고, 빈 칸은 이웃 합이 정확히 $3$ 이 되지 말아야 함.
💡 중앙은 모든 칸의 이웃이라 독립적으로 다룰 수밖에 없음.
3.OA.D.8 단계 3 - 경우 1.1: $M$ 의 채워진 주변 정확히 $2$ 개, $P_1, P_2$.
- 각 $P_i$ 가 죽으려면 이웃 합 ($M$ 에서 $1$ + 다른 주변 채워진 이웃) $\ne 2, 3$, 즉 $P_1, P_2$ 가 서로 이웃이 아니어야 함.
- 빈 주변 칸이 $P_1, P_2$ 둘 다와 이웃이면 $1 + 2 = 3$ 으로 부활 — 금지.
- 이 조건을 만족하는 비이웃 쌍은 정반대 모서리 쌍 $\{C_1, C_3\}$, $\{C_2, C_4\}$ 두 가지뿐.
💡 정반대 모서리 쌍만 서로 비이웃이면서 공통 빈 이웃을 갖지 않음.
3.OA.D.8 단계 4 - 경우 1.2: $M$ 의 채워진 주변 $3$ 개 $P_1, P_2, P_3$.
- 각 $P_i$ 가 죽으려면 다른 주변 채워진 이웃이 $0$ 개여야 함 ($P_i$ 의 총 이웃 합 = $1 + 0 = 1$, $\ne 2, 3$).
- 세 칸이 상호 비이웃.
- 하지만 어떤 독립집합을 잡아도 두 칸과 동시에 이웃인 빈 주변 칸이 존재 — 부활.
- $0$ 가지.
💡 상호 비이웃인 세 주변 칸은 항상 "공통 이웃" 빈 칸을 만들어 그 칸이 부활.
1.OA.A.2 단계 5 경우 1 합계: $2$ 가지.
💡 정반대 모서리 쌍 둘뿐.
1.OA.A.2 단계 6 - 경우 2: $M$ 이 처음에 빔.
- $M$ 이 부활하려면 채워진 주변 정확히 $3$ 개 $P_1, P_2, P_3$.
- 각 $P_i$ 가 죽으려면 다른 채워진 주변 이웃이 $0$ 또는 $1$ 개 ($\ne 2, 3$).
- 각 빈 주변 칸의 채워진 이웃 수 $\ne 3$.
- 채워진 세 칸의 모양을 인접 그래프 차수로 분류.
💡 세 채워진 칸 중 어느 칸도 다른 둘과 동시에 이웃이 아니고, 바깥 빈 칸 중 세 칸 모두를 이웃으로 가진 칸도 없음.
3.OA.A.3 단계 7 - 모양 A — 모서리 세 개 (서로 비이웃): $\binom{4}{3} = 4$ 가지.
- 각 빈 칸이 이웃하는 채워진 칸 수는 $\le 2$.
- 유효.
- $\Rightarrow 4$ 가지.
💡 네 모서리 중 하나만 비우는 선택.
3.OA.A.3 단계 8 - 모양 B — 한 변에 있는 두 모서리 + 정반대 가장자리 (예: $C_1, C_2, E_S$).
- 서로 비이웃, 셋 모두에 이웃인 빈 칸 없음.
- 두 모서리가 어느 변에 있는지 선택 $4$ 가지.
- $\Rightarrow 4$ 가지.
💡 한 변의 양 모서리 + 그 반대편 외로운 가장자리.
3.OA.A.3 단계 9 - 모양 C — 한 모서리에서 만나는 두 가장자리 + 대각선 반대 모서리 (예: $E_N, E_W, C_3$, 두 가장자리는 모서리 $C_1$ 에서 만남, $C_1$ 은 비어 있음).
- 두 가장자리는 서로 이웃 (차수 $1$), 멀리 떨어진 $C_3$ 는 둘 모두에 비이웃.
- 모서리 $C_1$ 위치를 $4$ 곳 중에서 선택.
- $\Rightarrow 4$ 가지.
💡 한 모서리에서 만나는 두 가장자리 + 대각선 끝 모서리.
3.OA.A.3 단계 10 - 모양 D — 한 모서리 + 그에 이웃한 한 가장자리 (L 형태) + 대각선 반대 모서리 (예: $C_1, E_N, C_3$).
- $C_1$ 과 $E_N$ 은 이웃 (차수 $1$), $C_3$ 는 둘 모두에 비이웃.
- 모서리 $4$ 곳 $\times$ 이웃 가장자리 $2$ 선택 $= 8$ 가지.
💡 L 자 (모서리 + 그 옆 가장자리 하나) 를 한 모서리에 두고, 대각선 끝 모서리도 채움.
2.OA.A.1 단계 11 - 경우 2 합계: $4 + 4 + 4 + 8 = 20$.
- 경우 1 과 합쳐 총 $= 2 + 20 = 22$.
- 답 $\textbf{(C)}\ 22$.
💡 서로 배반인 두 경우를 합치기.
K.G.A.1 안쪽 $3 \times 3$ 격자를 라벨링: 네 모서리 $C_1, C_2, C_3, C_4$, 네 가장자리 $E_N, E_S, E_E, E_W$ 1.OA.A.2 경우 1: 중앙 $M$ 이 처음에 채워짐. $M$ 이 살아남으려면 채워진 주변 칸이 $2$ 또는 $3$ 개. 다른 모든 주변 칸은 비어야 하므로 3.OA.D.8 경우 1.1: $M$ 의 채워진 주변 정확히 $2$ 개, $P_1, P_2$. 각 $P_i$ 가 죽으려면 이웃 합 ($M$ 에서 $1$ + 다른 3.OA.D.8 경우 1.2: $M$ 의 채워진 주변 $3$ 개 $P_1, P_2, P_3$. 각 $P_i$ 가 죽으려면 다른 주변 채워진 이웃이 $0$ 개여야 1.OA.A.2 경우 1 합계: $2$ 가지. 1.OA.A.2 경우 2: $M$ 이 처음에 빔. $M$ 이 부활하려면 채워진 주변 정확히 $3$ 개 $P_1, P_2, P_3$. 각 $P_i$ 가 죽으려면 3.OA.A.3 모양 A — 모서리 세 개 (서로 비이웃): $\binom{4}{3} = 4$ 가지. 각 빈 칸이 이웃하는 채워진 칸 수는 $\le 2$. 유효 3.OA.A.3 모양 B — 한 변에 있는 두 모서리 + 정반대 가장자리 (예: $C_1, C_2, E_S$). 서로 비이웃, 셋 모두에 이웃인 빈 칸 없음. 3.OA.A.3 모양 C — 한 모서리에서 만나는 두 가장자리 + 대각선 반대 모서리 (예: $E_N, E_W, C_3$, 두 가장자리는 모서리 $C_1$ 에서 3.OA.A.3 모양 D — 한 모서리 + 그에 이웃한 한 가장자리 (L 형태) + 대각선 반대 모서리 (예: $C_1, E_N, C_3$). $C_1$ 과 $ 2.OA.A.1 경우 2 합계: $4 + 4 + 4 + 8 = 20$. 경우 1 과 합쳐 총 $= 2 + 20 = 22$. 답 $\textbf{(C)}\ 22$ 검토
합리성 확인: 확인: 각 모양이 회전 대칭이므로 $4$ 또는 $8$ 가지가 자연스럽고, 모양 D 만 반사 대칭이 없어 $\times 2$ 로 $8$ 가지. 경우 1 의 $2$ 는 "대각선 모서리 쌍만이 중앙 유지 + 부활 방지 조건을 둘 다 만족" 이라는 직관과 일치. 총합 $22$ 는 (C). 인접 오답 ($18, 26$) 은 모양 D 를 잘못 세거나 ($\pm 4$) 모양 C 를 빠뜨릴 때 빠지기 쉬운 함정.
대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기): $3 \times 3$ 격자에 동전 $3$ 개를 올려 보고 손으로 이웃을 세는 검증. $2^9 = 512$ 모든 초기 상태를 직접 돌릴 시간은 없지만, 채워진 칸이 $2$ 또는 $3$ 개인 상태로 줄이면 ($\binom{9}{2} + \binom{9}{3} = 36 + 84 = 120$), 한 시간 안에 전수조사 가능.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
K.G.A.1위·아래·옆 등으로 위치 기술하기 (안쪽 $3 \times 3$ 격자를 모서리·가장자리·중앙으로 라벨링하고 이웃 관계 추적.)1.OA.A.2세 수의 합이 $20$ 이내인 문장제 풀기 (채워진 이웃 수 ($1 + 2 = 3$ 등) 를 더해 생존·부활 규칙 점검.)3.OA.D.8$100$ 이내 사칙연산 두 단계 문장제 풀기 (부분 경우 조건 (비이웃, 공통 이웃 없음) 을 조합해 유효 패턴 선별.)3.OA.A.3$100$ 이내 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 (각 모양의 회전 대칭 복사본 개수를 기본 구성 $\times$ 회전수로 계산.)2.OA.A.1$100$ 이내 한·두 단계 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 (부분 합 $2 + 4 + 4 + 4 + 8 = 22$ 합산.)
⭐ 중앙이 처음에 어떤 상태인지로 쪼개기. 중앙 채워짐: 정반대 모서리 쌍 두 개만 ($2$ 가지). 중앙 빔: 채워진 주변 $3$ 개가 네 모양 중 하나 ($4 + 4 + 4 + 8 = 20$ 가지). 총 $22$, 답 $\textbf{(C)}$.
⭐ 중앙이 처음에 어떤 상태인지로 쪼개기. 중앙 채워짐: 정반대 모서리 쌍 두 개만 ($2$ 가지). 중앙 빔: 채워진 주변 $3$ 개가 네 모양 중 하나 ($4 + 4 + 4 + 8 = 20$ 가지). 총 $22$, 답 $\textbf{(C)}$.
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