AMC 8 · 1999 · #17

쉬운 모드 학년 5

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문제

Central 중학교에서 AMC 8 시험을 보는 학생 $108$ 명이 저녁에 모임을 가져요. 학생 한 명당 평균 $2$ 개의 쿠키를 먹어요.

Walter와 Gretel이 쿠키를 굽기로 했어요. 두 사람의 레시피로는 한 판에 쿠키 $15$ 개가 나오고, 한 판을 만들려면 달걀 $2$ 개가 필요해요.

레시피는 통째로만 사용할 수 있어요. 반판만 만들 수는 없어요. 그래서 모든 학생이 $2$ 개씩 먹을 수 있을 만큼 충분한 판 수를 구워야 해요. (쿠키가 남는 건 괜찮아요.)

Walter는 달걀을 반다스 단위로만 살 수 있어요. 반다스는 달걀 $6$ 개를 뜻해요.

Walter는 달걀을 몇 반다스 사야 할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 학생 $108$ 명이 평균 $2$ 개씩 쿠키를 먹습니다. 쿠키 레시피는 한 판에 $15$ 개를 만들고 달걀 $2$ 개를 씁니다. 부분 레시피는 안 되고, 달걀은 반-다스(half-dozen, $6$ 개) 단위로만 살 수 있습니다. 모두에게 충분한 쿠키를 만들려면 Walter 는 반-다스를 최소 몇 개 사야 할까요?

주어진 것: 학생 수 $= 108$ 명, 평균 한 명당 쿠키 $= 2$ 개; 한 판 $= 쿠키 $15$ 개 + 달걀 $2$ 개; 부분 레시피는 안 됨 — 판 수는 자연수, 모자라면 올림; 달걀은 반-다스 단위로 판매(반-다스 $= 6$ 개); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $15$

구하는 것: Walter 가 사야 할 반-다스의 최소 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

"반-다스 몇 개?" 한 문장 뒤에 작은 단계 네 개가 숨어 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 한 단계씩 따라갑니다 — 필요한 쿠키 $\to$ 필요한 판 $\to$ 필요한 달걀 $\to$ 필요한 반-다스. 도구 #8(단위 살펴보기) 가 자연스럽게 짝을 이룹니다. 레시피가 변환 비율을 알려 주니까요($15 \text{ 쿠키/판}$, $2 \text{ 달걀/판}$, $6 \text{ 달걀/반-다스}$). 단위를 따라가면 곱할지 나눌지가 분명해지고, "자연수 단위만 가능" 인 두 단계에서 올림이 필요하다는 점도 단위가 알려 줍니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.5 단계 1

필요한 쿠키 총 개수를 구합니다.
학생 $108$ 명이 평균 $2$ 개씩 먹으니 곱하면 됩니다.

$$108 \text{ 명} \times 2 \;\dfrac{\text{쿠키}}{\text{명}} = 216 \text{ 쿠키}$$

💡 평균 쿠키/명 $\times$ 명 수 $=$ 총 쿠키. 단위 "명" 이 약분되고 "쿠키" 만 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.3 단계 2

쿠키를 판 단위로 환산합니다.
한 판에 $15$ 개이므로 나눕니다.
부분 레시피는 안 되니 소수가 나오면 올림 — $14$ 판은 $210$ 개뿐이라 부족합니다.

$$\dfrac{216 \text{ 쿠키}}{15 \;\text{쿠키/판}} = 14.4 \text{ 판} \;\Rightarrow\; \lceil 14.4 \rceil = 15 \text{ 판}$$

💡 쿠키 $\div$ 쿠키/판 의 결과 단위는 "판". 자연수가 아니면 모자라지 않게 올려 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.2 단계 3

판을 달걀 단위로 환산합니다.
한 판에 달걀 $2$ 개.

$$15 \text{ 판} \times 2 \;\dfrac{\text{달걀}}{\text{판}} = 30 \text{ 달걀}$$

💡 판 $\times$ 달걀/판 $=$ 총 달걀. 단위 "판" 이 약분됩니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.6 단계 4

달걀을 반-다스 단위로 환산합니다.
반-다스에 달걀 $6$ 개, $30$ 은 $6$ 의 배수라 올림 없이 딱 떨어집니다.

$$\dfrac{30 \text{ 달걀}}{6 \;\text{달걀/반-다스}} = 5 \text{ 반-다스} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 달걀 $\div$ 달걀/반-다스 의 결과 단위는 "반-다스". $30$ 은 $6$ 으로 깨끗이 나뉩니다.

[1] #8 5.NBT.B.5 필요한 쿠키 총 개수를 구합니다. 학생 $108$ 명이 평균 $2$ 개씩 먹으니 곱하면 됩니다.

[2] #7 5.NF.B.3 쿠키를 판 단위로 환산합니다. 한 판에 $15$ 개이므로 나눕니다. 부분 레시피는 안 되니 소수가 나오면 올림 — $14$ 판은 $210$ 개뿐

[3] #7 4.OA.A.2 판을 달걀 단위로 환산합니다. 한 판에 달걀 $2$ 개.

[4] #8 5.NBT.B.6 달걀을 반-다스 단위로 환산합니다. 반-다스에 달걀 $6$ 개, $30$ 은 $6$ 의 배수라 올림 없이 딱 떨어집니다.

검토

합리성 확인: 올림 단계를 점검합시다. $14$ 판이면 $14 \times 15 = 210$ 개로 $216$ 에 못 미치니, $15$ 판이 적법한 최소 판 수가 맞습니다. $15$ 판은 달걀 $30$ 개를 쓰고, $30 = 5 \times 6$ 이므로 반-다스 $5$ 개로 남는 달걀 없이 정확히 맞습니다. 가까운 선택지도 확인: $(A)$ $1$ 반-다스 $=$ 달걀 $6$ $=$ $3$ 판 $=$ 쿠키 $45$ — $216$ 에 한참 부족. $(B)$ $2$ 반-다스 $=$ 달걀 $12$ $=$ $6$ 판 $=$ 쿠키 $90$ — 여전히 부족. $(D)$ $7$ 반-다스 $=$ 달걀 $42$ 이면 최대 $21$ 판으로 충분하지만 낭비. $(E)$ $15$ 는 터무니없이 많음. 충분하면서 최소인 답은 (C) $5$ 뿐.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기). 반-다스 한 개 $=$ 달걀 $6$ 개 $=$ 판 $3$ 개(판당 달걀 $2$ 개니까) $=$ 쿠키 $45$ 개. 즉, 반-다스 $n$ 개로 쿠키 $45n$ 개를 만듭니다. $45n \geq 216$ 이려면 $n \geq 4.8$, 그러므로 $n = 5$. 사슬을 "반-다스당 쿠키 $45$ 개" 한 비율로 압축한 뒤 올림 한 번이면 (C) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.2 곱셈·나눗셈으로 곱셈적 비교가 들어간 문장제 풀기 (판 수 $15$ 에 판당 달걀 $2$ 개를 곱해 달걀 $30$ 개를 구하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 계산하기 (필요한 쿠키 총 수 $108 \times 2 = 216$ 을 계산하는 데 사용.)
5.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수와 두 자리 제수의 자연수 몫 구하기 (달걀을 반-다스로 환산할 때 $30 \div 6 = 5$ 를 계산하는 데 사용.)
5.NF.B.3 분수를 분자÷분모로 해석하고 자연수 나눗셈이 분수가 되는 문장제 풀기 ($216 \div 15 = 14.4$ 판이 나오자 부분 레시피가 안 된다는 조건 때문에 $15$ 판으로 올리는 데 사용.)

⭐ 단위를 따라 사슬로 연결: 쿠키 $216$ 개에는 $\lceil 216/15 \rceil = 15$ 판, $15$ 판에는 달걀 $30$ 개, $30$ 개는 정확히 반-다스 $5$ 개 — 답은 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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