AMC 8 · 1999 · #17

학년 5 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

ratemulti-digit-arithmeticunit-conversion identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticrate

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

At Central Middle School the 108 students who take the AMC 8 meet in the evening to talk about problems and eat an average of two cookies apiece. Walter and Gretel are baking Bonnie's Best Bar Cookies this year. Their recipe, which makes a pan of 15 cookies, lists this items: $1\frac{1}{2}$ cups of flour, $2$ eggs, $3$ tablespoons butter, $\frac{3}{4}$ cups sugar, and $1$ package of chocolate drops. They will make only full recipes, not partial recipes.

Walter can buy eggs by the half-dozen. How many half-dozens should he buy to make enough cookies? (Some eggs and some cookies may be left over.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 학생 $108$ 명이 평균 $2$ 개씩 쿠키를 먹습니다. 쿠키 레시피는 한 판에 $15$ 개를 만들고 달걀 $2$ 개를 씁니다. 부분 레시피는 안 되고, 달걀은 반-다스(half-dozen, $6$ 개) 단위로만 살 수 있습니다. 모두에게 충분한 쿠키를 만들려면 Walter 는 반-다스를 최소 몇 개 사야 할까요?

주어진 것: 학생 수 $= 108$ 명, 평균 한 명당 쿠키 $= 2$ 개; 한 판 $= 쿠키 $15$ 개 + 달걀 $2$ 개; 부분 레시피는 안 됨 — 판 수는 자연수, 모자라면 올림; 달걀은 반-다스 단위로 판매(반-다스 $= 6$ 개); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $15$

구하는 것: Walter 가 사야 할 반-다스의 최소 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

"반-다스 몇 개?" 한 문장 뒤에 작은 단계 네 개가 숨어 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 한 단계씩 따라갑니다 — 필요한 쿠키 $\to$ 필요한 판 $\to$ 필요한 달걀 $\to$ 필요한 반-다스. 도구 #8(단위 살펴보기) 가 자연스럽게 짝을 이룹니다. 레시피가 변환 비율을 알려 주니까요($15 \text{ 쿠키/판}$, $2 \text{ 달걀/판}$, $6 \text{ 달걀/반-다스}$). 단위를 따라가면 곱할지 나눌지가 분명해지고, "자연수 단위만 가능" 인 두 단계에서 올림이 필요하다는 점도 단위가 알려 줍니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.5 단계 1

필요한 쿠키 총 개수를 구합니다.
학생 $108$ 명이 평균 $2$ 개씩 먹으니 곱하면 됩니다.

$$108 \text{ 명} \times 2 \;\dfrac{\text{쿠키}}{\text{명}} = 216 \text{ 쿠키}$$

💡 평균 쿠키/명 $\times$ 명 수 $=$ 총 쿠키. 단위 "명" 이 약분되고 "쿠키" 만 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.3 단계 2

쿠키를 판 단위로 환산합니다.
한 판에 $15$ 개이므로 나눕니다.
부분 레시피는 안 되니 소수가 나오면 올림 — $14$ 판은 $210$ 개뿐이라 부족합니다.

$$\dfrac{216 \text{ 쿠키}}{15 \;\text{쿠키/판}} = 14.4 \text{ 판} \;\Rightarrow\; \lceil 14.4 \rceil = 15 \text{ 판}$$

💡 쿠키 $\div$ 쿠키/판 의 결과 단위는 "판". 자연수가 아니면 모자라지 않게 올려 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.2 단계 3

판을 달걀 단위로 환산합니다.
한 판에 달걀 $2$ 개.

$$15 \text{ 판} \times 2 \;\dfrac{\text{달걀}}{\text{판}} = 30 \text{ 달걀}$$

💡 판 $\times$ 달걀/판 $=$ 총 달걀. 단위 "판" 이 약분됩니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.6 단계 4

달걀을 반-다스 단위로 환산합니다.
반-다스에 달걀 $6$ 개, $30$ 은 $6$ 의 배수라 올림 없이 딱 떨어집니다.

$$\dfrac{30 \text{ 달걀}}{6 \;\text{달걀/반-다스}} = 5 \text{ 반-다스} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 달걀 $\div$ 달걀/반-다스 의 결과 단위는 "반-다스". $30$ 은 $6$ 으로 깨끗이 나뉩니다.

[1] #8 5.NBT.B.5 필요한 쿠키 총 개수를 구합니다. 학생 $108$ 명이 평균 $2$ 개씩 먹으니 곱하면 됩니다.

[2] #7 5.NF.B.3 쿠키를 판 단위로 환산합니다. 한 판에 $15$ 개이므로 나눕니다. 부분 레시피는 안 되니 소수가 나오면 올림 — $14$ 판은 $210$ 개뿐

[3] #7 4.OA.A.2 판을 달걀 단위로 환산합니다. 한 판에 달걀 $2$ 개.

[4] #8 5.NBT.B.6 달걀을 반-다스 단위로 환산합니다. 반-다스에 달걀 $6$ 개, $30$ 은 $6$ 의 배수라 올림 없이 딱 떨어집니다.

검토

합리성 확인: 올림 단계를 점검합시다. $14$ 판이면 $14 \times 15 = 210$ 개로 $216$ 에 못 미치니, $15$ 판이 적법한 최소 판 수가 맞습니다. $15$ 판은 달걀 $30$ 개를 쓰고, $30 = 5 \times 6$ 이므로 반-다스 $5$ 개로 남는 달걀 없이 정확히 맞습니다. 가까운 선택지도 확인: $(A)$ $1$ 반-다스 $=$ 달걀 $6$ $=$ $3$ 판 $=$ 쿠키 $45$ — $216$ 에 한참 부족. $(B)$ $2$ 반-다스 $=$ 달걀 $12$ $=$ $6$ 판 $=$ 쿠키 $90$ — 여전히 부족. $(D)$ $7$ 반-다스 $=$ 달걀 $42$ 이면 최대 $21$ 판으로 충분하지만 낭비. $(E)$ $15$ 는 터무니없이 많음. 충분하면서 최소인 답은 (C) $5$ 뿐.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기). 반-다스 한 개 $=$ 달걀 $6$ 개 $=$ 판 $3$ 개(판당 달걀 $2$ 개니까) $=$ 쿠키 $45$ 개. 즉, 반-다스 $n$ 개로 쿠키 $45n$ 개를 만듭니다. $45n \geq 216$ 이려면 $n \geq 4.8$, 그러므로 $n = 5$. 사슬을 "반-다스당 쿠키 $45$ 개" 한 비율로 압축한 뒤 올림 한 번이면 (C) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.2 곱셈·나눗셈으로 곱셈적 비교가 들어간 문장제 풀기 (판 수 $15$ 에 판당 달걀 $2$ 개를 곱해 달걀 $30$ 개를 구하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 계산하기 (필요한 쿠키 총 수 $108 \times 2 = 216$ 을 계산하는 데 사용.)
5.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수와 두 자리 제수의 자연수 몫 구하기 (달걀을 반-다스로 환산할 때 $30 \div 6 = 5$ 를 계산하는 데 사용.)
5.NF.B.3 분수를 분자÷분모로 해석하고 자연수 나눗셈이 분수가 되는 문장제 풀기 ($216 \div 15 = 14.4$ 판이 나오자 부분 레시피가 안 된다는 조건 때문에 $15$ 판으로 올리는 데 사용.)

⭐ 단위를 따라 사슬로 연결: 쿠키 $216$ 개에는 $\lceil 216/15 \rceil = 15$ 판, $15$ 판에는 달걀 $30$ 개, $30$ 개는 정확히 반-다스 $5$ 개 — 답은 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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