AMC 8 · 2000 · #15
쉬운 모드 학년 5문제
정삼각형 세 개가 점점 작아지면서 차례로 이어져 붙어 있는 그림을 떠올려 봅시다. (정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형이에요.)
- 가장 큰 삼각형은 △ABC입니다. 변 AB의 길이는 4예요.
- 그 다음 중간 크기의 삼각형은 △ADE입니다. 점 D는 변 AC의 한가운데에 있어요.
- 가장 작은 삼각형은 △EFG입니다. 점 G는 변 AE의 한가운데에 있어요.
이 세 삼각형이 모여서 ABCDEFG라는 하나의 도형이 됩니다.
이 도형 ABCDEFG의 둘레(바깥쪽을 한 바퀴 따라간 전체 길이)는 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정삼각형 $ABC$, $ADE$, $EFG$ 가 서로 맞물려 있습니다. $D$ 는 $\overline{AC}$ 의 중점, $G$ 는 $\overline{AE}$ 의 중점입니다. $AB = 4$ 일 때, 일곱 꼭짓점 도형 $ABCDEFG$ 의 둘레 (선분 $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FG$, $GA$ 의 합)를 구하세요.
주어진 것: $\triangle ABC$, $\triangle ADE$, $\triangle EFG$ 는 모두 정삼각형; $D$ 는 $\overline{AC}$ 의 중점, 즉 $AD = DC = \tfrac{1}{2} AC$; $G$ 는 $\overline{AE}$ 의 중점, 즉 $AG = GE = \tfrac{1}{2} AE$; $AB = 4$; 선택지: (A) $12$, (B) $13$, (C) $15$, (D) $18$, (E) $21$
구하는 것: 도형 $ABCDEFG$ 의 둘레 = $AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA$
이해
문제 재정리: 정삼각형 $ABC$, $ADE$, $EFG$ 가 서로 맞물려 있습니다. $D$ 는 $\overline{AC}$ 의 중점, $G$ 는 $\overline{AE}$ 의 중점입니다. $AB = 4$ 일 때, 일곱 꼭짓점 도형 $ABCDEFG$ 의 둘레 (선분 $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FG$, $GA$ 의 합)를 구하세요.
주어진 것: $\triangle ABC$, $\triangle ADE$, $\triangle EFG$ 는 모두 정삼각형; $D$ 는 $\overline{AC}$ 의 중점, 즉 $AD = DC = \tfrac{1}{2} AC$; $G$ 는 $\overline{AE}$ 의 중점, 즉 $AG = GE = \tfrac{1}{2} AE$; $AB = 4$; 선택지: (A) $12$, (B) $13$, (C) $15$, (D) $18$, (E) $21$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
그림에 정삼각형 세 개가 중점으로 맞물려 있는 모습이 그대로 보입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 각 선분에 길이를 적어 두면 둘레는 그림에서 바로 읽을 수 있어요 — 대수가 필요 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 삼각형별 단계로 나눠 줍니다. $\triangle ABC$ 의 한 변이 $\triangle ADE$ 의 크기를 정하고 ($AD$ 가 $AC$ 의 절반이므로), $\triangle ADE$ 의 한 변이 다시 $\triangle EFG$ 의 크기를 정합니다 ($EG$ 가 $AE$ 의 절반이므로). 모든 선분에 라벨이 붙으면 둘레는 3학년 덧셈 한 줄이에요.
실행 — 정답: C
4.G.A.2 단계 1 - $\triangle ABC$ 에 라벨을 답니다.
- 정삼각형이고 $AB = 4$ 이므로 세 변 모두 $4$ 입니다.
- 특히 $BC = 4$, $AC = 4$.
💡 정삼각형은 "세 변이 같다" 는 뜻이므로 한 변만 알면 나머지 두 변도 같은 값입니다.
5.NF.B.4 단계 2 - 다음 작은 단계: $\triangle ADE$.
- $D$ 는 $\overline{AC}$ 의 중점이므로 $AD = \tfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
- $\triangle ADE$ 도 정삼각형이므로 모든 변이 $2$ 입니다.
- 따라서 $AD = DE = AE = 2$ 이고, 둘레 경로 위에 남는 조각 $CD$ 는 $AC$ 의 나머지 절반, 역시 $2$.
💡 $4$ 의 절반은 $2$, 정삼각형이 그 $2$ 를 세 변 모두에 퍼뜨립니다.
5.NF.B.4 단계 3 - 마지막 작은 단계: $\triangle EFG$.
- $G$ 는 $\overline{AE}$ 의 중점이므로 $GE = \tfrac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
- $\triangle EFG$ 가 정삼각형이므로 모든 변이 $1$ 입니다.
- 따라서 $EF = FG = GE = 1$ 이고, 둘레 경로 위의 조각 $GA$ 는 $AE$ 의 나머지 절반, 역시 $1$.
💡 또 절반: $2 \to 1$. $\triangle ADE$ 에서 통한 중점 트릭이 $\triangle EFG$ 에서도 그대로 통합니다.
3.MD.D.8 단계 4 - 둘레 경로 $A \to B \to C \to D \to E \to F \to G \to A$ 를 따라 일곱 선분을 더합니다.
- 선분 $AE$ 는 $\triangle ADE$ 의 내부에 있어 둘레에는 *포함되지 않으며*, 그 자리에 $CD = 2$ 와 $GA = 1$ 이 들어갑니다.
💡 둘레는 바깥쪽으로 따라간 선분들의 합 — 라벨을 차례로 읽으며 더하기만 하면 됩니다.
4.G.A.2 $\triangle ABC$ 에 라벨을 답니다. 정삼각형이고 $AB = 4$ 이므로 세 변 모두 $4$ 입니다. 특히 $BC = 4$, $AC 5.NF.B.4 다음 작은 단계: $\triangle ADE$. $D$ 는 $\overline{AC}$ 의 중점이므로 $AD = \tfrac{1}{2} \cdo 5.NF.B.4 마지막 작은 단계: $\triangle EFG$. $G$ 는 $\overline{AE}$ 의 중점이므로 $GE = \tfrac{1}{2} \cd 3.MD.D.8 둘레 경로 $A \to B \to C \to D \to E \to F \to G \to A$ 를 따라 일곱 선분을 더합니다. 선분 $AE$ 는 검토
합리성 확인: 크기 점검을 해 봅시다. $\triangle ABC$ 만의 둘레는 $4 + 4 + 4 = 12$. 우리 도형의 둘레는 $\triangle ABC$ 의 한 변 $AC$ 를 우회 경로 $C \to D \to E \to F \to G \to A$ 로 바꿉니다. 이 우회 경로의 길이는 $2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7$. 따라서 전체 둘레는 $12 - 4 + 7 = 15$ — (C) 와 일치합니다. 함정 선택지도 짚어 보세요. (A) $12$ 는 $\triangle ABC$ 만의 둘레로, 우회 경로를 잊은 경우입니다. (E) $21$ 은 세 정삼각형의 모든 변을 다 더한 값 ($12 + 6 + 3$) 으로, 내부 선분 $AE$ 와 중점이 만든 두 절반을 중복해서 센 경우입니다.
대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기): 세 삼각형의 한 변 길이는 $4, 2, 1$ — 차례로 절반씩 줄어듭니다. 둘레 위에 남는 변만 세어 봅시다. $\triangle ABC$ 에서는 두 변 $AB$, $BC$ 가 둘레에 그대로 남고 ($AC$ 는 다음 삼각형으로 대체), 합 $4 + 4 = 8$. $\triangle ADE$ 에서도 두 "조각" $CD$ 와 $DE$ 가 둘레에 남고 ($AE$ 는 다음 삼각형으로 대체), 합 $2 + 2 = 4$. $\triangle EFG$ 는 마지막 삼각형이라 $EF, FG, GE$ 세 변이 모두 둘레의 일부 ($GE$ 가 곧 둘레의 한 조각이고, 나머지 절반 $GA$ 가 경로를 마무리), 합 $1 + 1 + 1 = 3$. 총합 $8 + 4 + 3 = 15$, 다시 (C).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.G.A.2변의 성질에 따라 평면도형 분류하기 ($\triangle ABC$, $\triangle ADE$, $\triangle EFG$ 가 정삼각형이라는 성질로부터 각 삼각형의 세 변이 같은 길이임을 결론짓는 데 사용.)5.NF.B.4곱셈 개념을 확장해 분수와 자연수의 곱 다루기 (각 중점에서 길이의 절반을 취하기 — $\tfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$, $\tfrac{1}{2} \cdot 2 = 1$ — 로 $\triangle ADE$ 와 $\triangle EFG$ 의 크기를 정하는 데 사용.)3.MD.D.8다각형의 둘레를 이용한 실생활·수학 문제 해결 (둘레 위의 일곱 선분 $4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15$ 을 합해 도형 $ABCDEFG$ 의 둘레를 구하는 데 사용.)
⭐ 삼각형 하나하나가 앞 삼각형의 절반 크기 ($4 \to 2 \to 1$)입니다. 둘레 위의 모든 선분에 길이를 적은 뒤 더하면 $4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15$, 답은 (C) 입니다.
⭐ 삼각형 하나하나가 앞 삼각형의 절반 크기 ($4 \to 2 \to 1$)입니다. 둘레 위의 모든 선분에 길이를 적은 뒤 더하면 $4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15$, 답은 (C) 입니다.
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