AMC 8 · 2003 · #17

쉬운 모드 학년 1

문제

여섯 명의 아이가 있습니다. 이 아이들은 두 가족에서 왔어요. 한 가족마다 형제자매가 정확히 세 명씩입니다.

각 아이의 눈 색깔은 파랑(Blue) 또는 갈색(Brown), 머리 색깔은 검정(Black) 또는 금발(Blonde)이에요. 아래 표는 각 아이의 눈 색깔과 머리 색깔을 보여줍니다.

$\begin{array}{c|c|c}\text{Child}&\text{Eye Color}&\text{Hair Color}\\ \hline\text{Benjamin}&\text{Blue}&\text{Black}\\ \hline\text{Jim}&\text{Brown}&\text{Blonde}\\ \hline\text{Nadeen}&\text{Brown}&\text{Black}\\ \hline\text{Austin}&\text{Blue}&\text{Blonde}\\ \hline\text{Tevyn}&\text{Blue}&\text{Black}\\ \hline\text{Sue}&\text{Blue}&\text{Blonde}\\ \hline\end{array}$

한 가지 규칙이 있습니다. 같은 가족인 두 아이는 적어도 한 가지 특징은 같아야 합니다. 눈 색깔이 같거나, 머리 색깔이 같거나, 아니면 둘 다 같아야 해요.

Jim의 형제자매가 이 명단에 두 명 있습니다. 어떤 두 명일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Nadeen and Austin

(B)

Benjamin and Sue

(C)

Benjamin and Austin

(D)

Nadeen and Tevyn

(E)

Austin and Sue

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 아이 — Benjamin, Jim, Nadeen, Austin, Tevyn, Sue — 가 세 명씩 두 가족으로 나뉩니다. 각 아이는 눈동자 색(파랑 또는 갈색)과 머리 색(검정 또는 금발)을 가집니다. 같은 가족의 아이들은 이 두 특성 중 적어도 하나를 공유합니다. Jim 은 갈색 눈, 금발 머리예요. Jim 의 형제·자매 두 명은 누구일까요?

주어진 것: 두 가족, 각각 정확히 $3$ 명의 형제·자매 (총 $6$ 명); 각 아이의 눈동자 색 $\in$ {파랑, 갈색}, 머리 색 $\in$ {검정, 금발}; 같은 가족 구성원은 적어도 한 특성(눈동자 색 또는 머리 색)을 공유; 특성: Benjamin (파랑, 검정), Jim (갈색, 금발), Nadeen (갈색, 검정), Austin (파랑, 금발), Tevyn (파랑, 검정), Sue (파랑, 금발); 선택지: (A) Nadeen and Austin, (B) Benjamin and Sue, (C) Benjamin and Austin, (D) Nadeen and Tevyn, (E) Austin and Sue

구하는 것: Jim 과 같은 가족인 두 아이

이해

계획

주요 도구: #4 격자 논리표

보조 도구: #3 가능성 지우기

두 가지 특성을 가진 아이들을 "누가 누구와 같은 가족인가?" 로 묶는 전형적인 퍼즐 — 도구 #4(격자 논리표)가 정확히 들어맞습니다. 표를 만들고 Jim 의 특성(갈색 눈, 금발)을 강조한 뒤, Jim 의 가족 후보는 강조된 특성 중 적어도 하나를 공유해야 한다는 사실로 후보를 좁힙니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 처리합니다. Jim 과 공통 특성이 없는 아이가 들어간 선택지는 모두 탈락이고, 마지막 후보끼리도 서로 한 특성을 공유해야 (세 명이 모두 짝짓기 조건을 만족) 합니다.

실행 — 정답: E

#4 격자 논리표 K.MD.B.3 단계 1

데이터를 표로 정리하고 Jim 의 줄을 표시합니다.
Jim 은 갈색 눈, 금발이므로 Jim 의 형제·자매도 갈색 눈 또는 금발(또는 둘 다)이어야 합니다.
다른 아이마다 Jim 과 어떤 특성을 공유하는지 표기합니다.

$$\begin{array}{l|c|c|c}\text{아이}&\text{눈}&\text{머리}&\text{Jim 과 공유?}\\\hline \text{Benjamin}&\text{파랑}&\text{검정}&\text{없음}\\ \text{Nadeen}&\textbf{갈색}&\text{검정}&\text{있음 (눈)}\\ \text{Austin}&\text{파랑}&\textbf{금발}&\text{있음 (머리)}\\ \text{Tevyn}&\text{파랑}&\text{검정}&\text{없음}\\ \text{Sue}&\text{파랑}&\textbf{금발}&\text{있음 (머리)}\end{array}$$

💡 아이들을 "Jim 과 일치" vs "Jim 과 불일치" 로 분류하는 것은 유치원 수준의 "공통 특성으로 묶기" 입니다.

#3 가능성 지우기 K.MD.B.3 단계 2

Benjamin 과 Tevyn 은 Jim 과 어떤 특성도 공유하지 않으므로 Jim 의 가족이 될 수 없습니다.
이 두 명이 들어간 선택지를 모두 지웁니다.
(B) Benjamin and Sue, (C) Benjamin and Austin, (D) Nadeen and Tevyn 이 탈락.

$$\text{탈락: (B), (C), (D)} \Rightarrow \text{남는 후보: (A), (E)}$$

💡 Jim 과 공통점이 없는 아이를 Jim 의 가족에 넣으면 규칙이 즉시 깨집니다.

#4 격자 논리표 1.MD.C.4 단계 3

(A) Nadeen + Austin 과 (E) Austin + Sue 중에서 선택합니다.
한 가족의 세 명은 둘씩 짝지어도 한 특성을 공유해야 하므로, Jim 의 두 형제·자매끼리도 한 특성을 공유해야 합니다.
두 후보 쌍을 따로 확인합니다.

$\text{(A) Nadeen + Austin}:\;\text{갈색/검정 vs 파랑/금발}\Rightarrow \text{공통 특성 없음}\;\text{✗}$ \quad $\text{(E) Austin + Sue}:\;\text{파랑/금발 vs 파랑/금발}\Rightarrow \text{눈과 머리 둘 다 공유}\;\text{✓}$

💡 격자 논리는 "형제·자매끼리도 짝지어 봐" 조건을 자연스럽게 강제합니다 — 한 쌍이라도 공통점이 없으면 그 가족은 성립하지 않아요.

[1] #4 K.MD.B.3 데이터를 표로 정리하고 Jim 의 줄을 표시합니다. Jim 은 갈색 눈, 금발이므로 Jim 의 형제·자매도 갈색 눈 또는 금발(또는 둘 다)이어

[2] #3 K.MD.B.3 Benjamin 과 Tevyn 은 Jim 과 어떤 특성도 공유하지 않으므로 Jim 의 가족이 될 수 없습니다. 이 두 명이 들어간 선택지를 모두

[3] #4 1.MD.C.4 (A) Nadeen + Austin 과 (E) Austin + Sue 중에서 선택합니다. 한 가족의 세 명은 둘씩 짝지어도 한 특성을 공유해야

검토

합리성 확인: 가족 분할이 모든 조건을 만족하는지 점검합니다. Jim 의 가족 {Jim, Austin, Sue}: Jim–Austin 은 금발 공유, Jim–Sue 도 금발 공유, Austin–Sue 는 파랑 눈과 금발 둘 다 공유. 다른 가족 {Benjamin, Nadeen, Tevyn}: Benjamin–Tevyn 은 파랑 눈과 검정 머리 둘 다 공유, Benjamin–Nadeen 은 검정 머리 공유, Nadeen–Tevyn 도 검정 머리 공유. 두 가족 모두 모든 쌍이 적어도 한 특성을 공유하므로 분할이 일관됩니다. 머리 색만 봐도 빠르게 확인됩니다: 금발 정확히 $3$ 명(Jim, Austin, Sue), 검정 정확히 $3$ 명(Benjamin, Nadeen, Tevyn) — 머리 색 하나만으로도 $3$-$3$ 가족이 떨어지고, 그게 그대로 (E) 입니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) — 두 원 벤 다이어그램. "갈색 눈" 원과 "금발 머리" 원을 겹치게 그립니다. 각 아이를 알맞은 영역에 배치하면 Jim 은 교집합에, Sue 와 Austin 은 금발-만 영역(파랑 눈, 금발), Nadeen 은 갈색-만 영역(갈색 눈, 검정 머리), Benjamin 과 Tevyn 은 두 원 바깥에 위치. Jim 과 가장 가까운(같은 금발 영역의) 두 명이 Austin 과 Sue — 답은 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)

K.MD.B.3 주어진 범주로 사물을 분류하고 각 범주의 개수 세기 (여섯 아이를 Jim 의 특성(갈색 눈, 금발)과의 공유 여부로 분류해 가족 후보가 될 수 없는 아이를 즉시 골라내는 데 사용.)
1.MD.C.4 최대 세 범주의 자료 정리·표현·해석 (특성 표를 읽어 모든 쌍의 호환성을 확인하는 데 사용 — 후보가 Jim 과 공유하는지, 그리고 Jim 의 두 형제·자매끼리도 한 특성을 공유하는지 둘 다 점검.)

⭐ 아이마다 특성 두 개, 형제·자매 한 쌍마다 공유 특성 하나 — 이 AMC 8 문제는 결국 유치원 "같은 범주로 묶기" 과제이고, 머리 색만으로도 (E) Austin and Sue 가 곧장 떨어집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)

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