AMC 8 · 2025 · #21
학년 6 logiccounting문제
쾨니히스베르크 학교는 A부터 G까지의 일곱 개 팟(pod)에 1학년부터 7학년까지를 한 팟에 한 학년씩 배정하였습니다. 일부 팟은 아래 그림과 같이 통로로 서로 연결되어 있습니다. 학교에서 보니, 통로로 연결된 모든 두 팟의 학년은 그 차이가 항상 2 이상이었습니다. (예를 들어, 1학년과 2학년은 통로로 바로 연결된 팟에 함께 있을 수 없습니다.) 팟 C, E, F에 배정된 학년의 합은 얼마입니까?
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $A$ 부터 $G$ 까지의 $7$ 개 교실에 $1$ 학년부터 $7$ 학년까지를 한 학년씩 배정하려고 합니다. 그림에 표시된 산책로로 직접 이어진 두 교실은 학년 차이가 반드시 $2$ 이상이어야 합니다. 이때 $g(C) + g(E) + g(F)$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $7$ 개 교실 $A, B, C, D, E, F, G$ 가 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ 중 서로 다른 한 학년씩을 받음; 그림에 나타난 $12$ 개의 산책로: $A$-$B$, $A$-$C$, $A$-$F$, $A$-$G$, $B$-$C$, $B$-$F$, $C$-$D$, $C$-$E$, $C$-$F$, $D$-$E$, $E$-$F$, $F$-$G$; 산책로로 이어진 모든 쌍 $(X, Y)$ 에 대해 $|g(X) - g(Y)| \ge 2$; 선택지: (A) $12$, (B) $13$, (C) $14$, (D) $15$, (E) $16$
구하는 것: $g(C) + g(E) + g(F)$ 의 값
이해
문제 재정리: $A$ 부터 $G$ 까지의 $7$ 개 교실에 $1$ 학년부터 $7$ 학년까지를 한 학년씩 배정하려고 합니다. 그림에 표시된 산책로로 직접 이어진 두 교실은 학년 차이가 반드시 $2$ 이상이어야 합니다. 이때 $g(C) + g(E) + g(F)$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $7$ 개 교실 $A, B, C, D, E, F, G$ 가 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ 중 서로 다른 한 학년씩을 받음; 그림에 나타난 $12$ 개의 산책로: $A$-$B$, $A$-$C$, $A$-$F$, $A$-$G$, $B$-$C$, $B$-$F$, $C$-$D$, $C$-$E$, $C$-$F$, $D$-$E$, $E$-$F$, $F$-$G$; 산책로로 이어진 모든 쌍 $(X, Y)$ 에 대해 $|g(X) - g(Y)| \ge 2$; 선택지: (A) $12$, (B) $13$, (C) $14$, (D) $15$, (E) $16$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #1 그림 그리기, #15 다르게 정리하기
그림이 이미 주어져 있으니 도구 #1 은 "산책로를 하나씩 빠짐없이 읽어 목록으로 적기" 가 됩니다. 도구 #15 (다르게 정리하기) 로 이 산책로 목록을 "각 교실의 이웃 수(차수)" 표로 다시 정리하면, $C$ 와 $F$ 가 차수 $5$ 로 가장 제약이 많다는 사실이 한눈에 보입니다. 본격적인 풀이는 도구 #3 (가능성 지우기) 가 끌고 갑니다 — 차수 $5$ 인 교실에는 학년 $1$ 또는 $7$ 만 들어갈 수 있다는 점을 "이웃이 쓸 수 있는 학년이 $5$ 개 남아야 한다" 는 계산으로 좁히고, 이어서 같은 가능성 지우기 방식으로 $g(D)$, $g(G)$, $g(E)$ 가 순서대로 강제됩니다.
실행 — 정답: A
K.MD.B.3 단계 1 - 먼저 그림을 차근차근 보면서 산책로를 하나씩 적습니다.
- 총 $12$ 개의 산책로가 있습니다: $A$-$B$, $A$-$C$, $A$-$F$, $A$-$G$, $B$-$C$, $B$-$F$, $C$-$D$, $C$-$E$, $C$-$F$, $D$-$E$, $E$-$F$, $F$-$G$.
💡 그림을 보고 연결을 분류해서 세는 것은 유치원 단계의 "분류하고 세기" 그대로입니다.
K.MD.B.3 단계 2 - 산책로 목록을 "각 교실의 이웃 수(차수)" 로 다시 정리합니다.
- 이렇게 하면 가장 제약이 큰 교실이 한눈에 보이고, 거기서부터 풀어 나가게 됩니다.
- 차수가 $5$ 인 $C$ 와 $F$ 가 가장 까다롭습니다.
💡 같은 정보를 "이웃 수" 기준으로 다시 정리하면 누가 가장 꽉 묶여 있는지 바로 보입니다 — 역시 유치원 수준의 세기입니다.
6.NS.C.7 단계 3 - 차수 $5$ 인 교실의 학년 후보를 가능성 지우기로 좁힙니다.
- 교실 $C$ 의 학년을 $k$ 라 하면, $C$ 의 이웃 $5$ 곳은 $\{1,\dots,7\}\setminus\{k-1, k, k+1\}$ 중에서 서로 다른 $5$ 개 학년을 골라야 합니다.
- 그 후보 집합의 크기가 $5$ 이상인 경우는 $k = 1$ 과 $k = 7$ 두 가지뿐입니다.
💡 $|k - n| \ge 2$ 의 절댓값 조건을 후보별로 따져 보는 것이 바로 6학년 절댓값 추론입니다.
6.NS.C.7 단계 4 - 같은 논리가 차수 $5$ 인 교실 $F$ 에도 똑같이 적용되므로 $\{g(C), g(F)\} = \{1, 7\}$ 입니다.
- 두 경우는 대칭이라 최종 합은 동일하므로 $g(C) = 1$, $g(F) = 7$ 인 경우로 풀어 보겠습니다.
💡 나머지 후보가 모두 지워지면 양 끝 학년 $1$ 과 $7$ 만 남아 두 교실에 들어갈 수 있습니다.
6.NS.C.7 단계 5 - 학년 $6$ 의 자리를 정합니다.
- $g(F) = 7$ 이므로 $F$ 의 이웃은 학년 $6$ 을 가질 수 없는데, $F$ 의 이웃이 $\{A, B, C, E, G\}$ 이므로 $6$ 이 들어갈 수 있는 유일한 교실은 $D$ 입니다.
- 마찬가지로 학년 $2$ 는 $g(C) = 1$ 과 인접할 수 없고, $C$ 의 이웃이 아닌 유일한 교실은 $G$ 이므로 $g(G) = 2$ 입니다.
💡 끝값 옆 학년($1$ 옆의 $2$, $7$ 옆의 $6$) 은 "이웃이 아닌 교실" 한 곳에만 들어갈 수 있어 자리가 강제됩니다.
6.NS.C.7 단계 6 - $g(E)$ 를 확정합니다.
- $E$ 는 $C\,(1)$, $D\,(6)$, $F\,(7)$ 과 이어져 있으므로 $|g(E) - 1| \ge 2$, $|g(E) - 6| \ge 2$, $|g(E) - 7| \ge 2$ 의 세 조건을 모두 만족해야 하고, 결과는 $g(E) \in \{3, 4\}$ 입니다.
- 남은 $\{A, B, E\}$ 에 배정될 학년은 $\{3, 4, 5\}$ 인데, 만약 $g(E) = 3$ 이라면 $\{g(A), g(B)\} = \{4, 5\}$ 가 되어 산책로 $A$-$B$ 에서 $|4 - 5| = 1$ — 조건을 어깁니다.
- 따라서 $g(E) = 4$ 입니다 (이때 $g(A) = 5$, $g(B) = 3$ 으로 두면 모든 조건이 맞습니다).
💡 산책로 $A$-$B$ 라는 마지막 조건이 결정적인 검열관이 되어 $E$ 의 학년이 하나로 정해집니다.
1.OA.A.2 단계 7 요구된 세 교실의 학년을 더합니다.
💡 $20$ 보다 작은 세 자연수를 더하는 것은 1학년 덧셈입니다.
K.MD.B.3 먼저 그림을 차근차근 보면서 산책로를 하나씩 적습니다. 총 $12$ 개의 산책로가 있습니다: $A$-$B$, $A$-$C$, $A$-$F$, $ K.MD.B.3 산책로 목록을 "각 교실의 이웃 수(차수)" 로 다시 정리합니다. 이렇게 하면 가장 제약이 큰 교실이 한눈에 보이고, 거기서부터 풀어 나가게 됩 6.NS.C.7 차수 $5$ 인 교실의 학년 후보를 가능성 지우기로 좁힙니다. 교실 $C$ 의 학년을 $k$ 라 하면, $C$ 의 이웃 $5$ 곳은 ${1,\ 6.NS.C.7 같은 논리가 차수 $5$ 인 교실 $F$ 에도 똑같이 적용되므로 $\{g(C), g(F)\} = \{1, 7\}$ 입니다. 두 경우는 대칭이라 6.NS.C.7 학년 $6$ 의 자리를 정합니다. $g(F) = 7$ 이므로 $F$ 의 이웃은 학년 $6$ 을 가질 수 없는데, $F$ 의 이웃이 ${A, B 6.NS.C.7 $g(E)$ 를 확정합니다. $E$ 는 $C\,(1)$, $D\,(6)$, $F\,(7)$ 과 이어져 있으므로 $|g(E) - 1| \ge 2$ 1.OA.A.2 요구된 세 교실의 학년을 더합니다. 검토
합리성 확인: 완성된 배정 $g(C){=}1,\ g(G){=}2,\ g(B){=}3,\ g(E){=}4,\ g(A){=}5,\ g(D){=}6,\ g(F){=}7$ 을 $12$ 개의 산책로에 대입해 보면, 모든 연결된 쌍의 차이가 $2$ 이상 (가장 빠듯한 곳이 $A$-$B$ 의 $|5-3|=2$) 으로 조건을 만족합니다. 합 $1 + 4 + 7 = 12$ 는 선택지 (A) 와 일치합니다. 반대 경우 $g(C){=}7,\ g(F){=}1$ 도 대칭적으로 풀려 같은 합 $7+4+1=12$ 가 나오므로 답이 유일하게 결정됩니다.
대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 시험해 볼 수도 있습니다. $\{g(C), g(F)\} = \{1, 7\}$ 이 이미 강제되었으므로 합 후보를 정하면 $g(E)$ 가 결정되는데, 합 $13$ 은 $g(E) = 5$ 가 필요하지만 $|5 - 6| = 1$ 로 $E$-$D$ 산책로 조건을 어깁니다. 합 $14$ 는 $g(E) = 6$ 이 필요한데 이미 $g(D) = 6$ 이라 불가능합니다. 합 $15, 16$ 은 $g(E) \ge 7$ 을 요구해 불가능합니다. 따라서 $g(E) = 4$, 합 $12$, 선택지 (A) 만 살아남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
K.MD.B.3주어진 범주에 따라 사물을 분류하고 각 범주의 개수 세기 (그림에서 $12$ 개의 산책로를 빠짐없이 읽어 목록으로 만들고, 교실별 이웃 수(차수) 로 다시 정리하는 데 사용.)6.NS.C.7유리수의 순서와 절댓값 이해 ($|g(X) - g(Y)| \ge 2$ 라는 절댓값 조건으로 가장 제약이 큰 $C$, $F$ 의 학년 후보를 좁히고, 이어서 $D$, $G$, $E$ 의 학년을 차례로 결정하는 데 사용.)1.OA.A.2합이 $20$ 이내인 세 자연수의 문장제 해결 (마지막에 $g(C) + g(E) + g(F) = 1 + 4 + 7 = 12$ 를 계산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "두 학년의 차이가 $2$ 이상" 이라는 절댓값 추론만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "두 학년의 차이가 $2$ 이상" 이라는 절댓값 추론만 알면 풀 수 있어요!
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