AMC 8 · 2003 · #20
쉬운 모드 학년 5문제
오후 4시 20분의 시계 문자판을 떠올려 봅시다.
분침과 시침이 살짝 다른 방향을 가리키고 있어요. 두 바늘 사이에는 작은 각과 큰 각이 있는데, 둘을 합치면 한 바퀴(완전한 원)가 됩니다.
이 두 각 중 작은 쪽의 각도는 몇 도일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 오후 $4{:}20$ 에 12시간제 시계의 시침과 분침이 이루는 예각의 크기는 얼마일까요?
주어진 것: 시계는 $360^\circ$ 의 원이고, $12$ 개의 숫자가 같은 간격으로 놓여 있다; 이웃한 두 숫자 사이의 각은 $360^\circ \div 12 = 30^\circ$; 분침은 $60$ 분 동안 한 바퀴($360^\circ$)를 돈다; 시침은 $12$ 시간 동안 한 바퀴($360^\circ$)를 돈다; 시각: 오후 $4{:}20$; 선택지: (A) $0$, (B) $5$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $12$
구하는 것: $4{:}20$ 에 두 바늘이 이루는 예각의 크기(도)
이해
문제 재정리: 오후 $4{:}20$ 에 12시간제 시계의 시침과 분침이 이루는 예각의 크기는 얼마일까요?
주어진 것: 시계는 $360^\circ$ 의 원이고, $12$ 개의 숫자가 같은 간격으로 놓여 있다; 이웃한 두 숫자 사이의 각은 $360^\circ \div 12 = 30^\circ$; 분침은 $60$ 분 동안 한 바퀴($360^\circ$)를 돈다; 시침은 $12$ 시간 동안 한 바퀴($360^\circ$)를 돈다; 시각: 오후 $4{:}20$; 선택지: (A) $0$, (B) $5$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $12$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 바꾸기
시계 문자반은 그 자체가 눈금이 매겨진 원형 다이어그램입니다. 도구 #1(그림 그리기)을 쓰면 공식과 씨름하는 대신 두 바늘의 위치를 다이얼 위에 표시해 그 차이를 바로 읽을 수 있어요. 이 문제의 함정은 "$4{:}20$ 이면 시침이 $4$ 위에 그대로 있겠지" 라고 가정하는 것 — 그림을 그려 보면 시침이 $4$ 를 살짝 지나갔다는 게 한눈에 보입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)는 이 큰 문제를 "분침 위치 구하기" + "시침 위치 구하기" 의 두 개의 작은 문제로 쪼개 줍니다. 각 작은 문제는 분당 회전 속도(분침 $6^\circ$, 시침 $0.5^\circ$)에 분을 곱하는 곱셈 한 번으로 끝납니다.
실행 — 정답: D
4.MD.C.5 단계 1 - 다이얼의 눈금 크기부터 정합니다.
- 시계 문자반은 $360^\circ$ 의 원이 $12$ 개의 같은 부채꼴로 나뉘어 있으므로 이웃한 두 숫자 사이의 각은 $360^\circ \div 12 = 30^\circ$ 입니다.
- 두 바늘의 위치는 모두 $12$ 에서 시계 방향으로 잰 각으로 적습니다.
💡 4학년 "한 바퀴는 $360^\circ$, 같은 간격 $12$ 등분이면 한 칸이 $30^\circ$" — 시계 문자반은 그 자체가 각도기입니다.
4.MD.C.7 단계 2 - 분침의 위치를 구합니다.
- 분침은 $60$ 분에 $360^\circ$ 를 돌므로 속도는 분당 $360^\circ \div 60 = 6^\circ$.
- $20$ 분이 지났으니 $12$ 에서 시계 방향으로 $20 \times 6^\circ = 120^\circ$ 만큼 와 있습니다.
- 이는 정확히 숫자 $4$ 의 위치($4 \times 30^\circ = 120^\circ$)와 같습니다.
💡 작은 문제 1: 일정한 회전 속도 $\times$ 지난 분 = 휩쓴 각. 4학년 "각을 더해 만든다" 를 곱셈 한 번으로 처리한 것.
4.MD.C.7 단계 3 - 시침의 위치를 구합니다.
- 시침은 $12$ 시간 $= 720$ 분 동안 $360^\circ$ 를 돌므로 속도는 분당 $360^\circ \div 720 = 0.5^\circ$.
- $4{:}00$ 정각에 시침은 숫자 $4$ 위, 즉 $120^\circ$ 에 있습니다.
- $4{:}00$ 부터 $4{:}20$ 까지 $20$ 분이 지나는 동안 시침은 $20 \times 0.5^\circ = 10^\circ$ 만큼 더 흘러갑니다.
💡 작은 문제 2: 시침은 정각이 아닐 때 숫자와 숫자 사이에서 움직이고 있다. 드리프트가 $10^\circ$ 로 작지만, 그 작은 차이가 이 문제의 핵심입니다.
4.MD.C.7 단계 4 - 다이얼 위의 두 위치를 뺍니다.
- 분침은 $120^\circ$, 시침은 $130^\circ$ 에 있으므로(둘 다 $12$ 에서 잰 각) 두 바늘 사이의 각은 그 차이입니다.
💡 두 바늘이 같은 다이얼에서 "각도 주소" 를 가지면, 그 사이 각은 뺄셈 한 번으로 나옵니다.
4.MD.C.5 다이얼의 눈금 크기부터 정합니다. 시계 문자반은 $360^\circ$ 의 원이 $12$ 개의 같은 부채꼴로 나뉘어 있으므로 이웃한 두 숫자 사이 4.MD.C.7 분침의 위치를 구합니다. 분침은 $60$ 분에 $360^\circ$ 를 돌므로 속도는 분당 $360^\circ \div 60 = 6^\circ$ 4.MD.C.7 시침의 위치를 구합니다. 시침은 $12$ 시간 $= 720$ 분 동안 $360^\circ$ 를 돌므로 속도는 분당 $360^\circ \div 4.MD.C.7 다이얼 위의 두 위치를 뺍니다. 분침은 $120^\circ$, 시침은 $130^\circ$ 에 있으므로(둘 다 $12$ 에서 잰 각) 두 바늘 검토
합리성 확인: $10^\circ$ 라는 답은 그림과 잘 맞습니다. $4{:}20$ 에 분침은 정확히 $4$ 위, 시침은 $4$ 에서 $5$ 쪽으로 살짝 흘러간 자리. $4$ 와 $5$ 사이는 $30^\circ$ 이고 $20$ 분은 한 시간의 $\tfrac{1}{3}$ 이므로, 시침은 그 칸의 $\tfrac{1}{3}$ 만큼만 이동했어요: $\tfrac{1}{3} \times 30^\circ = 10^\circ$. 답 (D) 와 일치하고, (A) $0$ (두 바늘이 겹친다는 뜻이라 틀림), (B) $5$ · (C) $8$ ($4$ 칸의 1/3 보다 작음), (E) $12$ (너무 큼) 은 모두 배제됩니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)를 분수로 적용합니다. $20$ 분은 한 시간의 $\tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3}$ 이므로, 시침은 $4$ 에서 $5$ 까지의 거리 중 $\tfrac{1}{3}$ 만큼 이동했어요. 숫자 한 칸이 $30^\circ$ 이므로 시침은 $4$ 에서 $\tfrac{1}{3} \times 30^\circ = 10^\circ$ 만큼 떨어진 곳에 있습니다. 분침은 정확히 $4$ 위이므로 두 바늘 사이 각은 바로 그 드리프트 $10^\circ$ — 답 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.MD.C.5각이 두 반직선으로 이루어진 도형임을 알고, 각도의 개념을 이해하기 (시계 문자반을 $360^\circ$ 원이 $12$ 개의 같은 $30^\circ$ 부채꼴로 나뉜 것으로 읽어 두 바늘에 각도 좌표를 부여하는 데 사용.)4.MD.C.7각의 크기가 더해질 수 있음을 이용해 미지의 각을 더하기·빼기로 구하기 (분침과 시침이 휩쓴 각을 더해 위치를 정한 다음, 두 위치를 빼서 두 바늘 사이의 각을 구하는 데 사용.)5.NF.B.6분수·대분수의 곱셈이 들어간 실생활 문제 풀기 (시침의 속도 $0.5^\circ$ / 분을 $20$ 분에 곱해(또는 $\tfrac{1}{3} \times 30^\circ$ 로) $4$ 를 지나 흐른 $10^\circ$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ $4{:}20$ 에 분침은 정확히 $4$ 위에 있지만, 시침은 이미 $5$ 쪽으로 한 칸의 $\tfrac{1}{3}$ 만큼 흘러갔어요 — $30^\circ$ 의 $\tfrac{1}{3}$ 인 $10^\circ$ 가 바로 답입니다.
⭐ $4{:}20$ 에 분침은 정확히 $4$ 위에 있지만, 시침은 이미 $5$ 쪽으로 한 칸의 $\tfrac{1}{3}$ 만큼 흘러갔어요 — $30^\circ$ 의 $\tfrac{1}{3}$ 인 $10^\circ$ 가 바로 답입니다.
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