AMC 8 · 2004 · #16

쉬운 모드 학년 5

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문제

주전자 두 개가 있다고 생각해 봅시다. 두 주전자 모두 가득 채우면 $600$ mL가 들어가요.

첫 번째 주전자에는 오렌지 주스가 들어 있어요. 주스가 주전자의 $\frac{1}{3}$ 만큼 차 있습니다.

두 번째 주전자에도 오렌지 주스가 들어 있어요. 이번에는 주스가 주전자의 $\frac{2}{5}$ 만큼 차 있습니다.

이제 두 주전자에 물을 부어서 둘 다 가득 채워요. 그러고 나서 두 주전자를 하나의 큰 통에 모두 부어 섞습니다.

큰 통 안의 액체 중에서 오렌지 주스가 차지하는 비율은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac18$

(B)

$\frac{3}{16}$

(C)

$\frac{11}{30}$

(D)

$\frac{11}{19}$

(E)

$\frac{11}{15}$

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $600$ mL 짜리 주전자 두 개에 오렌지 주스가 들어 있습니다. 한 주전자는 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 만큼, 다른 주전자는 $\tfrac{2}{5}$ 만큼 채워져 있습니다. 두 주전자에 물을 부어 가득 채운 뒤 큰 통 하나에 모두 부었습니다. 큰 통의 혼합물에서 오렌지 주스가 차지하는 비율은 얼마인가요?

주어진 것: 각 주전자의 용량은 $600$ mL; 주전자 1은 오렌지 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 채워져 있음; 주전자 2는 오렌지 주스로 $\tfrac{2}{5}$ 채워져 있음; 각 주전자에 물을 부어 가득 채운 뒤 둘 다 큰 통에 부음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{8}$, (B) $\tfrac{3}{16}$, (C) $\tfrac{11}{30}$, (D) $\tfrac{11}{19}$, (E) $\tfrac{11}{15}$

구하는 것: 큰 통 안 혼합물에서 오렌지 주스가 차지하는 비율(분수)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #4 변수 도입하기

구해야 하는 건 분수 하나지만, 그 분수를 쓰려면 두 가지를 따로 알아야 해요 — 큰 통에 들어간 주스의 양, 그리고 큰 통에 들어간 액체의 전체 양. 도구 #7(작은 문제로 나누기)은 이 두 계산을 나란히 분리해 줍니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 보조 역할인데, 두 주전자의 용량이 모두 $600$ mL 라는 점을 그대로 두고 주스 양을 직접 더할 수 있게 해줍니다. 두 합이 나오면 마지막은 나눗셈 한 번과 약분 한 번이면 끝납니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 나누기 5.NF.B.4 단계 1

작은 문제 1: 첫 번째 주전자의 주스 양.
"전체의 어떤 분수만큼"은 곱셈을 뜻합니다.
첫 주전자는 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 채워져 있으니 $600$ mL 의 $\tfrac{1}{3}$ 만큼 들어 있어요.

$$\text{OJ}_1 = \dfrac{1}{3} \times 600 = 200 \text{ mL}$$

💡 5학년 "전체의 분수만큼 구하기" — $600$ 을 $3$ 등분해서 한 조각을 가져오는 것.

#7 작은 문제로 나누기 5.NF.B.4 단계 2

작은 문제 2: 두 번째 주전자의 주스 양.
같은 방식, 이번에는 $600$ mL 의 $\tfrac{2}{5}$ 입니다.

$$\text{OJ}_2 = \dfrac{2}{5} \times 600 = \dfrac{1200}{5} = 240 \text{ mL}$$

💡 $600$ 을 $5$ 등분하면 한 조각이 $120$ mL, 그 중 두 조각을 가져옵니다.

#7 작은 문제로 나누기 4.NBT.B.4 단계 3

작은 문제 3: 큰 통의 주스 총량.
두 주전자의 주스를 한 통에 부으면 두 양이 그냥 더해집니다.

$$\text{OJ}_{\text{total}} = 200 + 240 = 440 \text{ mL}$$

💡 내용물을 합치는 건 자연수 덧셈.

#7 작은 문제로 나누기 4.NBT.B.4 단계 4

작은 문제 4: 큰 통의 혼합물 총 부피.
각 주전자는 물로 가득 채워졌으니 $600$ mL 전부가 큰 통에 들어갑니다.

$$V_{\text{total}} = 600 + 600 = 1200 \text{ mL}$$

💡 주스가 차지하지 않은 자리를 물이 채우니, 각 주전자는 꽉 찬 $600$ mL 그대로 부어집니다.

#4 변수 도입하기 5.NF.B.3 단계 5

작은 문제들을 합칩니다.
혼합물 중 주스 비율은 주스 부피를 총 부피로 나눈 것입니다.
공약수로 약분해서 기약분수까지 줄입니다.

$$\dfrac{\text{OJ}_{\text{total}}}{V_{\text{total}}} = \dfrac{440}{1200} = \dfrac{44}{120} = \dfrac{11}{30} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 5학년 "분수를 나눗셈으로 보기": 혼합물 $1200$ 중 주스가 $440$, $10$ 으로 약분 후 $4$ 로 한 번 더 약분해서 $\tfrac{11}{30}$.

[1] #7 5.NF.B.4 작은 문제 1: 첫 번째 주전자의 주스 양. "전체의 어떤 분수만큼"은 곱셈을 뜻합니다. 첫 주전자는 주스로 $\tfrac{1}{3}$ 채워져

[2] #7 5.NF.B.4 작은 문제 2: 두 번째 주전자의 주스 양. 같은 방식, 이번에는 $600$ mL 의 $\tfrac{2}{5}$ 입니다.

[3] #7 4.NBT.B.4 작은 문제 3: 큰 통의 주스 총량. 두 주전자의 주스를 한 통에 부으면 두 양이 그냥 더해집니다.

[4] #7 4.NBT.B.4 작은 문제 4: 큰 통의 혼합물 총 부피. 각 주전자는 물로 가득 채워졌으니 $600$ mL 전부가 큰 통에 들어갑니다.

[5] #4 5.NF.B.3 작은 문제들을 합칩니다. 혼합물 중 주스 비율은 주스 부피를 총 부피로 나눈 것입니다. 공약수로 약분해서 기약분수까지 줄입니다.

검토

합리성 확인: 범위 점검: 두 주전자 모두 주스 비율이 절반 미만($\tfrac{1}{3}$, $\tfrac{2}{5}$ 둘 다 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작음)이므로 합쳐도 절반 미만이어야 합니다. 답 $\tfrac{11}{30} \approx 0.367$ 은 $\tfrac{1}{3}$ 과 $\tfrac{2}{5}$ 사이에 정확히 자리 잡고 있어요 — 용량이 같은 두 주전자의 평균이 와야 할 자리입니다. 선택지 (D) $\tfrac{11}{19} \approx 0.58$ 와 (E) $\tfrac{11}{15} \approx 0.73$ 은 둘 다 $\tfrac{1}{2}$ 보다 크므로 곧바로 제외.

대안 접근: 도구 #16(형태 바꾸기): 두 주전자의 용량이 같으므로, 혼합물의 주스 비율은 두 주스 비율의 평균입니다. $\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{5}\right) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{5 + 6}{15} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{11}{15} = \tfrac{11}{30}$. mL 단위 없이 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.B.4 분수에 자연수 곱하기로 곱셈 개념 확장 (각 주전자의 주스 부피를 $600$ mL 의 분수만큼으로 계산: $\tfrac{1}{3} \times 600 = 200$, $\tfrac{2}{5} \times 600 = 240$.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행 (두 주스 부피의 합($200 + 240 = 440$)과 두 주전자 부피의 합($600 + 600 = 1200$) 계산.)
5.NF.B.3 분수를 분자÷분모의 나눗셈으로 해석 (최종 분수 $\tfrac{440}{1200}$ 을 만들고 기약분수 $\tfrac{11}{30}$ 로 줄이는 데 사용.)

⭐ 두 가지 작은 질문을 먼저 풀어 보세요 — 주스 양과 전체 액체 양. 그런 다음 하나를 다른 하나 위에 두고 약분하면 끝이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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