AMC 8 · 2005 · #14
쉬운 모드 학년 5문제
리틀 트웰브라는 농구 리그가 있다고 생각해봅시다. 이 리그에는 두 개의 디비전(부)이 있고, 각 디비전마다 6개의 팀이 속해 있어요.
경기 일정의 규칙은 다음과 같습니다.
- 한 팀은 자기 디비전 안의 다른 모든 팀과 두 번씩 경기합니다.
- 한 팀은 다른 디비전에 있는 모든 팀과 한 번씩 경기합니다.
이 리그 전체에서는 모두 몇 경기가 예정되어 있을까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Little Twelve 농구 컨퍼런스에는 각각 $6$ 팀으로 이루어진 두 디비전이 있습니다. 모든 팀은 같은 디비전의 다른 모든 팀과는 두 번씩, 다른 디비전의 모든 팀과는 한 번씩 경기를 합니다. 컨퍼런스 전체에 예정된 경기 수는 몇 개인가요?
주어진 것: 디비전 $2$ 개, 각 디비전에 $6$ 팀 (총 $12$ 팀); 디비전 내: 같은 디비전의 두 팀끼리는 $2$ 번씩 경기; 디비전 간: 다른 디비전의 두 팀끼리는 $1$ 번씩 경기; 선택지: (A) $80$, (B) $96$, (C) $100$, (D) $108$, (E) $192$
구하는 것: 컨퍼런스 전체에 예정된 총 경기 수
이해
문제 재정리: Little Twelve 농구 컨퍼런스에는 각각 $6$ 팀으로 이루어진 두 디비전이 있습니다. 모든 팀은 같은 디비전의 다른 모든 팀과는 두 번씩, 다른 디비전의 모든 팀과는 한 번씩 경기를 합니다. 컨퍼런스 전체에 예정된 경기 수는 몇 개인가요?
주어진 것: 디비전 $2$ 개, 각 디비전에 $6$ 팀 (총 $12$ 팀); 디비전 내: 같은 디비전의 두 팀끼리는 $2$ 번씩 경기; 디비전 간: 다른 디비전의 두 팀끼리는 $1$ 번씩 경기; 선택지: (A) $80$, (B) $96$, (C) $100$, (D) $108$, (E) $192$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
전체 일정에는 규칙이 다른 두 종류의 경기가 섞여 있어요. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 "디비전 내 경기 합" 과 "디비전 간 경기 합" 두 조각으로 나누면 각 조각은 간단한 곱셈 한 번으로 끝납니다. 한 디비전 안의 팀 짝의 수는 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 잡습니다 — 팀에 번호를 매기고 "자기보다 큰 번호" 와만 짝지으면 같은 짝을 두 번 세지 않으면서 $15$ 쌍을 얻을 수 있어요. 조합 공식이나 도구 #13 (대수로 바꾸기) 없이 5학년 산수만으로 풀립니다.
실행 — 정답: B
4.OA.A.3 단계 1 - 작은 문제 1: 한 디비전 안의 팀 짝의 수를 빠짐없이 나열해서 셉니다.
- $6$ 팀에 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 번호를 매기고, 각 팀에 대해 "자기보다 번호가 큰 팀" 과의 짝만 세면 한 짝을 두 번 세는 일이 없습니다.
💡 $1$ 번 팀은 새 짝이 $5$ 개, $2$ 번 팀은 $4$ 개 ($1$ 번과의 짝은 이미 셌어요), 같은 식으로 진행됩니다. "악수 문제" 와 같은 셈이에요.
4.OA.A.1 단계 2 - 이 $15$ 쌍이 각각 두 번씩 경기를 하고, 같은 규칙을 따르는 디비전이 둘 있어요.
- 그래서 디비전 내 경기 총수는 한 디비전의 짝 수에 "경기 수 $2$" 와 "디비전 수 $2$" 를 곱하면 됩니다.
💡 "두 번씩 경기" 는 곱셈 비교 — 경기 수를 두 배로 만듭니다. 똑같은 디비전이 둘이라 다시 두 배가 됩니다.
5.OA.A.2 단계 3 - 작은 문제 2: 디비전 간 경기 수를 셉니다.
- A 디비전의 $6$ 팀 각각이 B 디비전의 $6$ 팀 각각과 정확히 한 번씩 경기하므로 단순한 곱셈입니다.
💡 A 디비전의 모든 팀과 B 디비전의 모든 팀을 짝지으면 $6 \times 6$ 격자가 됩니다.
4.OA.A.3 단계 4 두 작은 문제의 합계를 더해 전체 일정을 구하고 선택지와 맞춰 봅니다.
💡 디비전 내 경기와 디비전 간 경기는 겹치지 않으므로 그냥 더하면 됩니다.
4.OA.A.3 작은 문제 1: 한 디비전 안의 팀 짝의 수를 빠짐없이 나열해서 셉니다. $6$ 팀에 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 번호를 매기고, 각 팀에 4.OA.A.1 이 $15$ 쌍이 각각 두 번씩 경기를 하고, 같은 규칙을 따르는 디비전이 둘 있어요. 그래서 디비전 내 경기 총수는 한 디비전의 짝 수에 "경 5.OA.A.2 작은 문제 2: 디비전 간 경기 수를 셉니다. A 디비전의 $6$ 팀 각각이 B 디비전의 $6$ 팀 각각과 정확히 한 번씩 경기하므로 단순한 곱 4.OA.A.3 두 작은 문제의 합계를 더해 전체 일정을 구하고 선택지와 맞춰 봅니다. 검토
합리성 확인: 크기를 점검해 봅시다. 느슨한 상한선으로 $12$ 팀이 서로서로 두 번씩 경기한다고 하면 $12 \times 11 = 132$ 개의 순서 있는 짝, 즉 $66$ 개의 순서 없는 짝이 나오고, 모든 짝이 두 번씩 경기하면 최대 $132$ 경기입니다. 우리 답은 디비전 내 $60$ 과 한 번씩만 하는 디비전 간 $36$ 을 더한 $96$ 으로 그 한도 아래에 잘 들어가요. 함정 선택지는 흔한 실수에서 나옵니다 — $100$ 은 $60 + 40$ (디비전 간을 과대 계산), $108$ 은 $72 + 36$ (디비전 간도 $\times 2$ 한 실수), $192$ 는 $96 \times 2$ (한 경기를 두 팀 시점에서 두 번 셈), $80$ 은 $40 + 40$ (두 번째 디비전의 디비전 내 경기를 빼먹은 경우) 입니다.
대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 각 디비전을 $2$ 팀으로 줄여 봅니다. 디비전 내: 각 디비전에 $1$ 쌍이 두 번 경기 → $1 \times 2 \times 2 = 4$ 경기, 디비전 간: $2 \times 2 = 4$ 경기, 총 $8$. $3$ 팀씩으로 늘리면 디비전 내 $= 3 \times 2 \times 2 = 12$, 디비전 간 $= 3 \times 3 = 9$, 총 $21$. "디비전 내 $= \binom{n}{2} \cdot 2 \cdot 2$, 디비전 간 $= n \cdot n$" 패턴이 보이고, $n = 6$ 을 넣으면 $60 + 36 = 96$ 으로 (B) 가 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.A.1곱셈식을 "몇 배" 비교로 해석하기 ("각 짝이 두 번씩 경기한다" 를 디비전 내 경기 수를 두 배로 만드는 곱셈 비교로 읽어내는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 풀기 (한 디비전의 $15$ 쌍을 나열하고, 디비전 내·디비전 간 합계를 더해 최종 합을 구하는 데 사용.)5.OA.A.2계산 과정을 식으로 적기 (디비전 간 경기 수를 $6 \times 6$ 으로, 디비전 내 경기 수를 $15 \times 2 \times 2$ 로 식으로 기록한 뒤 계산하는 데 사용.)
⭐ 일정을 "같은 디비전" 과 "다른 디비전" 두 조각으로 쪼개고, 각각 짧은 곱셈으로 세어 더하세요. 이 한 번의 쪼개기로 AMC 8 문제는 5학년 다단계 산수 문제가 됩니다.
⭐ 일정을 "같은 디비전" 과 "다른 디비전" 두 조각으로 쪼개고, 각각 짧은 곱셈으로 세어 더하세요. 이 한 번의 쪼개기로 AMC 8 문제는 5학년 다단계 산수 문제가 됩니다.
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