AMC 8 · 2005 · #6
쉬운 모드 학년 5문제
d가 한 자리 숫자라고 합시다. 즉, d는 0,1,2,…,9 중 하나가 될 수 있어요.
이제 2.00d5라는 수를 생각해봅시다. 여기서 d는 천분의 일의 자리에 들어가고, 그 바로 뒤에 5가 따라옵니다.
이 수가 2.005보다 커지길 원합니다.
d의 10가지 후보 중에서 2.00d5>2.005가 되도록 하는 d는 몇 개일까요?
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AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $d$ 는 한 자리 숫자입니다($0,1,2,\dots,9$ 중 하나). 이 중 몇 개의 $d$ 에 대해 $2.00d5 > 2.005$ 가 성립할까요?
주어진 것: $d$ 는 한 자리 숫자, 즉 $d \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$; 소수 $2.00d5$ 에서 $d$ 는 천분의 자리, $5$ 는 만분의 자리에 있다; 선택지: (A) $0$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $10$
구하는 것: $2.00d5 > 2.005$ 를 참으로 만드는 한 자리 숫자 $d$ 의 개수
이해
문제 재정리: $d$ 는 한 자리 숫자입니다($0,1,2,\dots,9$ 중 하나). 이 중 몇 개의 $d$ 에 대해 $2.00d5 > 2.005$ 가 성립할까요?
주어진 것: $d$ 는 한 자리 숫자, 즉 $d \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$; 소수 $2.00d5$ 에서 $d$ 는 천분의 자리, $5$ 는 만분의 자리에 있다; 선택지: (A) $0$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $10$
계획
주요 도구: #13 꼼꼼히 세기
보조 도구: #7 작은 문제로 나누기
"몇 개의 값" 을 묻고 있으므로 조건을 통과하는 숫자를 세는 문제입니다(도구 #13). 조건 자체는 소수 비교 $2.00d5 > 2.005$ 이고, 이를 깔끔하게 처리하기 위해 천분의 자리에서 $d$ 와 $5$ 의 대소 관계에 따라 $10$ 개의 숫자를 세 경우로 나눕니다(도구 #7). $d=5$ 일 때는 만분의 자리까지 한 번 더 봐야 하므로 이를 별도 경우로 떼어 두면 논리가 흔들리지 않습니다.
실행 — 정답: C
5.NBT.A.3 단계 1 - 두 소수의 자릿값을 맞춥니다.
- $2.005$ 를 $2.0050$ 으로 써서 $2.00d5$ 와 똑같이 소수점 아래 네 자리로 맞춥니다.
💡 소수 비교는 5학년 단원입니다: 같은 자리를 맞추고 왼쪽부터 한 자리씩 비교합니다.
5.NBT.A.3 단계 2 - 같은 자리부터 확인합니다.
- 일의 자리는 둘 다 $2$, 십분의 자리는 둘 다 $0$, 백분의 자리도 둘 다 $0$.
- 그래서 승부는 천분의 자리, 즉 두 수의 숫자가 처음으로 달라질 수 있는 자리에서 결정됩니다.
💡 두 수가 처음으로 달라지는 자리에서 이기는 쪽이 전체 비교에서도 이깁니다.
5.NBT.A.3 단계 3 - 오른쪽 수의 천분의 자리 숫자 $5$ 를 기준으로 $d$ 를 세 경우로 나눕니다.
- 경우 A: $d > 5$.
- 이때 $2.00d5$ 는 천분의 자리에서 이미 이기므로 뒤가 무엇이든 상관없습니다.
- 가능한 값은 $d = 6, 7, 8, 9$ — 네 개입니다.
💡 처음 달라지는 자리의 숫자가 더 크면 전체 수도 더 큽니다.
5.NBT.A.3 단계 4 - 경우 B: $d < 5$.
- 이때 $2.00d5$ 는 천분의 자리에서 지므로 $d = 0, 1, 2, 3, 4$ 는 모두 실패합니다.
- 이 다섯 개는 세지 않습니다.
💡 처음 달라지는 자리의 숫자가 더 작으면 전체 수도 더 작습니다.
5.NBT.A.3 단계 5 - 경우 C: $d = 5$.
- 천분의 자리가 둘 다 $5$ 로 같으므로 한 자리 오른쪽, 만분의 자리에서 다시 비교합니다.
- 왼쪽은 $2.0055$, 오른쪽은 $2.0050$.
- 만분의 자리는 $5$ 대 $0$ 이고 $5 > 0$ 이므로 왼쪽이 이깁니다.
- $d = 5$ 도 세야 합니다.
💡 결판을 내려던 자리가 비기면 한 자리 더 오른쪽으로 옮겨 다시 비교합니다.
5.NBT.A.3 단계 6 - 모든 경우에서 조건을 만족하는 숫자를 합쳐 셉니다.
- 경우 A: $6, 7, 8, 9$.
- 경우 C: $5$.
- 합하면 $4 + 1 = 5$ 개.
- 답은 $(C)$.
💡 도구 #13 그대로: 후보 $10$ 개를 훑고, 조건을 통과하는 것만 셉니다.
5.NBT.A.3 두 소수의 자릿값을 맞춥니다. $2.005$ 를 $2.0050$ 으로 써서 $2.00d5$ 와 똑같이 소수점 아래 네 자리로 맞춥니다. 5.NBT.A.3 같은 자리부터 확인합니다. 일의 자리는 둘 다 $2$, 십분의 자리는 둘 다 $0$, 백분의 자리도 둘 다 $0$. 그래서 승부는 천분의 자리, 5.NBT.A.3 오른쪽 수의 천분의 자리 숫자 $5$ 를 기준으로 $d$ 를 세 경우로 나눕니다. 경우 A: $d > 5$. 이때 $2.00d5$ 는 천분의 자 5.NBT.A.3 경우 B: $d < 5$. 이때 $2.00d5$ 는 천분의 자리에서 지므로 $d = 0, 1, 2, 3, 4$ 는 모두 실패합니다. 이 다섯 개 5.NBT.A.3 경우 C: $d = 5$. 천분의 자리가 둘 다 $5$ 로 같으므로 한 자리 오른쪽, 만분의 자리에서 다시 비교합니다. 왼쪽은 $2.0055$, 5.NBT.A.3 모든 경우에서 조건을 만족하는 숫자를 합쳐 셉니다. 경우 A: $6, 7, 8, 9$. 경우 C: $5$. 합하면 $4 + 1 = 5$ 개. 답 검토
합리성 확인: 경계값 $d = 5$ 로 확인: $2.0055$ 대 $2.005 = 2.0050$. 만분의 자리에서 $5 > 0$ 이므로 분명히 $2.0055$ 가 크고, $d = 5$ 가 포함되는 것이 맞습니다. $d = 4$ 도 확인: $2.0045$ 대 $2.0050$. 천분의 자리에서 $4 < 5$ 이므로 $2.0045 < 2.0050$ — 제외되는 것이 맞습니다. 조건을 만족하는 집합 $\{5,6,7,8,9\}$ 은 원소가 $5$ 개이므로 답 (C) 와 일치합니다. 직관적으로도 $10$ 개 숫자 중 절반 정도가 기준보다 크리라 예상되니 $5$ 라는 답이 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기): $10$ 개 숫자를 하나씩 직접 시험합니다. $d = 0$: $2.0005 < 2.005$. $d = 1$: $2.0015 < 2.005$. ... $d = 4$: $2.0045 < 2.005$. $d = 5$: $2.0055 > 2.005$. $d = 6$: $2.0065 > 2.005$. ... $d = 9$: $2.0095 > 2.005$. 다섯 개($5, 6, 7, 8, 9$) 가 조건을 통과하므로 답은 $(C)$. 경우 분할이 더 빠르지만, 후보가 $10$ 개뿐이라 전수 검사도 충분히 통합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.NBT.A.3천분의 자리까지의 소수 읽고 쓰고 비교하기 ($2.00d5$ 와 $2.0050$ 을 자리별로 비교하는 데 사용 — 5학년 소수 비교의 핵심 기술.)5.NBT.A.1한 자리의 숫자가 오른쪽 자리 숫자의 10배를 나타냄을 이해하기 (천분의 자리의 차이가 만분의 자리의 차이보다 10배 크기 때문에 만분의 자리를 보기 전에 천분의 자리에서 먼저 승부가 난다는 사실을 이용.)
⭐ 소수를 자리에 맞춰 세우고 처음 달라지는 자리에서 큰 쪽을 찾는다 — 그 순간 어려워 보이던 부등식이 5학년 자리 비교 한 문제로 줄어듭니다.
⭐ 소수를 자리에 맞춰 세우고 처음 달라지는 자리에서 큰 쪽을 찾는다 — 그 순간 어려워 보이던 부등식이 5학년 자리 비교 한 문제로 줄어듭니다.
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