AMC 8 · 2005 · #6

학년 5 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

place-valuedigit-constraintsinterval-arithmeticsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: place-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

Suppose $d$ is a digit. For how many values of $d$ is $2.00d5 > 2.005$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $d$ 는 한 자리 숫자입니다($0,1,2,\dots,9$ 중 하나). 이 중 몇 개의 $d$ 에 대해 $2.00d5 > 2.005$ 가 성립할까요?

주어진 것: $d$ 는 한 자리 숫자, 즉 $d \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$; 소수 $2.00d5$ 에서 $d$ 는 천분의 자리, $5$ 는 만분의 자리에 있다; 선택지: (A) $0$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $10$

구하는 것: $2.00d5 > 2.005$ 를 참으로 만드는 한 자리 숫자 $d$ 의 개수

이해

문제 재정리: $d$ 는 한 자리 숫자입니다($0,1,2,\dots,9$ 중 하나). 이 중 몇 개의 $d$ 에 대해 $2.00d5 > 2.005$ 가 성립할까요?

계획

주요 도구: #13 꼼꼼히 세기

보조 도구: #7 작은 문제로 나누기

"몇 개의 값" 을 묻고 있으므로 조건을 통과하는 숫자를 세는 문제입니다(도구 #13). 조건 자체는 소수 비교 $2.00d5 > 2.005$ 이고, 이를 깔끔하게 처리하기 위해 천분의 자리에서 $d$ 와 $5$ 의 대소 관계에 따라 $10$ 개의 숫자를 세 경우로 나눕니다(도구 #7). $d=5$ 일 때는 만분의 자리까지 한 번 더 봐야 하므로 이를 별도 경우로 떼어 두면 논리가 흔들리지 않습니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 나누기 5.NBT.A.3 단계 1

두 소수의 자릿값을 맞춥니다.
$2.005$ 를 $2.0050$ 으로 써서 $2.00d5$ 와 똑같이 소수점 아래 네 자리로 맞춥니다.

$$2.00d5 \;\text{대}\; 2.0050$$

💡 소수 비교는 5학년 단원입니다: 같은 자리를 맞추고 왼쪽부터 한 자리씩 비교합니다.

#7 작은 문제로 나누기 5.NBT.A.3 단계 2

같은 자리부터 확인합니다.
일의 자리는 둘 다 $2$, 십분의 자리는 둘 다 $0$, 백분의 자리도 둘 다 $0$.
그래서 승부는 천분의 자리, 즉 두 수의 숫자가 처음으로 달라질 수 있는 자리에서 결정됩니다.

일 $=$ 일, 십분 $=$ 십분, 백분 $=$ 백분 $\;\Rightarrow\;$ 천분의 자리에서 결판

💡 두 수가 처음으로 달라지는 자리에서 이기는 쪽이 전체 비교에서도 이깁니다.

#7 작은 문제로 나누기 5.NBT.A.3 단계 3

오른쪽 수의 천분의 자리 숫자 $5$ 를 기준으로 $d$ 를 세 경우로 나눕니다.
경우 A: $d > 5$.
이때 $2.00d5$ 는 천분의 자리에서 이미 이기므로 뒤가 무엇이든 상관없습니다.
가능한 값은 $d = 6, 7, 8, 9$ — 네 개입니다.

$$d \in \{6,7,8,9\} \;\Rightarrow\; 2.00d5 > 2.0050 \;\checkmark$$

💡 처음 달라지는 자리의 숫자가 더 크면 전체 수도 더 큽니다.

#7 작은 문제로 나누기 5.NBT.A.3 단계 4

경우 B: $d < 5$.
이때 $2.00d5$ 는 천분의 자리에서 지므로 $d = 0, 1, 2, 3, 4$ 는 모두 실패합니다.
이 다섯 개는 세지 않습니다.

$$d \in \{0,1,2,3,4\} \;\Rightarrow\; 2.00d5 < 2.0050 \;\times$$

💡 처음 달라지는 자리의 숫자가 더 작으면 전체 수도 더 작습니다.

#7 작은 문제로 나누기 5.NBT.A.3 단계 5

경우 C: $d = 5$.
천분의 자리가 둘 다 $5$ 로 같으므로 한 자리 오른쪽, 만분의 자리에서 다시 비교합니다.
왼쪽은 $2.0055$, 오른쪽은 $2.0050$.
만분의 자리는 $5$ 대 $0$ 이고 $5 > 0$ 이므로 왼쪽이 이깁니다.
$d = 5$ 도 세야 합니다.

$$d = 5 \;\Rightarrow\; 2.0055 > 2.0050 \;\checkmark$$

💡 결판을 내려던 자리가 비기면 한 자리 더 오른쪽으로 옮겨 다시 비교합니다.

#13 꼼꼼히 세기 5.NBT.A.3 단계 6

모든 경우에서 조건을 만족하는 숫자를 합쳐 셉니다.
경우 A: $6, 7, 8, 9$.
경우 C: $5$.
합하면 $4 + 1 = 5$ 개.
답은 $(C)$.

$$|\{5, 6, 7, 8, 9\}| = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 도구 #13 그대로: 후보 $10$ 개를 훑고, 조건을 통과하는 것만 셉니다.

[1] #7 5.NBT.A.3 두 소수의 자릿값을 맞춥니다. $2.005$ 를 $2.0050$ 으로 써서 $2.00d5$ 와 똑같이 소수점 아래 네 자리로 맞춥니다.

[2] #7 5.NBT.A.3 같은 자리부터 확인합니다. 일의 자리는 둘 다 $2$, 십분의 자리는 둘 다 $0$, 백분의 자리도 둘 다 $0$. 그래서 승부는 천분의 자리,

[3] #7 5.NBT.A.3 오른쪽 수의 천분의 자리 숫자 $5$ 를 기준으로 $d$ 를 세 경우로 나눕니다. 경우 A: $d > 5$. 이때 $2.00d5$ 는 천분의 자

[4] #7 5.NBT.A.3 경우 B: $d < 5$. 이때 $2.00d5$ 는 천분의 자리에서 지므로 $d = 0, 1, 2, 3, 4$ 는 모두 실패합니다. 이 다섯 개

[5] #7 5.NBT.A.3 경우 C: $d = 5$. 천분의 자리가 둘 다 $5$ 로 같으므로 한 자리 오른쪽, 만분의 자리에서 다시 비교합니다. 왼쪽은 $2.0055$,

[6] #13 5.NBT.A.3 모든 경우에서 조건을 만족하는 숫자를 합쳐 셉니다. 경우 A: $6, 7, 8, 9$. 경우 C: $5$. 합하면 $4 + 1 = 5$ 개. 답

검토

합리성 확인: 경계값 $d = 5$ 로 확인: $2.0055$ 대 $2.005 = 2.0050$. 만분의 자리에서 $5 > 0$ 이므로 분명히 $2.0055$ 가 크고, $d = 5$ 가 포함되는 것이 맞습니다. $d = 4$ 도 확인: $2.0045$ 대 $2.0050$. 천분의 자리에서 $4 < 5$ 이므로 $2.0045 < 2.0050$ — 제외되는 것이 맞습니다. 조건을 만족하는 집합 $\{5,6,7,8,9\}$ 은 원소가 $5$ 개이므로 답 (C) 와 일치합니다. 직관적으로도 $10$ 개 숫자 중 절반 정도가 기준보다 크리라 예상되니 $5$ 라는 답이 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기): $10$ 개 숫자를 하나씩 직접 시험합니다. $d = 0$: $2.0005 < 2.005$. $d = 1$: $2.0015 < 2.005$. ... $d = 4$: $2.0045 < 2.005$. $d = 5$: $2.0055 > 2.005$. $d = 6$: $2.0065 > 2.005$. ... $d = 9$: $2.0095 > 2.005$. 다섯 개($5, 6, 7, 8, 9$) 가 조건을 통과하므로 답은 $(C)$. 경우 분할이 더 빠르지만, 후보가 $10$ 개뿐이라 전수 검사도 충분히 통합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.A.3 천분의 자리까지의 소수 읽고 쓰고 비교하기 ($2.00d5$ 와 $2.0050$ 을 자리별로 비교하는 데 사용 — 5학년 소수 비교의 핵심 기술.)
5.NBT.A.1 한 자리의 숫자가 오른쪽 자리 숫자의 10배를 나타냄을 이해하기 (천분의 자리의 차이가 만분의 자리의 차이보다 10배 크기 때문에 만분의 자리를 보기 전에 천분의 자리에서 먼저 승부가 난다는 사실을 이용.)

⭐ 소수를 자리에 맞춰 세우고 처음 달라지는 자리에서 큰 쪽을 찾는다 — 그 순간 어려워 보이던 부등식이 5학년 자리 비교 한 문제로 줄어듭니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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