AMC 8 · 2006 · #21
쉬운 모드 학년 5문제
상자 모양의 수조를 떠올려 봅시다. 밑면은 가로 100 cm, 세로 40 cm인 직사각형입니다. 수조의 높이는 50 cm입니다.
수조에 물을 부어서 물의 깊이가 37 cm가 되도록 합니다.
이제 수조에 돌 하나를 떨어뜨립니다. 돌은 물속에 완전히 잠깁니다. 돌의 부피는 1000 cm3입니다.
돌이 들어가면 물이 위로 밀려 올라옵니다. 수위는 몇 센티미터 올라갈까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직사각형 수조의 바닥은 $100 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$ 이고 높이는 $50$ cm 입니다. 물은 $37$ cm 깊이까지 채워져 있습니다. 부피가 $1000 \text{ cm}^3$ 인 돌을 넣어 완전히 잠기게 했을 때, 수면이 몇 cm 올라가는지 구하세요.
주어진 것: 수조 바닥: $100 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$; 수조 높이: $50$ cm, 처음 물의 깊이: $37$ cm; 돌의 부피: $1000 \text{ cm}^3$, 그리고 돌은 완전히 잠긴다; 선택지: (A) $0.25$, (B) $0.5$, (C) $1$, (D) $1.25$, (E) $2.5$
구하는 것: 수면이 올라간 높이 (cm)
이해
문제 재정리: 직사각형 수조의 바닥은 $100 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$ 이고 높이는 $50$ cm 입니다. 물은 $37$ cm 깊이까지 채워져 있습니다. 부피가 $1000 \text{ cm}^3$ 인 돌을 넣어 완전히 잠기게 했을 때, 수면이 몇 cm 올라가는지 구하세요.
주어진 것: 수조 바닥: $100 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$; 수조 높이: $50$ cm, 처음 물의 깊이: $37$ cm; 돌의 부피: $1000 \text{ cm}^3$, 그리고 돌은 완전히 잠긴다; 선택지: (A) $0.25$, (B) $0.5$, (C) $1$, (D) $1.25$, (E) $2.5$
계획
주요 도구: #10 물리적 표현 만들기
보조 도구: #7 하위 문제로 나누기
이야기 자체가 물리적이에요. 돌이 들어가면 물은 갈 곳이 위쪽뿐입니다. 도구 #10(물리적 표현 만들기)으로 돌이 들어가는 장면을 떠올리면 핵심이 분명해져요 — 돌은 자기 부피만큼의 물을 위로 밀어 올리고, 그 물은 같은 직사각형 바닥 위에 얇은 판으로 퍼집니다. 그 판의 부피가 곧 돌의 부피죠. 도구 #7(하위 문제로 나누기)로 풀이를 두 단계로 쪼갭니다 — (i) 바닥 넓이를 구하고, (ii) 돌의 부피를 바닥 넓이로 나누어 판의 두께(=수면 상승)를 얻습니다. 문제에 주어진 $37$ cm 와 $50$ cm 는 돌이 들어갈 수 있고 물이 넘치지 않음을 보장해 주는 장치일 뿐, 계산에는 들어가지 않아요.
실행 — 정답: A
5.NBT.B.5 단계 1 - 바닥 넓이를 구합니다.
- 수조 바닥은 $100 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$ 직사각형이고, 수면의 높이와 상관없이 물은 항상 이 같은 직사각형 위에 얹혀 있습니다.
💡 가로 $\times$ 세로로 직사각형 넓이를 구하는 5학년 곱셈 — 수면이 오르내려도 바닥 넓이는 변하지 않습니다.
5.MD.C.5 단계 2 - 배수 원리를 적용합니다.
- 돌이 완전히 잠기면 정확히 자기 부피만큼의 물을 위로 밀어 올립니다.
- 그 밀려 올라간 물이 기존 수면 위에 얇은 판처럼 얹혀 있다고 그려 보세요.
- 이 판은 같은 $4000 \text{ cm}^2$ 바닥을 덮고, 판의 부피는 돌의 부피와 같습니다.
💡 돌은 물과 자리바꿈을 한 셈이에요 — 지금 돌이 있는 자리에 원래 있던 물이 어딘가로 가야 하니까, 위로 올라갑니다.
5.MD.C.5 단계 3 - 직육면체 부피 공식을 그 얇은 판에 적용합니다.
- 부피 = 바닥 넓이 $\times$ 두께 이고, 그 두께 $h$ 가 바로 구해야 할 수면 상승입니다.
💡 직사각형 바닥을 가진 얇은 판도 결국 직육면체이므로 "넓이 $\times$ 두께" 공식이 그대로 적용됩니다 — 5학년 부피 공식이에요.
5.NBT.B.7 단계 4 양변을 $4000$ 으로 나누어 $h$ 를 구합니다.
💡 $1000 \div 4000$ 을 계산해 소수 $0.25$ 로 쓰는 것은 5학년 소수 나눗셈 — 1 cm 의 $\tfrac{1}{4}$ 만큼 올라간 셈입니다.
5.NBT.B.5 바닥 넓이를 구합니다. 수조 바닥은 $100 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$ 직사각형이고, 수면의 높이와 상관없이 물 5.MD.C.5 배수 원리를 적용합니다. 돌이 완전히 잠기면 정확히 자기 부피만큼의 물을 위로 밀어 올립니다. 그 밀려 올라간 물이 기존 수면 위에 얇은 판처럼 5.MD.C.5 직육면체 부피 공식을 그 얇은 판에 적용합니다. 부피 = 바닥 넓이 $\times$ 두께 이고, 그 두께 $h$ 가 바로 구해야 할 수면 상승입 5.NBT.B.7 양변을 $4000$ 으로 나누어 $h$ 를 구합니다. 검토
합리성 확인: 크기 감각을 점검해 봅시다. 바닥 넓이 $4000 \text{ cm}^2$ 는 돌의 부피 $1000 \text{ cm}^3$ 에 비해 매우 넓으니, $1000$ 을 $4000$ 위에 펴면 아주 얇은 막이 됩니다 — 실제로 $0.25$ cm 는 1 cm 의 $\tfrac{1}{4}$ 로, 매우 작은 값이 맞아요. 새 수면은 $37 + 0.25 = 37.25$ cm 이고 수조 높이 $50$ cm 보다 훨씬 낮으니 넘치지도 않습니다 — 즉 문제에 주어진 높이와 처음 깊이는 셋업이 말이 됨을 확인시켜 주는 장치이지 계산식에 들어가는 값이 아닙니다. 다른 선택지는 흔한 실수에서 나옵니다: $0.5$ 는 $100 \times 40$ 대신 $50 \times 40 = 2000$ 을 쓴 경우, $1$ 과 $1.25$ 는 넓이 계산이 어긋난 경우, $2.5$ 는 $1000 / 400$ 을 한 경우입니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 같은 풀이를 더 짧게 쓸 수 있어요. 수면 상승을 $h$ cm 라 하면 밀려 올라간 물은 $100 \times 40 \times h$ 부피의 직육면체이고, 이것이 돌의 부피 $1000 \text{ cm}^3$ 와 같습니다. $100 \cdot 40 \cdot h = 1000 \Rightarrow 4000h = 1000 \Rightarrow h = 0.25$ cm — 답 (A). 도구 #10 풀이는 결국 이 대수식의 의미를 그림으로 한 단계씩 따라간 셈입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.NBT.B.5표준 알고리즘으로 여러 자리 수의 곱셈을 능숙하게 계산하기 (직사각형 바닥 넓이를 $100 \times 40 = 4000 \text{ cm}^2$ 로 계산하는 데 사용.)5.MD.C.5부피를 곱셈·덧셈과 연결하고, 부피를 다루는 실생활 문제 해결하기 (밀려 올라간 물을 "바닥 넓이 $\times$ 상승 높이" 부피의 직육면체로 모델링하고, 그 부피를 돌의 부피 $1000 \text{ cm}^3$ 와 같다고 놓는 데 사용.)5.NBT.B.7소수의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈(소수 둘째 자리까지) ($4000h = 1000$ 을 풀어 $h = \tfrac{1}{4} = 0.25$ cm 라는 소수 형태로 답을 얻는 데 사용.)
⭐ 잠긴 돌은 자기 부피만큼의 물을 위로 밀어 올리고, 그 물은 수조 바닥 위에 얇은 판처럼 펼쳐져요 — 돌의 부피를 바닥 넓이로 나누면 곧 수면 상승입니다.
⭐ 잠긴 돌은 자기 부피만큼의 물을 위로 밀어 올리고, 그 물은 수조 바닥 위에 얇은 판처럼 펼쳐져요 — 돌의 부피를 바닥 넓이로 나누면 곧 수면 상승입니다.
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