AMC 8 · 2006 · #5

쉬운 모드 학년 5

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문제

큰 정사각형 하나를 떠올려 봅시다. 그 네 변의 한가운데를 점으로 찍어요. 그 네 점을 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 라고 부릅니다.

이제 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 를 순서대로 선분으로 이어줍니다. 이 네 선분이 큰 정사각형 안에 작은 정사각형을 만듭니다.

큰 정사각형의 넓이는 $60$ 입니다. 작은 정사각형의 넓이는 얼마일까요?

그림

대각선 AC와 BD를 그으면 큰 정사각형이 똑같은 삼각형 8개로 나뉘어요 — 4개는 안쪽, 4개는 모서리에 들어가요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 정사각형 안에서 네 변의 중점이 $A, B, C, D$ 입니다. 이 네 점을 차례로 이으면 안쪽에 기울어진 작은 정사각형이 생깁니다. 큰 정사각형의 넓이가 $60$ 일 때, 작은 정사각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $A, B, C, D$ 는 큰 정사각형 네 변의 중점이다; $ABCD$ 는 이 중점들을 이어 만든 (기울어진) 작은 정사각형이다; 큰 정사각형의 넓이 $= 60$; 선택지: (A) $15$, (B) $20$, (C) $24$, (D) $30$, (E) $40$

구하는 것: 작은 정사각형 $ABCD$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #8 대칭성 이용하기

그림은 이미 주어져 있지만, 작은 정사각형의 두 대각선 $AC$ 와 $BD$ 를 더 그어 두면 한눈에 풀립니다. 이 두 대각선은 정확히 가로·세로 방향이고, 중점의 대칭성 덕분에 큰 정사각형 전체가 합동인 직각삼각형 $8$ 개로 나뉩니다. 이렇게 $8$ 개의 같은 삼각형이 보이면 그다음은 세기만 하면 됩니다 — $4$ 개는 작은 정사각형을 채우고 나머지 $4$ 개는 모서리에 남으므로 작은 정사각형은 큰 정사각형의 정확히 절반입니다. 대수도, 피타고라스 정리도 필요 없습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

작은 정사각형의 두 대각선을 그립니다.
위쪽 중점에서 아래쪽 중점으로 가는 $AC$ 는 수직, 오른쪽 중점에서 왼쪽 중점으로 가는 $BD$ 는 수평입니다.
두 선분은 큰 정사각형의 중심에서 만납니다.

$$\text{선분 } AC \text{ (수직) 와 } BD \text{ (수평) 를 중심을 지나도록 추가}$$

💡 정사각형의 대각선을 긋는 것은 4학년 "선과 선분 그리기" 그대로이고, 이 한 수 덕분에 그림이 셀 수 있는 모양으로 바뀝니다.

#8 대칭성 이용하기 4.G.A.3 단계 2

그어 놓은 선들이 그림에 무엇을 했는지 봅시다.
작은 정사각형의 네 변과 새로 그은 두 대각선이 합쳐져, 큰 정사각형이 직각삼각형 $8$ 개로 잘립니다.
중점의 대칭성 덕분에 $8$ 개 삼각형은 모두 합동입니다.

$$\text{큰 정사각형} = 8 \text{ 개의 합동 직각삼각형}$$

💡 그림을 중심에 대해 $90^\circ$ 돌리면 각 삼각형이 다른 삼각형으로 옮겨가므로 넓이가 모두 같을 수밖에 없습니다.

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 3

작은 정사각형이 그 $8$ 개 중 몇 개로 이루어졌는지 세어 봅니다.
두 대각선 $AC$ 와 $BD$ 가 작은 정사각형을 $4$ 개의 삼각형으로 가르므로, 작은 정사각형은 정확히 $8$ 개 중 $4$ 개입니다.
나머지 $4$ 개는 큰 정사각형의 네 모서리를 채웁니다.

$$\text{작은 정사각형} = 8 \text{ 개 중 } 4 \text{ 개} = \dfrac{4}{8} \text{ (큰 정사각형의 비율)} = \dfrac{1}{2}$$

💡 같은 크기 조각이 전체를 채울 때, 가진 조각 수를 세면 곧 분수가 됩니다 — 3학년 "넓이를 같은 부분으로 나누기" 사고입니다.

#8 대칭성 이용하기 5.NF.B.4 단계 4

큰 정사각형 넓이의 절반을 취하면 작은 정사각형의 넓이가 됩니다.

$$\text{작은 정사각형의 넓이} = \dfrac{1}{2} \times 60 = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 자연수 넓이에 분수 $\tfrac{1}{2}$ 를 곱하는 것은 5학년 "어떤 양의 분수 배 구하기" 그대로입니다.

[1] #1 4.G.A.1 작은 정사각형의 두 대각선을 그립니다. 위쪽 중점에서 아래쪽 중점으로 가는 $AC$ 는 수직, 오른쪽 중점에서 왼쪽 중점으로 가는 $BD$ 는

[2] #8 4.G.A.3 그어 놓은 선들이 그림에 무엇을 했는지 봅시다. 작은 정사각형의 네 변과 새로 그은 두 대각선이 합쳐져, 큰 정사각형이 직각삼각형 $8$ 개로

[3] #1 3.G.A.2 작은 정사각형이 그 $8$ 개 중 몇 개로 이루어졌는지 세어 봅니다. 두 대각선 $AC$ 와 $BD$ 가 작은 정사각형을 $4$ 개의 삼각형으로

[4] #8 5.NF.B.4 큰 정사각형 넓이의 절반을 취하면 작은 정사각형의 넓이가 됩니다.

검토

합리성 확인: 변의 길이로도 한 번 확인해 봅시다. 큰 정사각형의 한 변을 $s$ 라 하면 $s^2 = 60$. 작은 정사각형의 한 변은 두 변이 $s/2,\ s/2$ 인 직각삼각형의 빗변이므로 그 길이의 제곱은 $(s/2)^2 + (s/2)^2 = s^2/2 = 30$. 작은 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이므로 정확히 $30$. 답 (D) 와 일치하며, 그림에서 "절반" 을 본 추론과도 맞습니다. 또한 답은 분명히 $60$ 보다 작고 $60$ 의 $\tfrac{1}{4}$ 보다는 크므로 (A), (B), (E) 는 눈으로도 걸러집니다.

대안 접근: 도구 #9(쉬운 경우로 바꾸기): 큰 정사각형의 한 변을 친근한 $2$ 로 두면 넓이는 $4$. 중점은 $(1,0), (2,1), (1,2), (0,1)$. 작은 정사각형의 한 변은 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ 이므로 넓이는 $(\sqrt{2})^2 = 2$ — 정확히 $4$ 의 절반입니다. 작은 정사각형과 큰 정사각형의 넓이 비 $1:2$ 는 크기와 무관하므로, 큰 정사각형 넓이 $60$ 인 경우 답은 $60/2 = 30$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.G.A.1 점, 직선, 선분, 반직선, 각, 수직선과 평행선 그리기 (대각선 $AC$ 와 $BD$ 를 추가로 그어 큰 정사각형을 셀 수 있는 합동 조각으로 가르는 데 사용.)
4.G.A.3 이차원 도형의 대칭선 인식하기 (정사각형의 $90^\circ$ 회전 대칭으로 나누어진 $8$ 개의 직각삼각형이 모두 합동임을 결론짓는 데 사용.)
3.G.A.2 도형을 같은 넓이의 부분들로 나누고, 각 부분의 넓이를 전체의 단위 분수로 표현하기 ($8$ 개의 같은 삼각형 중 $4$ 개가 작은 정사각형을 채우므로, 작은 정사각형이 큰 정사각형의 $\tfrac{4}{8} = \tfrac{1}{2}$ 임을 세어내는 데 사용.)
5.NF.B.4 기존 곱셈의 이해를 확장하여 분수에 자연수를 곱하기 ($\tfrac{1}{2} \times 60 = 30$ 을 계산해 분수 관계를 최종 넓이로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 정사각형의 네 중점을 이으면 안쪽 정사각형은 항상 바깥 정사각형 넓이의 절반입니다. 대각선 두 개만 더 그으면 그 사실이 계산이 아니라 "세는 일" 로 보입니다.

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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