area-rectanglesarea-trianglescoordinate-geometryfraction-multiplicationarea-differenceidentify-subproblemscoordinate-geometry↑ 선수 지식:area-rectanglesarea-triangles
📏 중간 풀이💡 3 개 인사이트📊 도형
문제
The area of rectangle ABCD is 72 units squared. If point A and the midpoints of BC and CD are joined to form a triangle, the area of that triangle is
문제 재정리: 직사각형 $ABCD$ 의 넓이가 $72$ 입니다. $\overline{BC}$ 의 중점을 $M$, $\overline{CD}$ 의 중점을 $N$ 이라 하고 $A$, $M$, $N$ 을 이어 삼각형을 만듭니다. $\triangle AMN$ 의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 직사각형 $ABCD$ 의 넓이는 $72$ 제곱 단위; $M$ 은 변 $\overline{BC}$ 의 중점; $N$ 은 변 $\overline{CD}$ 의 중점; 선택지: (A) $21$, (B) $27$, (C) $30$, (D) $36$, (E) $40$
구하는 것: $\triangle AMN$ 의 넓이
이해
문제 재정리: 직사각형 $ABCD$ 의 넓이가 $72$ 입니다. $\overline{BC}$ 의 중점을 $M$, $\overline{CD}$ 의 중점을 $N$ 이라 하고 $A$, $M$, $N$ 을 이어 삼각형을 만듭니다. $\triangle AMN$ 의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 직사각형 $ABCD$ 의 넓이는 $72$ 제곱 단위; $M$ 은 변 $\overline{BC}$ 의 중점; $N$ 은 변 $\overline{CD}$ 의 중점; 선택지: (A) $21$, (B) $27$, (C) $30$, (D) $36$, (E) $40$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
$\triangle AMN$ 의 변들은 직사각형 변과 나란하지 않아서 넓이를 직접 재기 어렵습니다. 도구 #16 (관점 바꾸기) 으로 시선을 뒤집습니다 — $A$, $M$, $N$ 이 직사각형의 세 모서리에서 직각삼각형 세 개를 잘라내고, 가운데 남는 부분이 바로 $\triangle AMN$ 입니다. 모서리의 직각삼각형들은 두 변이 직사각형 변 위에 있어 넓이가 쉽게 구해집니다. 도구 #1 (그림 그리기) 로 세 모서리 조각을 눈에 보이게 만들고, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 로 넓이 $72$ 인 편한 직사각형 (예: $12 \times 6$) 을 골라 자연수 계산만 하도록 만듭니다. 중점 구성으로 만들어지는 안쪽 삼각형의 넓이는 직사각형의 모양과 무관하게 넓이에만 의존하므로 이렇게 골라도 답은 같습니다.
실행 — 정답: B
#1 그림 그리기 5.G.A.1단계 1
직사각형과 점들을 그립니다.
문제 그림처럼 $D$ 는 왼쪽 아래, $C$ 는 오른쪽 아래, $B$ 는 오른쪽 위, $A$ 는 왼쪽 위에 놓습니다.
오른쪽 변 $\overline{BC}$ 의 한가운데를 $M$, 아래 변 $\overline{CD}$ 의 한가운데를 $N$ 으로 표시합니다.
넓이가 $72$ 인 편한 직사각형을 고릅니다 — $AB = CD = 12$, $BC = AD = 6$.
그림을 보면 모서리 $B$, $C$, $D$ 에 직각삼각형이 하나씩 끼어 있고, $\triangle AMN$ 은 그 가운데 남은 조각입니다.
5.G.A.1 좌표평면 위에 점을 나타내고 위치를 식별하기 (넓이 $72$ 인 직사각형을 격자 위에 자연수 변 길이로 배치하고, 중점 $M$, $N$ 을 변 위에 표시해 그림에서 모든 길이를 바로 읽어내는 데 사용.)
6.G.A.1 다각형을 직각삼각형 등으로 분해·합성하여 넓이 구하기 (직사각형을 $\triangle AMN$ 과 세 모서리 직각삼각형 ($\triangle ABM$, $\triangle MCN$, $\triangle AND$) 으로 분해해, 각 직각삼각형 넓이를 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 구한 뒤 빼서 $[AMN]$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 삼각형 $AMN$ 은 기울어져 있어 넓이를 바로 재기 어렵습니다. 그래서 질문을 뒤집습니다 — 모서리에 끼어 있는 세 직각삼각형 $ABM$, $MCN$, $AND$ 는 직사각형 변 위에 놓여 있어 넓이가 쉽게 구해져요 ($18 + 9 + 18 = 45$). 직사각형 넓이에서 빼면 $72 - 45 = 27$, 답은 (B). "구하려는 것 대신 주변을 세라" 는 이 전략은 넓이가 $72$ 이기만 하면 어떤 직사각형이어도 똑같이 통합니다.
⭐ 삼각형 $AMN$ 은 기울어져 있어 넓이를 바로 재기 어렵습니다. 그래서 질문을 뒤집습니다 — 모서리에 끼어 있는 세 직각삼각형 $ABM$, $MCN$, $AND$ 는 직사각형 변 위에 놓여 있어 넓이가 쉽게 구해져요 ($18 + 9 + 18 = 45$). 직사각형 넓이에서 빼면 $72 - 45 = 27$, 답은 (B). "구하려는 것 대신 주변을 세라" 는 이 전략은 넓이가 $72$ 이기만 하면 어떤 직사각형이어도 똑같이 통합니다.
