AMC 8 · 2006 · #5

학년 5 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-rectanglesarea-trianglesreflection-symmetrysimilar-figures area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesline-symmetry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

Points $A, B, C$ and $D$ are midpoints of the sides of the larger square. If the larger square has area 60, what is the area of the smaller square?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 정사각형 안에서 네 변의 중점이 $A, B, C, D$ 입니다. 이 네 점을 차례로 이으면 안쪽에 기울어진 작은 정사각형이 생깁니다. 큰 정사각형의 넓이가 $60$ 일 때, 작은 정사각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $A, B, C, D$ 는 큰 정사각형 네 변의 중점이다; $ABCD$ 는 이 중점들을 이어 만든 (기울어진) 작은 정사각형이다; 큰 정사각형의 넓이 $= 60$; 선택지: (A) $15$, (B) $20$, (C) $24$, (D) $30$, (E) $40$

구하는 것: 작은 정사각형 $ABCD$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #8 대칭성 이용하기

그림은 이미 주어져 있지만, 작은 정사각형의 두 대각선 $AC$ 와 $BD$ 를 더 그어 두면 한눈에 풀립니다. 이 두 대각선은 정확히 가로·세로 방향이고, 중점의 대칭성 덕분에 큰 정사각형 전체가 합동인 직각삼각형 $8$ 개로 나뉩니다. 이렇게 $8$ 개의 같은 삼각형이 보이면 그다음은 세기만 하면 됩니다 — $4$ 개는 작은 정사각형을 채우고 나머지 $4$ 개는 모서리에 남으므로 작은 정사각형은 큰 정사각형의 정확히 절반입니다. 대수도, 피타고라스 정리도 필요 없습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

작은 정사각형의 두 대각선을 그립니다.
위쪽 중점에서 아래쪽 중점으로 가는 $AC$ 는 수직, 오른쪽 중점에서 왼쪽 중점으로 가는 $BD$ 는 수평입니다.
두 선분은 큰 정사각형의 중심에서 만납니다.

$$\text{선분 } AC \text{ (수직) 와 } BD \text{ (수평) 를 중심을 지나도록 추가}$$

💡 정사각형의 대각선을 긋는 것은 4학년 "선과 선분 그리기" 그대로이고, 이 한 수 덕분에 그림이 셀 수 있는 모양으로 바뀝니다.

#8 대칭성 이용하기 4.G.A.3 단계 2

그어 놓은 선들이 그림에 무엇을 했는지 봅시다.
작은 정사각형의 네 변과 새로 그은 두 대각선이 합쳐져, 큰 정사각형이 직각삼각형 $8$ 개로 잘립니다.
중점의 대칭성 덕분에 $8$ 개 삼각형은 모두 합동입니다.

$$\text{큰 정사각형} = 8 \text{ 개의 합동 직각삼각형}$$

💡 그림을 중심에 대해 $90^\circ$ 돌리면 각 삼각형이 다른 삼각형으로 옮겨가므로 넓이가 모두 같을 수밖에 없습니다.

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 3

작은 정사각형이 그 $8$ 개 중 몇 개로 이루어졌는지 세어 봅니다.
두 대각선 $AC$ 와 $BD$ 가 작은 정사각형을 $4$ 개의 삼각형으로 가르므로, 작은 정사각형은 정확히 $8$ 개 중 $4$ 개입니다.
나머지 $4$ 개는 큰 정사각형의 네 모서리를 채웁니다.

$$\text{작은 정사각형} = 8 \text{ 개 중 } 4 \text{ 개} = \dfrac{4}{8} \text{ (큰 정사각형의 비율)} = \dfrac{1}{2}$$

💡 같은 크기 조각이 전체를 채울 때, 가진 조각 수를 세면 곧 분수가 됩니다 — 3학년 "넓이를 같은 부분으로 나누기" 사고입니다.

#8 대칭성 이용하기 5.NF.B.4 단계 4

큰 정사각형 넓이의 절반을 취하면 작은 정사각형의 넓이가 됩니다.

$$\text{작은 정사각형의 넓이} = \dfrac{1}{2} \times 60 = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 자연수 넓이에 분수 $\tfrac{1}{2}$ 를 곱하는 것은 5학년 "어떤 양의 분수 배 구하기" 그대로입니다.

[1] #1 4.G.A.1 작은 정사각형의 두 대각선을 그립니다. 위쪽 중점에서 아래쪽 중점으로 가는 $AC$ 는 수직, 오른쪽 중점에서 왼쪽 중점으로 가는 $BD$ 는

[2] #8 4.G.A.3 그어 놓은 선들이 그림에 무엇을 했는지 봅시다. 작은 정사각형의 네 변과 새로 그은 두 대각선이 합쳐져, 큰 정사각형이 직각삼각형 $8$ 개로

[3] #1 3.G.A.2 작은 정사각형이 그 $8$ 개 중 몇 개로 이루어졌는지 세어 봅니다. 두 대각선 $AC$ 와 $BD$ 가 작은 정사각형을 $4$ 개의 삼각형으로

[4] #8 5.NF.B.4 큰 정사각형 넓이의 절반을 취하면 작은 정사각형의 넓이가 됩니다.

검토

합리성 확인: 변의 길이로도 한 번 확인해 봅시다. 큰 정사각형의 한 변을 $s$ 라 하면 $s^2 = 60$. 작은 정사각형의 한 변은 두 변이 $s/2,\ s/2$ 인 직각삼각형의 빗변이므로 그 길이의 제곱은 $(s/2)^2 + (s/2)^2 = s^2/2 = 30$. 작은 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이므로 정확히 $30$. 답 (D) 와 일치하며, 그림에서 "절반" 을 본 추론과도 맞습니다. 또한 답은 분명히 $60$ 보다 작고 $60$ 의 $\tfrac{1}{4}$ 보다는 크므로 (A), (B), (E) 는 눈으로도 걸러집니다.

대안 접근: 도구 #9(쉬운 경우로 바꾸기): 큰 정사각형의 한 변을 친근한 $2$ 로 두면 넓이는 $4$. 중점은 $(1,0), (2,1), (1,2), (0,1)$. 작은 정사각형의 한 변은 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ 이므로 넓이는 $(\sqrt{2})^2 = 2$ — 정확히 $4$ 의 절반입니다. 작은 정사각형과 큰 정사각형의 넓이 비 $1:2$ 는 크기와 무관하므로, 큰 정사각형 넓이 $60$ 인 경우 답은 $60/2 = 30$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.G.A.1 점, 직선, 선분, 반직선, 각, 수직선과 평행선 그리기 (대각선 $AC$ 와 $BD$ 를 추가로 그어 큰 정사각형을 셀 수 있는 합동 조각으로 가르는 데 사용.)
4.G.A.3 이차원 도형의 대칭선 인식하기 (정사각형의 $90^\circ$ 회전 대칭으로 나누어진 $8$ 개의 직각삼각형이 모두 합동임을 결론짓는 데 사용.)
3.G.A.2 도형을 같은 넓이의 부분들로 나누고, 각 부분의 넓이를 전체의 단위 분수로 표현하기 ($8$ 개의 같은 삼각형 중 $4$ 개가 작은 정사각형을 채우므로, 작은 정사각형이 큰 정사각형의 $\tfrac{4}{8} = \tfrac{1}{2}$ 임을 세어내는 데 사용.)
5.NF.B.4 기존 곱셈의 이해를 확장하여 분수에 자연수를 곱하기 ($\tfrac{1}{2} \times 60 = 30$ 을 계산해 분수 관계를 최종 넓이로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 정사각형의 네 중점을 이으면 안쪽 정사각형은 항상 바깥 정사각형 넓이의 절반입니다. 대각선 두 개만 더 그으면 그 사실이 계산이 아니라 "세는 일" 로 보입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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